Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen

Disko bi akoplatzen (I)

Disko bi akoplatzen (II)

Indar zentral  bat
hagatxo batean

Patinatzaile bat biraka

Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia

Pendulu balistikoa (II)

Kutxa bat irauli

Talka inelastikoa
bala-disko biratzailea

Hagatxo batez
abiadura transmititzen

Kontserbazioak:
momentu lineala eta 
momentu angeluarra

Disko-horma talka

Diskoa-diskoa talka (I)

Diskoa-diskoa talka (II)

Momentu lineala ez da kontserbatzen

Abiadura-transferentzia maximoa

Saiakuntza

Erreferentzia

Kurtso honetako beste kapitulu batean, “Aurrez-aurreko talka elastiko bi”, partikula batek beste bati abiadura transmititzen dio, baina karanbola batez, alegia, bi partikulen artean hirugarren partikula bat dago sartuta. Izan ere, lehen partikulak (m₁) bigarrenaren kontra talka egiten du (m₂) elastikoki, eta bigarrenak hirugarrenaren kontra (m₃), beheko irudiak erakusten duen bezala.

Lehen partikulak hirugarrenari ematen dion abiadura-transferentzia maximoa gertatzen da, bitarteko bigarren partikulak honako masa duenean:

Honako orri honetan antzeko dispositibo bat aztertuko dugu, alegia partikula batek beste bati abiadura transferitzen dio, baina bi partikulen artean hagatxo bat kokatzen da.

Momentu angeluarra kontserbatzen da

Lehen partikulak m₁ masa du eta u₁ abiadura, eta hagatxoa geldi dago, baina bere zentroaren inguruan aske bira dezake. Hagatxoaren luzera 2d da eta bere masa M. Hagatxoaren beste muturrean m₂ partikula dago geldi.

Halako batean, lehen partikulak hagatxoaren kontra talka egiten du, bere zentrotik x distantziara, eta ondorioz, hagatxoak biratu egiten du eta bigarren partikula bultzatu. Hortaz, lehen partikulak bigarrenari abiadura transmititzen dio hagatxoaren bitartez.

Bi partikulek eta hagatxoak osatzen duten multzoa (hirukotea) ez da multzo isolatua, hagatxoaren O zentroko ardatzak hagatxoa eusteko F indarra egiten diolako. Hala ere, indar horren momentua O puntuarekiko nulua da, eta beraz, momentu angeluarra kontserbatzen da.

Talka baino lehen, multzoaren momentu angeluarra, lehen partikularena da, hagatxoa eta bigarren partikula geldi daudelako. Beraz, O puntuarekiko momentu angeluarra hau da:

L_i=m₁u₁·x

Talkaren ondoren, lehen partikula v₁ abiaduraz mugitzen da, hagatxoa ω abiadura angeluarraz eta bigarren partikula v₂=ω·d abiaduraz. Hortaz, multzoaren momentu angeluar totala O puntuarekiko:

Hagatxo baten inertzia-momentua bere zentroarekiko: M(2d)²/12=Md²/3.

Ez nahastu muturrarekiko inertzia-momentuarekin, 1/3 horren arrazoia 2d luzera da.

Momentu angeluarraren kontserbazioa idazten badugu:

Ekuazio bakarra eta ezezagun bi: w eta v₁.

Bestalde, gogora dezagun itzultze-koefizientearen definizioa, e, eta aplika diezaiogun lehen partikularen eta hagatxoaren arteko talkari:

v₁-ωx= -e (u₁-0)

Orain bi ekuazio ditugu, eta beraz, ezezagunak kalkula daitezke, eta ondoren partikula bien abiadurak adierazi: v₁ eta v₂.

Momentu lineala ez da kontserbatzen

Demagun hagatxoaren masa arbuiagarria dela: M=0. Orduan:

Ordezkatzen bada, v₂=w d , momentu angeluarraren ekuazioan, honako erlazioa lor daiteke:

Adierazpen horretan ikusten da, orokorrean multzoaren momentu lineala ez dela kontserbatzen (x=d ez bada baizik), eta hagatxoak masa badu, oraindik konplikatuagoa ateratzen da momentu linealaren adierazpena.

Abiadura-transferentzia maximoa

Itxuraz dirudien arren, abiadura-transferentzia maximoa ez da gertatzen x=d denean, alegia momentu angeluarraren "besoa" maximoa denean.

Transferentzia maximoa kalkulatzeko, bigarren partikularen v₂ abiadura deribatu behar da x-rekiko eta nulua dela inposatu.

Ekuazio horrek ematen duen x da, transferentzia maximoa lortzen duena, eta kasu horretan partikulen abiadurak talkaren ondoren honakoak ateratzen dira:

Esaterako, talka elastikoa bada, e=1, lehen partikula pausagunean geratzen da talkaren ondoren: v₁=0.

Eta gainera, hagatxoaren masa arbuiagarria bada, M=0, transferentzia maximoa lortzen da honako erlazioaz:

Adibideak

Talka elastikoa eta hagatxoaren masa arbuiagarria

• Hagatxoaren masa, M=0.
• Bigarren partikularen masa, m₂=0.25 kg.
• Itzultze koefizientea, e=1.
• Lehen partikularen masa, m₁=1 kg.
• Lehen partikularen abiadura: u₁=1 m/s.

• Erasoaren posizioa: x=0.5.

Emaitza hauek lortzen dira:

• Lehen partikula pausagunean geratzen da, v₁=0.
• Bigarren partikulak abiadura hau atzematen du, v₂=2 m/s.

Kasu horretan, lehen partikularen energia osoa bigarren partikulara transmititu da, Hagatxoaren masa arbuiagarria denez, ez du errotaziozko energia zinetikorik.

Talka inelastikoa eta hagatxoaren masa arbuiagarria

• Hagatxoaren masa, M=0.
• Bigarren partikularen masa, m₂=0.25 kg.
• Itzultze koefizientea, e=0.8.
• Lehen partikularen masa, m₁=1 kg.
• Lehen partikularen abiadura: u₁=1 m/s.

• Erasoaren posizioa: x=0.5.

Emaitza hauek lortzen dira:

• Lehen partikularen abiadura talkaren ondoren: v₁=0.1 m/s.

• Bigarren partikularen abiadura talkaren ondoren: v₂=1.8 m/s.

Egiazta dezagun partikulen momentu linealek betetzen duten erlazioa:

Lehen partikularen energia zinetikoa, hiru zatitan banatu da: lehenik, lehen partikularen energia zinetiko berria, bigarrenik, bigarren partikularen energia zinetikoa, eta hirugarrenik talkan galdutako energia. Kasu honetan ere hagatxoak ez duenez masarik, bere energia zinetikoa nulua da.

Lehen partikula pausagunean geratzeko honako baldintza bete behar da:

m₁·x²=e·m₂d²

Datu hauekin lortzen da: x=0.447≈0.45, bada, lehen partikula pausagunean geratuko da talkaren ondoren, v₁=0.

Aldiz, bigarren partikularen abiadura ateratzen da: v₂=1.61 m/s, eta, ageri denez, hori ez da abiadura-transferentzia maximoa.

Lehen partikularen energia zinetikoaren zati bat bigarren partikularen energia zinetiko bilakatu da eta gainontzekoa talkan galdu da.

Talka elastikoa eta hagatxoaren masa ez arbuiagarria

• Hagatxoaren masa, M=1.5 kg.
• Bigarren partikularen masa, m₂=0.25 kg.
• Itzultze koefizientea, e=1.0.
• Lehen partikularen masa, m₁=1 kg.
• Lehen partikularen abiadura: u₁=1 m/s.

• Erasoaren posizioa: x=0.866.

Izan ere, erasoaren posizio hauxe da abiadura-transferentzia maximoa ematen duena.

• Lehen partikularen abiadura talkaren ondoren: v₁=0 m/s.

• Bigarren partikularen abiadura talkaren ondoren: v₂=1.155 m/s

Oraingoan, lehen partikularen energia zinetikoa erabili da hagatxoaren errotazioaren energia zinetikorako eta bigarren partikularen energia zinetikorako.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Bigarren partikularen masa, m₂ , dagokion kontrolean idatziz.
• Hagatxoaren masa, M, dagokion kontrolean idatziz.
• Talkaren itzultze-koefizientea, e, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Gainontzeko parametroak finkotzat hartu dira:

• Hagatxoaren luzera, 2d = 2 m.
• Lehen partikularen masa, m₁ = 1 kg.
• Lehen partikularen abiadura,  u₁ = 1 m/s.

Datuok onartzeko, Berria botoia sakatu.

• Saguarekin, lehen partikula mugi daiteke (gorria) ezkerrera eta eskumara, erasoaren x posizioa finkatzeko.

• Hasi botoia sakatu.

Lehen partikula hagatxorantz abiatzen da (gorria) eta iristean talka egiten du. Talkaren ondoren, hagatxoak biratu egiten du eta bigarren partikula bultzatzen du (urdina).

Leihatilaren ezker eta goiko erpinean, idatziz erakusten dira hiru parte-hartzaileen abiadurak, talka baino lehen eta ondoren.

Leihatilaren eskumako eta goiko erpinean, tarta-itxurako diagrama batek parte-hartzaileen energiak erakusten ditu:

• Gorriz, lehen partikularen energia zinetikoa talka baino lehen: .

• Arrosaz, lehen partikularen energia zinetikoa talkaren ondoren: .

• Urdinez, bigarren partikularen energia zinetikoa: .

• Grisez, hagatxoaren errotaziozko energia zinetikoa: