Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen

Disko bi akoplatzen (I)

Disko bi akoplatzen (II)

Indar zentral bat
hagatxo batean

Patinatzaile bat biraka

Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia

Pendulu balistikoa (II)

Kutxa bat irauli

Talka inelastikoa: bala
eta disko biratzailea

Hagatxo batez
abiadura transmititzen

Kontserbazioak:
momentu lineala eta 
momentu angeluarra

Disko-horma talka

Diskoa-diskoa talka (I)

Diskoa-diskoa talka (II)

Talkaren ondoren blokea nola mugitzen den

Saiakuntza

Koskak blokeari egiten dion indarra

Demagun kutxa bat irristatzen ari dela abiadura konstanteaz, marruskadurarik gabeko zoru horizontal batean zehar, ondorengo irudiak erakusten duen bezala. Halako batean, kutxak talka egiten du zoruan dagoen koska edo oztopo txiki batekin (O). Talkaren ondoren, kutxak biratu egiten du O koskaren inguruan. Dei diezaiogun kutxaren masari m, zabalerari a eta altuerari h.

Talkaren oinarri fisikoak

Honako adibide honetan ere momentu angeluarra kontserbatzen da. Kutxa ez da multzo isolatu bat, eta beraz bere momentu lineala ez da kontserbatzen, baina koskak kutxari egiten dion F indarrak momentu nulua du O puntuarekiko berarekiko, beraz kutxaren L momentu angeluarra O puntuarekiko konstantea izango da:

Momentu angeluarra, talka baino lehen

Kutxaren L momentu angeluarra O puntuarekiko, bere masa-zentroaren momentu angeluarra da, alegia, partikula baten momentu angeluarra, m masaduna eta eta v abiaduraduna:

L=r ´ mv. 

Baina momentu angeluar horren modulua hau da: L=mv·h/2

Momentu angeluarra, talkaren ondoren

Talkaren ondoren, kutxaren O puntua puntu finko bilakatzen da eta kutxa osoak bere inguruan biratzen du. Kutxaren inertzia-momentua bere zentrotik pasatzen den ardatzarekiko hau da:

Baina O puntuarekiko duen inertzia-momentua kalkulatzeko, Steiner-en teorema aplikatzen da: I_O=I_c+md²

Eta orduan, kutxaren momentu angeluarra O puntuarekiko, honela adierazten da:

L=I₀·w

Momentu angeluarraren kontserbazioa

Momentu angeluarraren kontserbazioa aplikatuz, kutxaren w abiadura angeluarra kalkula daiteke justu talkaren ondoren:

Energiaren balantzea

Talkan kutxak energia galtzen du:

• Talka baino lehenagoko energia: kutxaren translaziozko energia zinetikoa da:
• Talkaren ondorengo energia: kutxaren errotaziozko energia zinetikoa O puntuaren inguruan:

Talkan galdutako energia kalkula daiteke bi horien arteko kenketa eginez. Ondorengo applet-ean erakusten da, kutxaren translaziozko energia zinetikoaren zati handiena galdu egiten dela koskaren aurka talka egitean, eta energia zinetiko horren zati txiki bat baino ez dela transferitzen kutxaren errotaziozko energia zinetikora.

Talkaren ondoren blokea nola mugitzen den

Errotazioaren dinamikaren ekuazioa

Talkaren ondoren kutxaren O puntua puntu finko bilakatzen da, eta kutxa osoak bere inguruan biratzen du. Hona hemen, errotazioaren dinamikaren ekuazioa: M=I₀·a

M da kutxaren pisuak O puntuarekiko duen momentua, kutxaren masa-zentroan aplikatzen baita (ikus bedi ondorengo irudia).

M= mgd·cos(q +f )

f da, kutxaren diagonalak bere oinarriarekin osatzen duen angelu finkoa, beraz, tanf =h/a, eta q  da, kutxaren oinarriak zoruarekin osatzen duen angelu aldakorra.

Orduan errotazioaren dinamikaren ekuazioa honela adieraz daiteke:

-mgd·cos(q +f )=I₀·a

bertan ikusten da a azelerazio angeluarra ez dela konstantea, q  angeluaren menpekoa baizik. Ekuazio diferentzial gisa berridatziz eta integratuz lor daiteke kutxaren q  angelua t denboraren menpe.

Energiaren kontserbazioaren printzipioa

Errotazioaren dinamikaren ekuazioa integratzea baino askoz errazagoa da energiaren kontserbazioa aplikatzea, denboraren informazioa galtzen den arren.

Eskumako irudian ikusten da, kutxaren masa-zentroak deskribatzen duen ibilbide zirkularra: hasieran, q =0, beraz, masa-zentroaren posizioak f angelua osatzen du zoruarekiko, eta ondoren kutxak q angelua biratu duenean, masa-zentroaren posizioa q+f  da. Energia potentzialerako garrantzitsua da posizio bi horien arteko h altuera-diferentzia.

Talkaren ondoren, kutxak duen energia zinetikoa ezaguna bada, kalkula daiteke zein q angelu maximoraino igotzen den kutxaren oinarria, igoeran, energia zinetiko hori osorik energia zinetiko bilakatzen delako:

Gerta daiteke, kutxaren abiadura oso handia izatea eta q angeluak goreneko posizioa gainditzea, alegia, masa-zentroa O puntuaren gainetik pasatzea. Kasu horretan kutxa irauli egingo da.

Irudiak erakusten duenez, goreneko angeluraino iristeko: q +f =p/2 edo 90º Dei diezaiogun d masa-zentroak goreneko posizioan duen altuerari. Orduan, kutxa iraul dadin, bere energia zinetikoak hasieran, justu talkaren ondoren, balio minimo bat gainditu behar du. Hona hemen energia zinetikoaren balio minimoa kutxa iraul dadin:

Adibideak:

1 adibidea:

• Kutxaren masa, m=0.2 kg
• Kutxaren abiadura, v=2.2 m/s
• Kutxaren altuera, h=50 cm
• Kutxaren zabalera, a=50 cm

1.  Talka: momentu angeluarraren kontserbazioa:

Masa-zentrotik erpinera dagoen distantzia:
Inertzia-momentua: I₀= 0.033 kgm²

Momentu angeluarra hasieran: L=0.2·2.2·0.25=0.11 kg·m²/s
Momentu angeluarra amaieran: L=I₀·w

Momentu angeluarra kontserbatzen denez: w =3.3 rad/s.

2.  Talkaren ondorengo igoera: Energiaren kontserbazioa.

Kutxak talkaren ondren daukan energia zinetikoa, apurka apurka galtzen doa, eta energia potentzial bilakatzen. Masa-zentroa altuera maximora iristen denean:

masa-zentroaren altuera ezagututa, kutxaren oinarriak biratu duen angelua kalkula daiteke:

h=d·sin(q +f )-d·sinf , eta f =45º  kutxaren h altuera eta a zabalera berdinak direlako. Orduan: q =30.7º

Angelu horretaraino iristen da kutxa koskaren kontra talka egin ondoren.

2 adibidea:

Har dezagun 1 adibideko kutxa bera eta egin dezagun ariketa osoa atzeraka, alegia, kalkula dezagun kutxaren abiadura minimoa, iraultzera irits dadin.

1.  Talkaren ondorengo igoera: Energiaren kontserbazioa:

eta f =45º kutxaren h altuera eta a zabalera berdinak direlako.

Ekuazio horretatik ateratzen da kutxaren w abiadura angeluarra talkaren ondoren: w =3.49 rad/s.

2.  Talka: momentu angeluarraren kontserbazioa:

m·v·h/2 = I₀ ·w

Eta ekuazio horretatik lortzen da kutxaren v abiadura talka baino lehen: v=2.326 m/s.

Ondorengo applet-ean hasierako abiadura horixe bera idazten badugu, eta Hasi botoia sakatu, kutxa, koskaren kontra talka egin ondoren, posizio bertikaleraino iristen da eta bertan geratzen da, geldi, oreka ezegonkorrean. Abiadura hori baino pixka bat handixeagoa idazten bada, orduan kutxa irauli egingo da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Blokearen masa m (kg-tan), dagokion kontrolean idatziz.
• Bloke edo kutxaren Hasierako abiadura gainazal horizontalean irristatzen ari denean, v, (m/s-tan).
• Kutxaren Altuera, h (cm-tan), dagokion kontrolean idatziz.
• Kutxaren Zabalera, a (cm-tan), dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Kutxa ikusten da bide horizontalean irristatzen. Halako batean, O oztopo txikiarekin talka egiten du eta beraren inguruan biratzen hasten da. Hasierako baldintzen arabera, igotzen hasten da baina berriz atzera bueltatzen da, edo irauli egiten da.

Koskak blokeari eragiten dion indarra

Lehenago kalkulatu ditugu blokeak igoeran dituen azelerazio angeluarra eta abiadura angeluarra, eta ezagunak dira q  posizio angeluarraren menpe.

• Azelerazioa, errotazioaren dinamikarekin:

I₀a = -mg·d·cos(q +f )

• Abiadura, energiaren kontserbazioarekin:

Hemen w₀ da, blokearen abiadura angeluarra justu talkaren ondoren.

Kutxaren masa-zentroak ibilbide zirkularra deskribatzen du igoera osoan zehar, d erradioduna, eta hortaz, bere azelerazioa bi osagaitan bana daiteke: tangentziala, a_t, eta normala, a_n.

Ezkerreko irudiak erakusten ditu kutxak jasaten dituen bi indarrak: batetik pisua, masa-zentroan aplikatuta, eta bestetik, koskak egiten dion indarra. Azken hori bi osagaitan banatuta dago, bata bertikala (F_y) eta bestea horizontala (F_x). Irudi horretatik masa-zentroaren translazioaren ekuazioak idatz daitezke:

Azelerazioaren osagai horizontala eta bertikala honela adieraz daitezke a_t eta a_n-ren menpe:

a_x=a_t·sin(q +f ) +a_n·cos(q +f )
a_y=a_t·cos(q +f ) -a_n·sin(q +f )

Eta masa-zentroak higidura zirkularra duenez:

Orduan bakan daitezke F_x eta F_y, koskak blokeari egiten dizkion indarrak, igotzen ari den bitartean:

F_x= -m· d·(a ·sin(q +f ) +w²·cos(q +f ))
F_y =m·d·(a ·cos(q +f ) -w²·sin(q +f ))+mg

Har dezagun berriro 1 adibidea:

• Kutxaren masa, m=0.2 kg
• Kutxaren abiadura, v=2.2 m/s
• Kutxaren altuera, h=50 cm
• Kutxaren zabalera, a=50 cm

Kutxa karratua denez, f =45º, eta beraz:

Inertzia-momentua: I₀= 0.033 kgm²

1.  Talka: momentu angeluarraren kontserbazioa aplikatuz, kalkulatzen da kutxaren abiadura angeluarra justu talkaren ondoren.

w₀=3.3 rad/s       lehengo emaitza bera.

Baina oraingoan, koskak egiten dizkion F_x eta F_y indarrak kalkulatu nahi ditugu, esaterako honako posizioan: q =15º.

1.  Lehenik kalkula ditzagun a azelerazio eta w abiadura angeluarrak. Azelerazioa, errotazioaren dinamikarekin:

2.  Energiaren kontserbazioarekin, abiadura angeluarra:

3.  Azkenik, kalkula daitezke koskak kutxari egiten dizkion indarrak justu posizio horretan: