Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen

Disko bi akoplatzen (I)

Disko bi akoplatzen (II)

Indar zentral  bat
hagatxo batean

Patinatzaile bat biraka

Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia

Pendulu balistikoa (II)

Kutxa bat irauli

Talka inelastikoa
bala-disko biratzailea

Hagatxo batez
abiadura transmititzen

Kontserbazioak:
momentu lineala eta
momentu angeluarra

Disko-horma talka

Diskoa-diskoa talka (I)

Diskoa-diskoa talka (II)

Disko batek horma batean talka egiten du

Saiakuntza

Erreferentzia

Demagun, esaterako, tenis-pilota bat, errotaziorik ez duena (translazio hutsa) eta zorua jotzen duela. Talkak denbora-tarte labur bat irauten du, eta ondoren, pilotaren eta zoruaren arteko marruskadura-indarraren eraginez, pilotak errotatu egiten du, alegia abiadura angeluarra jaso du. Bi kasu ezberdin gerta daitezke:

1.  Pilotak zorua ukitzeari utzi baino lehen, (uzten duen unean) irristatu gabe errodatzen hastea (egotea).

2.  Pilotak zorua ukitzeari utzi baino lehen (uzten duen unean), irristatzen hastea (egotea).

Ezagutzen badira, talka baino lehen, pilotaren abiadura, eraso-angelua, itzultze-koefizientea eta marruskadura-koefizientea, orduan kalkula daitezke talkaren ondorengo angelua, pilotaren translazioaren abiadura eta errotazioaren abiadura angeluarra.

Pilotak, zorua ukitzen duen bitartean, hiru indar jasaten ditu, ondoko irudiak erakusten duen bezala: pisua, mg, zoruaren erreakzio normala, N, eta zoruaren marruskadura indarra, Fr=μN. Gehienetan, talka indartsuetan, zoruaren N erreakzio normala mg pisua baino asko handiagoa izaten da.

Demagun esaterako, tenis-pilota bat metro bateko altueratik erortzen uzten dela, talkaren itzultze-koefizientea e=0.78 dela eta talkaren iraupena Δt=0.005 s. dela. Pilotak talka baino lehen duen abiadurari dei diezaiogun u_y, orduan talkaren ondoren honako abiadura du: v_y= –e·u_y. Pilotaren azelerazioa honela kalkula daiteke:

Izan ere, azelerazio hori grabitatearen azelerazioa baino askoz handiagoa: g=9.8 m/s².

Eta pilotaren dinamika bertikala honela adieraz daiteke:  ma_y=N-mg

Horrek esan nahi du, pilotaren pisua, mg , arbuiagarria dela zoruaren N erreakzio normalaren aldean.

Pilota batek zoruaren kontra nola egiten duen talka aztertzea, orokorrean, are konplikatuagoa izan daiteke,zorua ere deformagarria izan daitekeelako, pilotaren forma esferikoa galdu egiten delako, pilota bat izatez, ez delako gorputz uniforme bat, geruza mehe bat baizik, barruan puztutako airea duena...

Gure kasuan, kalkuluak errazteko, disko zurruna eta zoru zurruna hartuko ditugu kontutan, alegia, biak deformaezinak.

Orri honen helburu nagusia da, talka-mota horretan momentu angeluarra kontserbatzen dela erakustea, baina hala ere, komenigarria da solido zurrunaren higidura orokorra menperatzea.

Eredu sinplea: partikula batek talka egiten du horma batean

Gogora dezagun e itzultze-koefizientearen definizioa:

Hemen, v₁ eta v₂ dira, partikulen abiadurak talkaren ondoren, eta u₁ eta u₂ partikulen abiadurak talka baino lehen.

Kasu honetan, 2 partikula horma bat da, beraz, geldi dago talka baino lehen eta ondoren: u2=v2=0 Diskoa berriz, hormarantz hurbiltzen da honako abiaduraz: u1=u·cosq , eta urruntzen denean honako abiadura du: v1= -v·cosf .

Hona hemen abiaduren arteko erlazioak:

u·sinq =v·sinf
u·e·cosq =v·cosf .

Hortik ateratzen da erlazio bat, eraso-angeluaren (q) eta islapen-angeluaren (f) artean.

tanq =e·tanf

Ezagutzen bada, talkaren e itzultze-koefizientea eta q eraso-angelua orduan f islapen-angelua kalkula daiteke, eta ondoren, u eraso-abiadura ezagutzen bada, v islapen-abiadura kalkula daiteke.

Disko batek talka egiten du horma batean

Har dezagun kontutan orain, diskoak biratu egin dezakeela:

1. Itzultze-koefizientearen definiziotik:

e·u·cosq = v·cosf  (1)

2. Pilotaren momentu angeluarra, talkaren P puntuarekiko:

Hormak pilotari egiten dizkion indarrak P puntuan bertan aplikatzen direnez, indar horien momentuak P puntuarekiko nuluak dira. Pilotaren momentu angeluarra puntu horrekiko konstantea izango da:

Idatz dezagun pilotaren momentu angeluarra P puntuarekiko, talka baino lehen eta ondoren, eta berdinak direla inposatu (pilota diskotzat hartuko da, I=mr²/2, hasieran ez du errotaziorik, eta ondoren w abiadura angeluarra du):

r·mv·sinf +I·w =r·mu·sinq 

eta sinplifikatuz:

rω=2u·sinq  -2v·sinf   (2)

Ekuazio bi lortu ditugu, baina hiru ezezagun:

• Diskoaren zentroaren v translazio-abiadura eta bere f norabidea talkaren ondoren.
• Diskoaren errotazioaren abiadura angeluarra: ω.

Arazo hau ebazteko ekuazio bat gehiago behar da.

Diskoak ez du irristatzen

Diskoak ez badu horman irristatzen P puntuaren abiadura nulua da:

v_P=v·sinf -w r =0   (3)

Hiru ekuazio ditugu eta hiru ezezagun

Ezagutzen badira, talka baino lehen, diskoaren u abiadura eta q angelua, hiru ekuazio horiekin kalkula daitezke, talkaren ondoren: v, diskoaren zentroaren translazio-abiadura, w , diskoaren errotazio-abiadura, eta diskoaren norabideak osatzen duen f angelua norabide normalarekiko.

(3) ekuaziotik bakantzen da rω eta ordezkatzen da (2) ekuazioan:

v·sinf  =(2/3)·u·sinq
v·cosf  =e·u·cosq

Azkenik, errotazioaren abiadura angeluarra, ωr, berriz kalkula daiteke (3) ekuaziotik:

w r=(2/3)u·sinq .

Energiaren balantzea

Diskoaren energia zinetikoa talka baino lehen:

Eta talkaren ondoren diskoaren energia zinetikoa:

Talkan galdutako energiari dei diezaiogun Q .

Diskoak irristatzen du

Hormak diskoari bi indar eragiten dizkio: N erreakzio normala eta F marruskadura indarra. P puntuak irristatzen badu (v_P¹ 0), orduan F indarraren noranzkoa v_P abiaduraren aurkakoa da.

Hormaren N erreakzio normalak Dt iraupena du, talkaren iraupena, eta diskoaren momentu linealaren osagai normalari soilik eragiten dio. Era berean, F indarraren inpultso edo bulkadak diskoaren momentu linealaren osagai paraleloari soilik eragiten dio:

Baina, P puntuak irristatzen duenean, indar biak erlazionatuta daude, F=m ·N, eta orduan, lehengo (3) ekuazioaren ordez, bestelako ekuazio bat lortzen da:

-mv·sinf +mu·sinq =m (mv·cosf +mu·cosq )   (3)

hiru ekuazio ditugu eta hiru ezezagun

(1) ekuazioko v·cosf  ordezka daiteke (3) ekuazioan:

v·cosf =e·u·cosq     (1)

v·sinf =u·sinq -m u(1+e)·cosq

Eta ekuazio hori atalez atal zatitzen bada (1) ekuazioaz, honako ekuazioa lortzen da, alegia, q eraso-angeluaren eta f islapen-angeluaren arteko erlazioa:

f  islapen angelua kalkulatu ondoren, (2) ekuazioan diskoaren errotazio-abiadura angeluarra kalkula daiteke: rω

rω =2u·sinq  -2v·sinf =2m (1+e)·u·cosq

Energiaren balantzea

Talkan galdutako energiari dei diezaiogun Q:

Angelu kritikoa

Diskoaren P puntuak ez badu irristatzen orduan, v_P=0, baina ez dago erlazio finkorik F eta N indarren artean. Lehen kalkulatu dugu eraso- eta islapen angeluen arteko erlazioa:

Baina diskoaren P puntuak irristatzen duenean, v_P¹ 0, baina badago erlazio finko bat F eta N indarren artean: F=m ·N,

Aurreko bi baldintzak aldi berean betetzen dituen eraso-angeluari, alegia, P puntua justu irristatzen hasten deneko eraso-angeluari, dei diezaiogun angelu kritiko, q_c (marruskadura-koefiziente estatikoa eta dinamikoa berdinak direla suposatuko dugu). Beraz:

• Diskoaren eraso-angelua, θ<θ_c bada, diskoaren P puntuak ez du irristatzen talkak irauten duen bitartean.

• Aldiz, diskoaren eraso-angelua, θ>θ_c bada, diskoaren P puntuak irristatzen du talkak irauten duen bitartean.

Kasu berezia:Talka elastikoa

Demagun m =0 eta e=1,

Kasu horretako angelu kritikoa, q_c=0 da. Beraz, diskoak edozein angelurekin erasota, irristatu egingo du (θ=0 izan ezik). Diskoaren P puntuak irristatzen du:

• Islapen-angelua eta eraso-angelua berdinak dira: f =q
• Diskoak ez du biratzen talkaren ondoren: rω=0
• Talkan galdutako energia nulua da: Q=0

Adibideak:

Ondoko taulak ematen ditu zenbait materialen arteko e itzultze-koefizienteak eta m marruskadura-koefizienteak:

Datuen jatorria: Doménech A, Doménech M.T. Colisiones inelásticas de esferas. Revista Española de Física 4, 3 (1990) 52-56 orr.

Har dezagun, esaterako altzairua-altzairua:

• m =0.1
• e=0.94

Angelu kritikoa kalkula daiteke:

tanq_c=3m (1+e)       q_c=8.8º.

• Eraso angelua: q =45º.

• Diskoaren abiadura talka  baino lehen: u=3.5 m/s.

Eraso angelua q >q_c . Beraz diskoaren P puntuak irrist egingo du

1.  Talkaren ondorengo angelua kalkulatzeko irristatze-kasuaren formula erabili behar da:

Eta hona hemen emaitza: f =40.61º

2.  Diskoaren zentroaren v translazio-abiadura talkaren ondoren:

v·cosf =e·u·cosq

Eta emaitza: v=3.06

3.  Diskoaren errotazioa kalkulatzeko (rw ), honako erlazioa erabili behar da:

rw =2m (1+e)·u·cosq

Eta emaitza rw =0.96

Egiazta daiteke, P puntuaren abiadura positiboa irteten dela: v_P=v·sinf -rw>0, eta beraz diskoak irristatu egiten du.

4.  Talkan galdutako energia kalkula daiteke, energiaren balantzea kalkulatuz: amaieran translazioa eta errotazioa eta hasieran translazio hutsa:

Q= -1.2m

Eraso angelua q <q_c . Beraz diskoaren P puntuak ez du irrist egiten

• Demagun eraso-angelua q =5º.

1. Talkaren ondorengo angelua kalkulatzeko, ez-irristatzearen formula erabili behar da:

Eta emaitza: f =3.55º

2. Talkaren ondorengo abiadura, itzultze-koefizientearen definiziotik:

v·cosf =e·u·cosq

Emaitza: v=3.28 m/s.

3. Diskoaren errotazioa kalkulatzeko (rw ), honako erlazioa erabili behar da:

rw =(2u/3)·sinq

Beraz, rw =0.203

Kalkula daiteke, egiaztatzeko, P puntuaren abiadura: v_P=v·sinf -rw=0, beraz ez du irristatzen.

4. Talkan galdutako energia:

Q= -072·m

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Diskoa eta horma osatzen dituzten materialak. Dagokion zerrenda tolestuan aukeratuz. Horrela, itzultze-koefizientea eta marruskadura-koefizientea finkatzen dira.
• Diskoaren eraso-angelua, desplazamendu barrari saguaz eragiten.
• Diskoaren hasierako abiadura, dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Hasierako u abiadura eta q angeluaren arabera, programak kalkulatzen ditu: diskoaren zentroaren v abiadura talkaren ondoren, diskoaren w errotazio-abiadura angeluarra, eta islapenaren f angelua.