Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen

Disko bi akoplatzen (I)

Disko bi akoplatzen (II)

Indar zentral  bat
hagatxo batean

Patinatzaile bat biraka

Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia

Pendulu balistikoa (II)

Kutxa bat irauli

Talka inelastikoa
bala-disko biratzailea

Hagatxo batez
abiadura transmititzen

Kontserbazioak:
momentu lineala eta
momentu angeluarra

Disko-horma talka

Diskoa-diskoa talka (I)

Diskoa-diskoa talka (II)

Talkak aire-mahai batean: momentu lineala eta angeluarra kontserbatzen

Pilota batek pala bat jotzen du

Erreferentziak

Orri honetan bi talka-mota aztertzen dira, eta bietan kontserbatzen dira aldi berean momentu lineala eta momentu angeluarra, sistema isolatuak direlako.

• Lehen talka-mota da, bala batek disko bat jotzen duela eta itsatsita geratzen dela, baina dena gertatzen da aire-mahai baten gainean, alegia, pisurik eta marruskadurarik gabe.

• Bigarren talka-mota da, pilota batek pala bat jotzen duenean, baina pala ez dago inon eutsita.

Talkak aire-mahai batean: momentu lineala eta angeluarra kontserbatzen

Aire mahai-batek zulotxo ugari ditu eta bertatik airea ateratzen da, gorantz eta bertikalki, horrela, mahai gainean kokatzen den edozein gorputz aske mugitzen da mahaian zehar irristatuz, marruskadurarik gabe.

Horrelako mahai batean, disko bat kokatzen da pausagunean, bala batekin tiro egiten zaio, zentrotik x distantziara, eta talkaren ondoren, biak itsatsita geratzen dira. Balaren masa m da, bere abiadura u, diskoaren masa M eta erradioa R, ondorengo irudiak erakusten duen bezala.

Talkaren ondoren, bikotearen masa-zentroa (irudian puntu urdina) V_c abiadura konstanteaz mugitzen da, eta aldi berean multzo osoak bere inguruan biratzen du ω abiadura angeluarraz.

Balak eta diskoak osatzen duten multzoa isolatua da, kanpo-indar erresultantea nulua delako, eta momentu erresultantea ere bai. Horren ondorioz, momentu lineala eta momentu angeluarra, biak kontserbatzen dira.

• Aplikatzen bada, momentu linealaren kontserbazio-printzipioa multzoaren translazio-abiadura kalkula daiteke, V_c:

mu=(M+m)V_c 

Multzoaren masa-zentroa eta diskoaren zentroa, orokorrean ez dira puntu bera. Dei diezaiogun h bien arteko distantziari:

 

• Eta aplikatzen bada, momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa multzoaren ω abiadura angeluarra kalkula daiteke:

Kalkula ditzagun momentu angeluarrak, esaterako inpaktuaren P puntuarekiko:

Talka baino lehen, momentu angeluarra balarena da eta, beraz, nulua.
Talkaren ondoren, momentu angeluarrak bi termino ditu: balarenak nulua izaten segitzen du eta diskoarenak aldi berean beste bi termino ditu: batetik, O zentroaren translazioari dagokiona P puntuarekiko eta, bestetik, disko osoaren errotazioari dagokiona O zentroarekiko.

O zentroaren translazio-abiadura kalkula daiteke, gehituz, masa-zentroaren V_c translazio-abiadura eta diskoaren errotazio abiadura C puntuaren inguruan: ω×h

Hortaz, diskoaren momentu angeluarra P puntuarekiko hau da:   -I_oω+Mx(V_c-ωh)=0
Diskoaren inertzia-momentua O puntuarekiko hau da: I_o=MR²/2

Momentu linealaren kontserbaziotik, V_c translazio-abiadura kalkulatzen da eta momentu angeluarraren kontserbaziotik ω abiadura angeluarra:

Momentu angeluarrak beste zenbait punturekiko ere kalkula daitezke, esaterako multzoaren M.Z. masa-zentroa:

Talka baino lehen, momentu angeluarra balarena da: m(x-h)u

Eta talkaren ondoren, balak eta diskoak solido bakar bat osatzen dute, eta bere errotazioari dagokion momentu angeluarra, bere masa-zentroarekiko, hau da:

I_o+Mh² da, diskoaren inertzia-momentua baina ez bere zentroarekiko, M.Z-rekiko baizik (Steiner-en teorema), eta beste terminoa balaren inertzia-momentua da (adierazpen horretan errotazioaren terminoak soilik daude, eta ez dago masa-zentroaren translaziozko terminorik, masa-zentroarekiko berarekiko delako). Momentu angeluarraren kontserbazioa planteatzen bada, M.Z.-rekiko honako ekuazioa lortzen da, eta bertatik, w abiadura angeluarra kalkula daiteke, lehengo emaitza bera:

• Bestalde, kalkula daiteke talkan galdutako energia, dei diezaiogun Q ,

Hasieran, energia zinetiko osoa balarena da, eta amaieran, masa-zentroaren translazioaren energia zinetikoa gehi multzoaren errotazioaren energia zinetikoa masa-zentroaren inguruan.

Adibidea

• Balaren hasierako abiadura, u=1.0 m/s.

• Balaren masa, m=0.5 kg.

• Diskoaren masa, M=1.5 kg

• Diskoaren erradioa, R=0.5 m.

• Balaren talka-parametroa, x=0.3.

Disko baten inertzia-momentua bere zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

Diskoak eta balak osatzen duten bikotearen masa-zentroaren h posizioa, diskoaren zentroarekiko:

Orduan, kalkula daitezke multzoaren masa-zentroaren V_c translazio-abiadura konstantea eta multzoak masa-zentroaren inguruan duen w abiadura angeluarra:

Talkan galdutako energia:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Balaren masa, m, dagokion kontrolean idatziz.
• Diskoaren masa, M, dagokion kontrolean idatziz.
• Diskoaren erradioa finkotzat hartu da: 0.5 m.
• Balaren abiadura ere finkotzat hartu da: u=1 m/s.

Berria botoia sakatu.

Leihatilako zirkulu gorriak bala adierazten du, eta saguarekin mugi daiteke gora eta behera, bere x talka-parametroa aldatzeko.

Hasi botoia sakatu.

Bala diskorantz abiatzen da eta bertan itsasten da, zentrotik x distantziara. Talkaren ondoren, multzo osoak mugitzen segitzen du translazio eta errotazioaz.

Eskumako eta goiko aldean, programak idatziz  erakusten ditu honako datuak:

• Multzoaren errotazioaren abiadura angeluarra: ω.
• Multzoaren masa-zentroaren translazio-abiadura: V_c .

Pilota batek pala bat jotzen du

Ondoko irudiak erakusten du, orokorrean, pala batek pilota nola jotzen duen, bi aldiunetan: jo baino lehen eta ondoren. Pilotak m masa du eta vo abiadura, eta palan jotzen du, bere masa-zentrotik x distantziara. ω eta ω0 dira palaren abiadura angeluarrak talka baino lehen eta ondoren. Talkaren ondoren palaren masa-zentroaren abiadura Vc da.

Kalkuluak errazteko, eman dezagun pala habe bat dela, M masaduna eta L luzeraduna, eta hasieran pausagunean dagoela. Bestalde, pilota partikulatzat har dezakegu, m masa eta u abiaduraduna, eta pala jotzen duela bere zentrotik x distantziara. Pala aske dago, alegia, ez dauka inolako loturarik.

Hasieran, pala pausagunean dago eta pilotak jotzen du bere zentrotik x distantziara, irudiak erakusten duen bezala. Amaieran, pilotak v abiadura dauka, palak, aldiz, ω abiadura angeluarra bere masa-zentroaren inguruan eta, aldi berean, palaren zentroa Vc translazio-abiadura konstanteaz desplazatzen da.

Pilotak eta palak osatzen duten bikotea, bikote isolatua da, alegia, kanpo indarren erresultantea nulua dela eta kanpo indarren momentu erresultantea ere bai. Hala bada, momentu lineal totala eta momentu angeluar totala kontserbatzen dira:

• Momentu linealaren kontserbazioa

mu=MV_c+mv

• Momentu angeluarraren kontserbazioa

mu·x= I_cω+mv·x

hemen, I_c=ML²/12 da, alegia, hagatxo baten inertzia momentua bere zentrotik pasatzen den ardatz perpendikular batekiko.

Orduan ekuazio bi ditugu baina hiru ezezagun: v, ω eta V_c.

• Bestalde, talkaren energiaren balantzea kalkulatzen bada, hau da, hasierako eta amaierako energia zinetikoak:

Eta Q deitu diogu talkan galdutako energiari. Orokorrean, Q negatiboa izan ohi da, amaierako energia hasierakoa baino txikiagoa delako.

Baina kasu berezi bat da talka erabat elastikoa denean, Q=0. Kasu horretan, energia totala kontserbatzen da eta energiaren ekuazioa lagungarria da hiru ezezagunak kalkulatzeko (v, ω eta V_c ). Bestela, Q ezezaguna bada, oraindik dugu ezezagun bat gehiago ekuazioak baino.

Itzultze-koefizientearen definizioa (e) hirugarren ekuazioa izan daiteke, izan ere, abiadura erlatiboen erlazioa delako eta beraz, energia-galeraz erlazionatuta dagoelako. Talka elastikoa denean e=1 eta erabat inelastikoa denean e=0.

Demagun habea osoa partikula bat dela, eta pausagunean dagoela justu pilotak jotzen duen puntuan. Pilotak u abiadura du eta m masa. Talkaren ondoren, pilotak v abiadura du eta, aldiz, pala ordezkatzen duen partikulak V_c+ ω·x abiadura du, izan ere, palaren translazio-abiadura eta errotazio-abiaduraren batura.

Hasierako abiadura erlatiboa: u-0 Amaierako abiadura erlatiboa: v-(Vc+ ω·x) Itzultze-koefizientea honela definitzen da: v-(Vc+ ω·x)= −e(u-0)

Ezagutzen bada talka horretako itzultze-koefizientea, e, orduan, hiru ekuazio ditugu hiru ezezagunak kalkulatzeko. Zenbait kalkulu burutu ondoren:

• Hagatxoaren ω abiadura angeluarra, bere zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

• Hagatxoaren zentroaren V_c translazio-abiadura:

• Eta pilotaren v abiadura talkaren ondoren:

v= −eu+V_c+ω·x

Ondoren, energia zinetikoak zehazki kalkula daitezke, palarena eta pilotarena, talka baino lehen eta ondoren.

Talka elastikoak

• Momentu linealaren kontserbazioa

mu=MV_c+mv

• Momentu angeluarraren kontserbazioa

mu·x= I_cω+mv·x

• Talka elastikoetan energia zinetikoa ere kontserbatzen da:

Hiru ekuazioetatik kalkula daitezke palaren zentroaren V_c  translazio-abiadura eta bere errotazioaren ω abiadura angeluarra.

(pilotaren v abiadura ere kalkula daiteke baina geroko utz daiteke) Emaitza hori bera lortu da kasu orokorrean e=1 ordezkatuz.

Errotazioaren ω abiadura angeluarra bestela ere berridatz daiteke:

Ikusten denez, x=0 denean, alegia, pilotak justu palaren zentroan jotzen duenean, orduan palaren ω abiadura angeluarra nulua ateratzen da: pala translazio hutsez mugitzen da talkaren ondoren. x distantzia handitu ahala, ω abiadura angeluarra ere handituz doa.

Deribatzen badugu ω abiadura angeluarra x aldagaiarekiko eta nulua izan behar dela inposatzen badugu, abiadura angeluarrak maximo bat duela ateratzen da, pilotak justu honako posizioan jotzen dionean.

Eta posizio hori ez da justu palaren ertza (x=L/2), itxuraz pentsa zitekeen arren.

• Baldin M>2m bada (pilota txikia), orduan x_m>L/2 hau da, pala baino luzeagoa den posizio bat. Kasu horretan, palaren ω abiadura angeluarra  handituz doa x handitzen den heinean, eta x=L/2 puntuan maximo erreal posiblea ateratzen da (ondorengo irudiko kurba gorria).

• Baina baldin M<2m bada (pilota handia), orduan, x_m<L/2, (irudiko kurba urdina).

Irudiko kurbak: gorria, pilota txikia M=2.5m, eta urdina, pilota handia M=0.5 m.

Kurba urdinaren maximoa honako posizioan gertatzen da:

Adibide inelastikoa

• Pilotaren hasierako abiadura, u=1.0 m/s.

• Pilotaren masa, m=0.25 kg.

• Palaren masa, M=1.5 kg

• Palaren luzera, L=1.0 m.

• Talkaren itzultze-koefizientea: e=0.7.

• Pilotaren talka-parametroa, x=0.3.

Hagatxo baten inertzia-momentua bere zentrotik pasatzen den ardatz perpendikular batekiko:

Ekuazioak

1. Momentu linealaren kontserbazioa:

0.25·1.0=1.5·V_c+0.25·v

2. Momentu angeluarraren kontserbazioa:

0.25·1.0·0.3=0.125ω+0.25v·0.3

3. Itzultze-koefizientearen definizioa:

v -(V_c+ ω·0.3)= -0.7(1.0-0)

Hiru ekuazio eta hiru ezezagun. Kalkuluak eginez:

• Pilotaren abiadura berria v= -0.262 m/s,

• Palaren zentroaren translazio-abiadura: V_c=0.210 m/s,

• Palaren errotazioaren abiadura angeluarra, bere zentroaren inguruan: ω=0.757 rad/s

Talkan galdutako energia:

Negatiboa da galdutakoa delako.

2 adibidea:

Talka horretan bertan ordezka dezagun itzultze koefizientea: e=1 (elastikoa).

Hona hemen emaitzak:

v= -0.485 m/s, V_c= 0.247 m/s,  ω=0.891 rad/s

Talkan galdutako energia: Q=0 

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Partikularen masa, m, (pilotarena) dagokion kontrolean idatziz.
• Hagatxoaren masa, M, (palarena) dagokion kontrolean idatziz.
• Itzultze-koefizientea, e, dagokion desplazamendu-barrari saguaz eragiten (0 eta 1 bitartean).
• Hagatxoaren luzera finkotzat hartu da: 1.0 m.
• Partikularen abiadura ere finkotzat hartu da: u=1 m/s.

Berria botoia sakatu.

Leihatilako zirkulu gorriak partikula adierazten du (pilota), eta saguarekin mugi daiteke gora eta behera, bere x talka-parametroa aldatzeko.

Hasi botoia sakatu.

Pilota palarantz abiatzen da eta bertan jotzen du, zentrotik x distantziara, baina ez da itsatsita geratzen. Talkaren ondoren, pilotak higidura zuzen eta uniformea du (aurrerantz edo atzerantz), palaren zentroak translazio zuzen eta uniformea, eta palak berak errotazioa bere zentroaren inguruan.

Eskumako eta goiko aldean, programak idatziz  erakusten ditu honako datuak:

• Pilotaren abiadura talkaren ondoren: v.
• Palaren zentroaren translazio-abiadura: V_c .
• Palaren errotazio-abiadura angeluarra: ω.

Ezkerreko eta azpiko aldean, tarta-itxurako diagrama batek energiaren balantzea erakusten du:

• Gorriz, pilotaren energia zinetikoa, talka baino lehen eta ondoren: E₁=mv²/2.
• Urdinez, palaren masa-zentroari dagokion translaziozko energia zinetikoa: E₂=MV_c²/2
• Grisez, palaren errotazioari dagokion energia zinetikoa: E₃=I_cω²/2.

Talka elastikoa bada, (e=1) energia zinetiko totala berdina da talka baino lehen eta ondoren, baina aldiz, elastikoa ez bada (e<1), hasierako energia handiagoa da amaierakoa baino. Tarta-itxurako diagraman, gris-argi koloreko zirkuluak hasierako energia zinetikoa adierazten du.