Momentu lineala eta angeluarra kontserbatzen,

 disko biren arteko talkan (I)

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen
Disko bi akoplatzen (I)
Disko bi akoplatzen (II)
Indar zentral  bat
hagatxo batean
Patinatzaile bat biraka
Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia
Pendulu balistikoa (II)
Kutxa bat irauli
Talka inelastikoa
bala-disko biratzailea
Hagatxo batez
abiadura transmititzen
Kontserbazioak:
momentu lineala eta
momentu angeluarra
Disko-horma talka
marca.gif (847 bytes)Diskoa-diskoa talka (I)
Diskoa-diskoa talka (II)
Aurrez aurreko talkak

Talka zeiharrak

Ekuazio-multzoa nola ebatzi

Saiakuntza

Programazio-kodea

 

Partikula-multzoen dinamikaren kapituluan, aurrez-aurreko talkak sakonki aztertu ditugu, bai elastikoak zein inelastikoak, bai ikuspegi inertzialetik (laborategiko erreferentzia-sistematik) zein masa-zentroaren ikuspegitik. Ondoren, bi dimentsiotako talkak ere aztertu ditugu. Bai dimentsio bakarrean zein bi dimentsiotan, talkan parte hartzen duten bi partikulek multzo isolatua osatzen badute, momentu linealaren kontserbazio-printzipioa aplikatu dugu, eta ondoren, talkaren energia-balantzea aztertu dugu. Baina kapitulu horretan, talkan parte hartzen duten gorputz guztiak partikulatzat hartzen dira, ez dute ez neurri ez tamainarik.

Ondorengo irudiak erakusten du disko biren arteko talka: m1 eta m2 masadunak eta r1, r2 erradiodunak. Ikusten denez, gorputzen tamainak ere kontutan hartuko ditugu. Talka baino lehen, lehen diskoak u1 abiadura du eta bigarren diskoa geldi dago (u2=0). Talkarako parametro garrantzitsu bat talka-parametroa da, irudian b, bi diskoen zentroen norabideen arteko distantzia.

Talkaren ondoren, lehen diskoaren abiadura v1 da eta φ1 angelua osatzen du norabide horizontalarekin (talka baino lehenagoko norabidearekin), baina gainera, biratu egiten du bere zentrotik pasatzen den ardatz perpendikular batekiko, w1 abiadura angeluarraz. Bigarren diskoa, aldiz, v2 abiaduraz mugitzen da φ2 angelua osatzen du norabide horizontalarekin eta biratu egiten du bere zentroaren inguruan, w2 abiadura angeluarraz.

Ezagunak badira talka baino lehenagoko baldintzak, kalkulatu nahi ditugu talkaren ondorengoak:

  • Diskoen zentroen translazio-abiaduren moduluak: v1 eta v2, eta norabideak: φ1 eta φ2.
  • Diskoen errotazioen abiadura angeluarrak: w1 eta w2.

Hortaz, sei ezezagun ditugu, baina bi diskoek osatzen duten multzoa isolatua da (kanpo-indarren erresultantea nulua da) beraz, momentu lineal totala kontserbatzen da. Gainera, disko bakoitzak jasaten duen indar totalaren momentua, P talka-puntuarekiko, ere nulua da, barne-indarrak puntu horretan bertan aplikatzen direlako, beraz, disko bakoitzaren momentu angeluarra P puntuarekiko ere konstantea izango da.

  • Momentu lineal totalaren kontserbazioak bi ekuazio ematen ditu, osagai horizontala eta bertikala.
  • Momentu angeluar indibidualen kontserbazioak beste bi ekuazio: lehen diskoarena eta bigarren diskoarena.
  • Energiaren balantzea, e itzultze-koefizientearen menpe, bosgarren ekuazioa da.
  • Disko biak ukitzen direnean, gainazalek irrist egin dezakete edo ez: kasu batean zein bestean beste ekuazio bat gehiago daukagu: seigarrena.

Aurrez-aurreko talkak

Aurrez-aurreko talkak dimentsio bakarrean gertatzen dira, alegia, ardatz bakar baten norabidean, eta horrexegatik dira matematikoki sinpleenak. Bi ekuaziorekin deskriba daitezke: momentu lineal totalaren kontserbazioa eta itzultze-koefizientearen definizioa:

m1u1 =m1v1+m2v2                (1)

 -e·u1=v1-v2                                    (2)

Hona hemen emaitzak:

 

Talka zeiharrak

Talka-parametroa

Ondorengo irudiak erakusten du talka-parametroa zeri deritzon, alegia, lehen diskoaren u1 abiaduraren norabidetik bigarren diskoaren zentrora dagoen b distantziari. Irudiak berak erakusten du zein erlazio dagoen talka-parametroaren eta θ angeluaren artean, alegia, talkaren unean, bi diskoen zentroak lotzen dituen norabideak eta u1 abiaduraren norabideak osatzen dutena:

Iruditik:

b=(r1+r2)·sinθ

Momentu lineal totalaren kontserbazioa

  • X ardatzaren norabidean:

m1u1 =m1v1x+m2v2x                (1)

  • Y ardatzaren norabidean:

0=m1v1y+m2v2y                       (2)

Momentu angeluar indibidualen kontserbazioak, P puntuarekiko

1 diskoaren momentu angeluarra kontserbatzen da, P puntuarekiko:

-m1·r1·u1sinq= I1ω1- m1·r1·(v1xsinθ+ v1ycosθ)                   (3)

2. diskoaren momentu angeluarra kontserbatzen da, P puntuarekiko:

0=I2ω2 +m2·r2·(v2xsinθ+ v2ycosθ)                                    (4)

Energiaren balantzea. Itzultze-koefizientea

Itzultze-koefizientearen definizioa:

                 (5)

Bi diskoak ukitzen ari direnean:

  • Ez badute irristatzen

Bi diskoen arteko kontaktuak P puntuan ez badu irristatzen, orduan, bi diskoen P puntuetako abiadurak berdinak izango dira.

r1ω1+v1xsinθ+ v1ycosθ= -r2ω2 + v2xsinθ+ v2ycosθ                     (6)

  • Irristatzen badute

Kontaktu-puntuan sortzen diren bi indarrak honakoak dira

  • Erreakzio normala, N,
  • Marruskadura indarra, F.

Goiko irudiak erakusten ditu bigarren diskoak (gorriak) lehen diskoari (urdinari) eragiten dizkion indarrak. Lehenak bigarrenari (urdinak gorriari) eragiten dizkionak berdinak dira baina alderantzizkoak.

Diskoen arteko kontaktuak P puntuan irristatzen badu, orduan indar bi horiek erlazionatuta daude: F=μ·N

Talkaren iraupena laburra da: dei diezaiogun Dt. Denbora horretan, N indarrak lehen diskoaren momentu lineala aldatzen du norabide horretan (norabide normalean), eta F indarrak ere lehen diskoaren momentu lineala aldatzen du bere norabidean (norabide  tangentzialean).

Eta gainera, indar biak erlazionatuta daude:

μ(v1ysinθ-v1xcosθ+u1cosθ)=- v1xsinθ-v1ycosθ+u1sinθ              (6)

Lehen diskoak bigarrenari eragiten dizkion indarrak ere horiek biak dira:

  • Erreakzio normala, N,
  • Marruskadura-indarra F

Ondorengo irudiak erakusten ditu, izan ere, lehenak bigarrenari eragiten dizkionak (urdinak gorriari). Lehengo indarren berdinak dira baina aurkakoak.

μ(v2xcosθ-v2ysinθ)=v2xsinθ+v2ycosθ                                    (7)

 

Ekuazio-multzoa nola ebatzi

Dei diezaiogun M=m1/m2 masen arteko erlazioari.

Orokorrean, solido baten inertzia-momentua bere masa zentrotik pasatzen den ardatz batekiko:

I=kmr2 eta disko baten kasuan: k=1/2

Idatz ditzagun sei ezezagunen menpeko sei ekuazioak:

Mv1x+v2x= Mu1+u2         (1)

Mv1y+v2y=0                      (2)

v1xsinθ+ v1ycosθ-kr1ω1= u1sinq            (3)

v2xsinθ+ v2ycosθ +kr2ω2 =0                     (4)

-v1xcosθ + v1ysinθ+v2xcosθ-v2ysinθ=eu1cosθ           (5)

v1xsinθ+ v1ycosθ - v2xsinθ-v2ycosθ +r1ω1+r2ω2 =0      (6)  Ez du irristatzen

(- μcosθ+sinθ)v1x+(μsinθ +cosθ) v1y=u1(sinθ- μcosθ)    (6)  Irristatzen du

Ekuaziook linealak dira, baina berrantola ditzagun matrize gisa idazteko eta matrize karratuaren diagonaleko elementuak nuluak izan ez daitezen:

  • Ez badu irristatzen

v1xsinθ+ v1ycosθ - v2xsinθ- v2ycosθ +r1ω1+r2ω2 =0       (6)  
Mv1y+v2y=0                                                                      (2)
Mv1x+v2x= Mu1+u2                                                         (1)
-v1xcosθ + v1ysinθ+v2xcosθ-v2ysinθ=eu1cosθ                  (5)
v1xsinθ+ v1ycosθ-kr1ω1= -u1sinq                                      (3)
v2xsinθ+ v2ycosθ +kr2ω2 =0                                             (4)

Idatz dezagun ekuazio-multzoa matrize gisa:

Ekuazio-multzoa ebazten da, irristatzen ez duen kasurako, baina gogoan izan irristatzen dueneko kasua noiz hasten den, alegia kasu horretako (6) ekuazioko lehen eta bigarren atalak konpara ditzagun:

A=μ(v1ysinθ-v1xcosθ+u1cosθ)
B=- v1xsinθ-v1ycosθ+u1sinθ

Baldin A>B bada, orduan, emaitza hori baliozkoa da, baina aurkako kasuan irristatuko du, eta bestelako matrizea ebatzi behar da:

  • Irristatzen badu

(- μcosθ+sinθ)v1x+(μsinθ +cosθ) v1y=u1(sinθ- μcosθ)     (6)
Mv1y+v2y=0                                                                     (2)
Mv1x+v2x= Mu1+u2                                                        (1)
-v1xcosθ + v1ysinθ+v2xcosθ-v2ysinθ=eu1cosθ                  (5)
v1xsinθ+ v1ycosθ-kr1ω1= -u1sinq                                     (3)
v2xsinθ+ v2ycosθ +kr2ω2 =0                                            (4)

Idatz dezagun ekuazio-multzoa matrize gisa:

Ekuazio-multzoa ebazten da, irristatzen duen kasurako, baina gogoan izan irristatzen ez dueneko kasua noiz hasten den, alegia honako ekuazioa noiz arte betetzen den:

μ(v2xcosθ-v2ysinθ)=v2xsinθ+v2ycosθ                                    (7)

Kalkuluen prozedura

Dei diezaiogun M matrize karratuari, X ezezagunen zutabe-bektoreari, eta B termino independenteen zutabe-bektoreari.

M·X=B

Ezezagunen bektore-zutabea bakan dezagun:

X=M-1·B

Beraz, sei ezezagunak kalkulatzeko, alegia, X zutabe-bektorea kalkulatzeko, lehenik, M matrize karratuaren alderantzizkoa kalkulatu behar da (M-1) eta ondoren matrize hori bidertu behar da termino independenteen B zutabe-bektoreaz. Orri honen amaieran erakusten da, eragiketa guzti horiek burutzen dituen Java kodea.

Adibidea:

Egiazta dezagun, programak burututako kalkuluekin, momentu lineal totala kontserbatzen dela eta disko bakoitzaren momentu angeluarra P puntuarekiko ere kontserbatzen dela:

Diskoen datuak:

  • Diskoen masak, m1=1, m2=1, eta beraz, M=m1/m2=1
  • Diskoen erradioak, r1=1,  r2=1
  • Bi diskoak altzairuzkoak: e=0.94 eta m =0.10

Talka baino lehen:

  • Lehen diskoaren abiadura: u1=3.5
  • Talka-parametroa: b=1.5, eta beraz, sinθ=1.5/(1+1), θ=48.60º

Talkaren ondoren:

  • Lehen diskoaren abiadura, v1=2.40, eta norabidea, φ1=39.75º (norabide horizontalaren gainetik)
  • Bigarren diskoaren abiadura, v2=2.26, eta norabidea, φ2= -42.88º (norabide horizontalaren azpitik)
  • Lehen diskoaren errotazioaren abiadura angeluarra: r1·ω1= -0.45, edota w1= -0.45 (erlojuaren orratzen alde biratzen du).
  • Bigarren diskoaren errotazioaren abiadura angeluarra: r2·ω2= -0.45, edota w2= -0.45

1.- Momentu lineal totalaren kontserbazioa.

Talka baino lehen, momentu lineal totala lehen diskoarena da (horizontala), bigarrena geldi dagoelako. Eta talkaren ondoren, bi diskoen momentu linealen batura da, irudiak erakusten duen bezala:

m1u1=m1v1cosφ1+m2v2cosφ2
0
=m1v1sinφ1+m2v2sinφ2

  • Talka baino lehen:

X ardatzean: 1·3.5=3.5
Y ardatzean: 0.0

  • Talkaren ondoren:

X ardatzean: 1·2.40·cos39.75+1·2.26·cos(-42.88)= 3.49
Y ardatzean: 1·2.40·sin39.75+2·2.26·sin(-42.88)=0.003 » 0.0

Egiaztatzen da, momentu lineal totala kontserbatzen dela, nahikoa zehaztasun handiz.

2.-Momentu angeluar indibidualak ere kontserbatzen dira P puntuarekiko:

Lehen diskoaren momentu angeluarra P puntuarekiko:

-m1·r1·u1sinq= I1ω1- m1·r1·v1sin(θ+φ1)
-1·1·3.5·sin48.60=1·12·(-0.45)/2-1·1·2.40·sin(48.60+39.75)

(Abiadura angeluarren zeinuak positiboak dira erlojuaren orratzen aurka)

Bigarren diskoaren momentu angeluarra P puntuarekiko:

0=I2ω2 +m2·r2·v2sin(θ+φ1) 
0=1·12·(-0.45)/2-1·1·2.26·sin(48.60+-42.88)

  1. Energiaren balantzea

Talka baino lehenagoko energia:

Ei=6.125

Talkaren ondorengo energia:

Ef=5.535

 Talkan galdutako energia: Q=EfEi= -0.590 (negatiboa da galdu delako)

2. adibidea: Aurrez-aurreko talkak

Diskoen datuak:

  • Diskoen masak: m2=1, m1=0.5, eta beraz: M=m1/m2=0.5
  • Bi diskoak altzairuzkoak: e=0.94

Talka baino lehen:

  • Lehen diskoaren abiadura: u1=3.5
  • Talka-parametroa: b=0.0, beraz, θ=0º

Talkaren ondoren:

  • Lehen diskoaren abiadura: v1= -1.03
  • Bigarren diskoaren abiadura: v2=2.26,
  1. Momentu lineal totalaren kontserbazioa:
  • Talka baino lehen:

X ardatzaren norabidean: 1.3.5=3.5

  • Talkaren ondoren:

X ardatzaren norabidean: -1·1.03+2·2.26=3.49

Egiaztatzen da momentu lineala kontserbatzen dela, nahikoa zehaztasun handiz.

  1. Energiaren balantzea:

Talka baino lehen:

Talkaren ondoren

Talkan galdutako energia: Q=Ef Ei= -0.243

 

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

  • Diskoen Masen erlazioa, M=m1/m2 dagokion kontrolean idatziz.
  • Lehen diskoaren hasierako abiadura, u1 , dagokion kontrolean idatziz.
  • Bigarren diskoa geldi dago koordenatuen jatorrian bertan, u2=0.
  • Bi diskoen hasierako abiadura angeluarra nuluak dira: ω1=ω2=0
  • Itzultze-koefizientea, e, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
  • Marruskadura-koefizientea, m, dagokion kontrolean idatziz.
  • Talkaren uneko θ, angelua, alegia, lehen diskoaren abiaduraren norabideak osatzen duena disko bien zentroak lotzen dituen norabidearekin, desplazamendu-barrari saguaz eragiten. Parametro hau aukera daiteke b talka-parametroaren ordez.

 

Hasi botoia sakatu.

Diskoak ikusten dira talka baino lehen eta ondoren.

Programak kalkulu guztiak burutzen ditu:

  • Diskoen translazio-abiadurak talkaren ondoren: v1 eta v2.
  • Bi diskoen norabideak talkaren ondoren, φ1 eta φ2, hasierako norabidearekiko.
  • Diskoen errotazioen r1·ω1 eta r2·ω2 . Erradioak ezagututa, r1 eta r2, abiadura angeluarrak erraz kalkula daitezke: ω1 eta ω2.
  • Talkan galdutako energia: Q.

Bi diskoen erradioak ezagututa (r1 eta r2) talka-parametroa aukeran asma dezakegu, b<(r1 + r2). Ondoren, talkaren uneko θ angelua kalkula daiteke honako erlazioaz:

b=(r1+r2)·sinθ

Eta angelu horixe idatzi angelua kontrolean, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Programak kalkulu guztiak burutu ondoren, egiazta dezakegu, besteak beste, momentu lineal totalaren kontserbazioa, momentu angeluar partikularren kontserbazioa P puntuarekiko, edota momentu angeluar totalaren kontserbazioa, lehenagoko adibideetan egin den bezalaxe.

  stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Programazio-kodea

public class Vector {
	public int n; //dimensión
	public double[] x;
	public Vector(int n) {
		this.n=n;
		x=new double[n];
		for(int i=0; i<n; i++){
			x[i]=0.0;
		}
	}
	public Vector(double[] x) {
		this.x=x;
		n=x.length;
	}
}
public class Matriz implements Cloneable{
	public int n; //dimensión
	public double[][] x;
	public Matriz(int n) {
		this.n=n;
		x=new double[n][n];
		for(int i=0; i<n; i++){
			for(int j=0; j<n; j++){
				x[i][j]=0.0;
			}
		}
	}
	public Matriz(double[][] x) {
		this.x=x;
		n=x.length;
	}
	public Object clone(){
		Matriz obj=null;
		try{
			obj=(Matriz)super.clone();
		}catch(CloneNotSupportedException ex){
			System.out.println(" no se puede duplicar");
		}
		obj.x=(double[][])obj.x.clone();
		for(int i=0; i<obj.x.length; i++){
			obj.x[i]=(double[])obj.x[i].clone();
		}
		return obj;
	}

//producto de una matriz por un vector columna (nxn) (nx1)= (nx1)
	static Vector producto(Matriz a, Vector v){
		int n=v.n; //dimensión
		Vector b=new Vector(n);
		for(int i=0; i<n; i++){
			for(int k=0; k<n; k++){
				b.x[i]+=a.x[i][k]*v.x[k];
			}
		}
		return b;
	}
//matriz inversa
	static Matriz inversa(Matriz d){
		int n=d.n; //dimensión de la matriz
		Matriz a=(Matriz)d.clone();
		Matriz b=new Matriz(n); //matriz de los términos independientes
		Matriz c=new Matriz(n); //matriz de las incógnitas
//matriz unidad
		for(int i=0; i<n; i++){
			b.x[i][i]=1.0;
		}
//transformación de la matriz y de los términos independientes
		for(int k=0; k<n-1; k++){
			for(int i=k+1; i<n; i++){
//términos independientes
				for(int s=0; s<n; s++){
					b.x[i][s]-=a.x[i][k]*b.x[k][s]/a.x[k][k];
				}
//elementos de la matriz
				for(int j=k+1; j<n; j++){
					a.x[i][j]-=a.x[i][k]*a.x[k][j]/a.x[k][k];
				}
			}
		}
//cálculo de las incógnitas, elementos de la matriz inversa
		for(int s=0; s<n; s++){
			c.x[n-1][s]=b.x[n-1][s]/a.x[n-1][n-1];
			for(int i=n-2; i>=0; i--){
				c.x[i][s]=b.x[i][s]/a.x[i][i];
				for(int k=n-1; k>i; k--){
					c.x[i][s]-=a.x[i][k]*c.x[k][s]/a.x[i][i];
				}
			}
		}
		return c;
	} 
}
class Colision {
	public static void main(String[] args) {
//datos
		double ang=0*Math.PI/180;
		double mu=0.1;
		double e=0.94;
		double u1=3.5;
		double M=0.5;
		double k=0.5;   //discos
//incógnitas
		double v1;
		double v2;
		double w1;
		double w2;
		double fi1;
		double fi2;
		double Q;
		if(ang==0){
//choques frontales
			v1=(M-e)*u1/(1+M);
			v2=M*(1+e)*u1/(1+M);
			fi1=.0;
			fi2=0.0;
			w1=0.0;
			w2=0.0;
		}else{
//choques oblicuos
			double[][] matriz={
			{Math.sin(ang), Math.cos(ang), -Math.sin(ang), -Math.cos(ang), 1.0, 1.0},
			{0.0, M, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0},
			{M, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0},
			{-Math.cos(ang), Math.sin(ang), Math.cos(ang), -Math.sin(ang),0.0, 0.0},
			{Math.sin(ang), Math.cos(ang), 0.0, 0.0, -k, 0.0},
			{0.0, 0.0, Math.sin(ang), Math.cos(ang), 0.0, k}
			};
			Matriz coef=new Matriz(matriz);
			double[] vector={
				0.0,
				0.0,
				(M*u1),
				(e*u1*Math.cos(ang)),
				(u1*Math.sin(ang)),
				0.0
				};
			Vector ter=new Vector(vector);
			Vector solucion=Matriz.producto(Matriz.inversa(coef), ter);
			System.out.println("No desliza ");
//desliza o no desliza?
			double V1x=solucion.x[0];
			double V1y=solucion.x[1];
			double V2x=solucion.x[2];
			double V2y=solucion.x[3];
			w1=solucion.x[4];
			w2=solucion.x[5];
			double A=mu*(V1y*Math.sin(ang)-(V1x-u1)*Math.cos(ang));
			double B=u1*Math.sin(ang)-V1x*Math.sin(ang)-V1y*Math.cos(ang);
			if(A<B){
//desliza
				coef.x[0][0]=Math.sin(ang)-mu*Math.cos(ang);
				coef.x[0][1]=Math.cos(ang)+mu*Math.sin(ang);
				coef.x[0][2]=0.0;
				coef.x[0][3]=0.0;
				coef.x[0][4]=0.0;
				coef.x[0][5]=0.0;
				ter.x[0]=-mu*u1*Math.cos(ang)+u1*Math.sin(ang);
				solucion=Matriz.producto(Matriz.inversa(coef), ter);
				V1x=solucion.x[0];
				V1y=solucion.x[1];
				V2x=solucion.x[2];
				V2y=solucion.x[3];
				w1=solucion.x[4];
				w2=solucion.x[5];
				double comprobar=V2y*Math.cos(ang)+V2x*Math.sin(ang)-
				mu*(-V2y*Math.sin(ang)+V2x*Math.cos(ang));
				System.out.println("desliza - comprobar"+comprobar);
			}
			v1=Math.sqrt(V1x*V1x+V1y*V1y);
			fi1=Math.atan2(V1y,V1x);
			v2=Math.sqrt(V2x*V2x+V2y*V2y);
			fi2=Math.atan2(V2y,V2x);
		}
//energía perdida en la colisión
		Q=M*v1*v1/2+M*k*w1*w1/2+v2*v2/2+k*w2*w2/2-M*u1*u1/2;
//imprime los resultados
		System.out.println("primera partícula: v. c.m. "+v1+" dirección "+
		(180*fi1/Math.PI)+" v. angular "+w1);
		System.out.println("segunda partícula: v. c.m. "+v2+" dirección "+
		(180*fi2/Math.PI)+" v. angular "+w2);
		System.out.println("energía perdida en la colisión "+Q);
	}
}