Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen

Disko bi akoplatzen (I)

Disko bi akoplatzen (II)

Indar zentral  bat
hagatxo batean

Patinatzaile bat biraka

Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia

Pendulu balistikoa (II)

Kutxa bat irauli

Talka inelastikoa: bala
eta disko biratzailea

Hagatxo batez
abiadura transmititzen

Kontserbazioak:
momentu lineala eta 
momentu angeluarra

Disko-horma talka

Diskoa-diskoa talka (I)

Diskoa-diskoa talka (II)

Talkaren ondorengo igoera

Saiakuntza

Errotazio-ardatzak hagatxoari eragiten dion indarra

Partikularen dinamikan ikusi dugu pendulu balistiko bat: alegia, bala batek bloke bat jotzen du eta bertan sartuta gelditzen da, aldi berean blokea hari bertikal batean eskegita dago, eta balaren bultzadaren eraginez haria gorantz inklinatzen da. Bai bala eta baita blokea ere partikulatzat hartu dira. Ariketa ebazteko, partikula-multzoetako bi kontserbazio-printzipio aplika daitezke: momentu linealarena eta momentu angeluarrarena.

Orri honetako penduluan, aldiz, blokea eta soka ordezkatu egiten dira, zilindro batez eta hagatxo batez. Biek solido zurrun bakar bat osatzen dute eta solido horren tamainak garrantzia duela ikusiko dugu. Zilindroaren masari M deituko diogu, bere erradioari r, hagatxoaren luzerari d eta hagatxoaren masa arbuiatuko da.

Ariketa honen helburu didaktiko nagusiena da, pendulu balistikoaren bi bertsioen ezberdintasuna erakustea: lehen pendulua partikulatzat hartzen denez (tamaina nulukoa) momentu lineala ere kontserbatzen da, baina bigarren pendulua ordea, solido zurrun bat denez (tamaina eta guzti), momentu angeluarra soilik kontserbatzen da.

Gainera ikusiko dugu, ibilbidearen punturik altuenean (bertikalera iristean), hari batez eskegita dagoen penduluak ezin duela abiadura nulua izan, eta aldiz, hagatxoarekin lotuta dagoen penduluak bai.

Talkaren oinarri fisikoak

Bigarren pendulu-mota honetan momentu angeluarra kontserbatzen da soilik, multzoa ez delako isolatua, alegia, kanpo-indar erresultantea ez da nulua. Hala ere, kanpo-indarren momentu erresultantea, O puntuarekiko, bai da nulua eta beraz:

Momentu angeluarraren kontserbazioa

• Momentu angeluarra talka baino lehen

Multzo osoaren momentu angeluarra, balarena da, pendulua geldi dagoelako, beraz, partikula baten momentu angeluarra O puntuarekiko:

L=r´ mv

Momentu angeluarraren modulua hau da: L=mv·d. eta hemen d momentu angeluarraren "besoa" da, alegia abiaduraren norabidetik O puntura dagoen distantzia.

• Momentu angeluarra justu talkaren ondoren.

Talkaren iraupena oso laburra da, eta beraz, talkaren ondoren pendulua bertikal dago oraindik (igotzen hasi gabe) baina w abiadura angeluarra du jadanik, goiko irudiak erakusten duen bezala. Penduluaren momentu angeluarra solido zurrun baten momentu angeluarra da:

L=I₀w

Hemen I₀ solidoaren inertzia-momentua da, eta hiru atal ditu:

• Zilindroaren inertzia-momentua: M masa, r erradioa eta Steiner-en teorema aplikatuz, biraketa-ardatza paraleloa delako eta d distantziara dagoelako.
• Hagatxoaren inertzia-momentua: arbuiagarria da.
• Balaren inertzia momentua: partikula batena da, m masa eta d distantzia ardatzeraino.

Talka baino lehen eta justu ondoren momentu angeluarrak berdinak direnez, kalkula daiteke w abiadura angeluarra justu talkaren ondoren.

Penduluaren momentu lineala ez da kontserbatzen

Talka baino lehen, momentu lineal totala balarena da, pendulua geldi dagoelako:

p_i=mv

Eta justu talkaren ondoren, momentu lineal totala:

p_f=(m+M)v_f

Hagatxoaren masa arbuiagarria bada, eta balak justu zilindroaren zentroan jotzen badu, orduan penduluaren masa-zentroa justu egongo da zilindroaren zentroan: y_mz=d. Beraz, penduluaren masa-zentroaren abiadura:

v_f=ω·d

Pendulua, hau bezain sinplea ez bada, penduluaren masa-zentroa kalkulatu behar da: y_cm. Eta orduan, masa-zentroaren abiadura honakoa izango da: v_f=ω·y_cm. Idatz dezagun momentu linealaren aldakuntza:

Ikusten denez, zilindroaren r erradioa nulua bada, orduan zilindroa partikula bat da, eta momentu linealaren aldakuntza nulua ateratzen da: Δp=0, pendulu balistiko sinplean bezala. Bi magnitudeak kontserbatzen dira: momentu angeluarra eta lineala. Aldiz, zilindroaren tamaina ez bada nulua (r¹0), momentu angeluarra baino ez da kontserbatzen. Horixe da pendulu-mota bien arteko ezberdintasun nagusiena.

Barne- eta kanpo-indarrak

Balaren eta zilindroaren arteko talkak denbora-tarte laburra irauten du: Δt . Bada, denbora-tarte horretan, penduluari F indar batek eusten dio O ardatzetik. F indar horren inpultsu edo bulkadak penduluaren momentu lineala aldatzen du. Demagun F indarra konstantea dela, orduan, bere inpultsua honela idatz daiteke:

F·Δt= Δp

F indarrak goiko irudiko noranzkoa badu (eskumarantz), orduan momentu lineal totala handituko da, baina aldiz, aurkako noranzkoa badu (ezkerrerantz) momentu lineala gutxituko da. Gure kasuan, momentu lineal totala gutxitu egiten da beraz, O euskarriaren indarra ezkerrerantz izango da.

Talkak irauten duen Δt denbora-tarte labur horretan barne-indarra hau da: f. zilindroak balari egiten diona eta balak zilindroari egiten diona. Berdinak eta aurkakoak. Zilindroak balari egiten diona kalkulatzen badugu, balaren abiadura talka baino lehen v da eta ondoren vf=ω·d. Beraz, inpultsua: f·Δt= mωd-mv Eta balak zilindroari egiten diona berdina baina aurkakoa

Energiaren balantzea

• Multzoaren energia talka baino lehen, balaren energia zinetikoa da:
• Justu talkaren ondoren solido zurrunaren energia zinetikoa:

Talkan galdutako energia kalkula daiteke bi horien arteko kenketa eginez. Ondorengo applet-ean erakusten da, balaren energia zinetikoaren zati handiena erabili egiten dela zilindroa zulatzen eta beroa barreiatzen, eta energia zinetiko horren zati txiki bat baino ez dela transferitzen penduluaren energia zinetikora.

Talkaren ondorengo igoera

Errotazioaren dinamika Talka amaituta dago jadanik, baina oraindik pendulua bertikal dago, eta ondoren, gorantz inklinatzen hasten da. Bestela esanda, talkaren ondoren, pendulua bertikal dago oraindik, baina abiadura angeluarra du: w. Eta gero gorantz igotzen hasten da. Igoera horretan, momentu angeluarra ez da kontserbatzen, errotazioaren dinamika aplikatu behar da: M=I0·a M da, igoera osoan, penduluaren pisuak eragiten duen momentua, eta masa-zentroan aplikatzen da. Hagatxoaren masa arbuiagarria bada, eta bala zilindroaren zentroan kokatzen bada, orduan penduluaren masa-zentroa zilindroaren masa-zentroan bertan egongo da, alegia, euskarritik d distantziara.  -(M+m)·g·d·sinq =I0·a

Ekuazio horrek erakusten du a azelerazio angeluarra ez dela konstantea, q  angeluaren menpekoa baizik. Penduluaren q posizioa kalkulatzeko t denboraren menpe, bigarren ordenako ekuazio diferentzial hori integratu behar da. Hala ere, igoera horretan, askoz errazagoa da energiaren kontserbazioa aplikatzea.

Energiaren kontserbazio-printzipioa

Talkaren ondoren, penduluak igoera bat jasaten du. Igoera horretan, energia kontserbatzen da, alegia, hasierako energia zinetikoa energia potentzial bilakatzen doa, eta punturik altuenean energia zinetikorik ez du, eta bere energia osorik da potentziala: Punturik altuenaren q angelua ezaguna bada, kalkulu guztiak atzeraka egin daitezke eta balaren abiadura kalkula daiteke talka baino lehen.

Gerta liteke balaren abiadura oso handia izatea eta pendulua O puntuaren inguruan biraka hastea. Hori gerta dadin, penduluaren energia zinetikoa talkaren ondoren, oso handia izan behar da, izan ere, penduluak goreneko puntuan, 2d altueran, duen energia potentziala baino handiagoa.

Pendulua hari batez lotuta balitz (pendulu sinplean bezala) goreneko puntuan ezin du abiadura nulua izan, erori egiten delako. Aldiz, hagatxo batez lotuta badago posiblea da abiadura nulua izatea goreneko puntu horretan.

Adibideak

• Balaren masa, m=0.2 kg
• Balaren abiadura, v=10 m/s
• Zilindroaren masa, M=1.5 kg
• Zilindroaren erradioa, r=3 cm=0.03 m
• Hagatxoaren luzera, d=0.5 m

1.  Talka: L momentu angeluarra kontserbatzen da:

Inertzia-momentua I₀= 0.426 kgm²

Talka baino lehenagoko momentu angeluarra: 0.2·10·0.5=1 kg·m²/s
Talkaren ondorengo momentu angeluarra: I₀·w

Momentu angeluarraren kontserbaziotik abiadura angeluarra kalkulatzen da: w =2.35 rad/s

2.  Talkaren ondorengo igoera: Energia kontserbatzen da.

Talkaren ondorengo energia zinetikoa energia potentzial bilakatuz doa, eta goreneko puntuan:

Goreneko puntuaren altuera kalkulatu ondoren angelua kalkula daiteke: q =30.8º

2. adibidea

Datu berdinak erabiliz, zein izan behar ote da balaren v abiadura, pendulua 180º posizioraino irits dadin, alegia justu bertikal kokatzera irits dadin? Ebatz dezagun ariketa osoa baina atzeraka.

1.  Talkaren ondorengo igoera: Energia kontserbatzen da.

Kalkula dezagun penduluaren energia potentziala goreneko posizioan:

1.7·9.8·2·0.5=16.66 J

Horixe izan beharko da penduluak talkaren ondoren duen energia zinetikoa:

2.  Talka: L momentu angeluarra kontserbatzen da.

0.2·v·0.5=I₀·w

Balaren abiadura bakanduz, v=37.66 m/s

Ondorengo applet-ean, balio hori idazten badugu balaren abiadura kontrolean, eta hasi botoia sakatzen badugu, ikusten da, pendulua posizio horretaraino iristen dela (posizio bertikala), baina bertan geldi geratzen da. Balaren abiadura pixkatxo bat gehixeago handitzen bada (esaterako v=37.67 m/s) orduan penduluak posizio hori gainditzeko energia nahikoa dauka eta biraka segitzen du.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Balaren masa, m , kg-tan dagokion kontrolean idatziz.
• Balaren abiadura, v , m/s-tan dagokion kontrolean idatziz.
• Zilindroaren erradioa, r, cm-tan, dagokion kontrolean idatziz.
• Zilindroaren masa, M, kg-tan, dagokion kontrolean idatziz.
• Hagatxoaren luzera finkotzat hartzen da: 0.5 m

Hasi botoia sakatu.

Bala jaurtitzen da eta zilindroan atxikitzen da. Ondoren, pendulua igotzen hasten da baina, igotzen den heinean, abiadura angeluarra moteltzen doa. Programak idatziz erakusten ditu uneoro penduluaren posizioa eta abiadura angeluarra, goiko eta ezkerreko erpinean. Angelu maximoa atzematen den unea pausoka botoiarekin zehaztasunez beha daiteke.

Leihatilaren ezkerraldean tarta-diagrama batek energiaren balantzea erakusten du.

Konpara bitez pendulu balistikoaren bi motak: esaterako, idatz bitez abiadura eta masa berdinak eta zilindroaren erradioa aldatu. Azter bedi zilindroaren tamainaren eragina.

Errotazio-ardatzak hagatxoari eragiten dion indarra

Hagatxoaren masa arbuiagarria bada, penduluaren masa-zentroa zilindroaren zentroan dago, bala ere bertan sartuta dagoelako.

Igotzen ari denean, penduluak bi indar jasaten ditu: pisua eta O ardatzak egiten dion euste-indarra. Ezkerreko irudiak erakusten du pisua eta euste-indarra deskonposatuta, eta eskumako irudiak erakusten ditu bi indarrak deskonposatuta, penduluaren norabide erradial eta tangentzialean.

Lehenago kalkulatu ditugu, pendulua igotzen ari denean, dituen azelerazio angeluarra eta abiadura angeluarra.

• Errotazioaren dinamikaren ekuazioa:

I₀a = -(M+m)g·d·sinq

• Energiaren balantzea:

Hemen deitu diogu w₀, penduluaren abiadura angeluarrari justu talkaren ondoren.

Penduluaren masa-zentroak zirkunferentzia bat deskribatzen du, d erradioduna, eta beraz, bere azelerazioa bi osagaitan deskonposa daiteke: azelerazioaren osagai tangentziala (a_t) eta normala (a_n).

Eskumako irudian oinarrituta, Newton-en bigarren legea idatz daiteke norabide tangentzialean eta norabide normalean:

(M+m)·a_t=F_t -(M+m)g·sinq
(M+m)·a_n=F_n -(M+m)g·cosq

Eta penduluaren masa-zentroak higidura zirkularra duenez:

Ekuazio horietatik bakan daitezke, F_t eta F_n

F_t =(M+m)·a ·d +(M+m)g·sinq
F_n =(M+m)·w ²·d +(M+m)g·cosq

Eta azkenik, O ardatzak penduluari eusteko egiten dion F indar totala honela idatz daiteke:

Adibidea

Har ditzagun lehengo adibidearen datu berdinak:

• Balaren masa, m=0.2 kg
• Balaren abiadura, v=10 m/s
• Zilindroaren masa, M=1.5 kg
• Zilindroaren erradioa, r=3 cm=0.03 m
• Hagatxoaren luzera, d=0.5 m

Penduluaren inertzia-momentua I₀= 0.426 kgm²

1.  Talka: L momentu angeluarraren kontserbazioa aplikatuz, kalkula daiteke penduluaren abiadura angeluarra justu talkaren ondoren:

w₀=2.35 rad/s

Kalkula dezagun O ardatzak penduluari eusteko egiten duen F indarra, esaterako, penduluaren posizioa q =15º denean. Horretarako, kalkula ditzagun indar horren osagai tangentzial eta normala: F_t eta F_n.

1.  Lehenik, penduluaren a azelerazio angeluarra, q =15º posizio horretan:

0.426a =-1.7·9.8·0.5 sin15º                         a = -5.06 rad/s²

2.  Ondoren, w abiadura angeluarra, igoeran energia kontserbatzen dela aplikatuz:

3.  Orduan O ardatzak penduluari eusteko egiten dizkion F_t eta F_n:

F_t=(M+m)g·sinq +(M+m)a_t= 1.7·9.8·sin15º-1.7·0.5·5.06=0.007 N
F_n (M+m)g·cosq +(M+m)·a_n =1.7·9.8·cos15º+1.7·0.5·2.04²=19.65 N

4.  Eta azkenik, O ardatzaren F indar totala:

Modulua F=19.65 N
Eta indarrak X ardatzarekin osatzen duen angelua: φ=105º