Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen

Disko bi akoplatzen (I)

Disko bi akoplatzen (II)

Indar zentral bat
hagatxo batean

Patinatzaile bat biraka

Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia

Pendulu balistikoa (II)

Kutxa bat irauli

Talka inelastikoa: bala
eta disko biratzailea

Hagatxo batez
abiadura transmititzen

Kontserbazioak:
momentu lineala eta
momentu angeluarra

Disko-horma talka

Diskoa-diskoa talka (I)

Diskoa-diskoa talka (II)

Momentu angeluarraren aldakuntza

Energiaren balantzea

Saiakuntza

Erreferentzia

Aurreko orrian, disko bi akoplatzen ikusten dira. Diskoak ardatz berean ari dira biratzen eta bat batean elkartu egiten dira. Amaieran biek dute abiadura angeluar bera, eta abiadura hori kalkula daiteke momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa aplikatuz.

Honako orri honetan ere, bi disko aztertuko dira, biak biraka, baina bakoitza bere ardatzean. Bi ardatzak paraleloak dira, eta bat batean hurbiltzen dira, diskoen ertzak ukitzen diren arte. Kalkulatuko dugunez, kasu honetan ez da momentu angeluarra kontserbatzen.

Demagun diskoen masak eta erradioak honakoak direla: m₁, m₂ eta r₁ , r₂ , eta ardatz paraleloetan ari direla biraka irudiak erakusten duen bezala.

Hasieran, ezkerreko diskoak ω₀ abiadura angeluarraz biratzen du eta eskumakoa berriz, geldi dago. Bi diskoen ardatzak hurbiltzen badira, diskoen ertzak ukitzen diren arte, kontaktu-puntuan marruskadura-indarra sortuko da. Marruskadura-indar horrek disko bat azeleratuko du eta bestea, ordea, dezeleratu.

Goiko irudi horrek kasu bera erakusten du, baina goitik ikusita, eta gainera erakusten ditu marruskadura-indarrak eta ardatzetan sortzen diren erreakzio-indarrak, diskoei eusteko.

• Ezkerreko diskoak bere ertzean jasaten duen marruskadura indarra (F) urdinez irudikatu da. Indar horren momentua hau da: F·r₁ eta diskoa geldiarazten du. Dei diezaiogun abiadura angeluar berriari, ω₁.

• Eskumako diskoak bere ertzean jasaten duen marruskadura-indarra aurrekoaren berdina da (F) baina aurkakoa, eta gorriz irudikatu da. Indar horren momentua hau da: F·r₂ eta diskoa azeleratzen du. Dei diezaiogun bere abiadura angeluarrari, ω₂.

Kontaktu puntuaren bi abiadurak (ezkerrekoa eta eskumakoa) berdinak izatera iristen direnean ez da irristatzerik gertatuko, eta beraz, marruskadura-indarra desagertuko da eta, aurrerantzean, bi diskoen abiadura angeluarrak konstanteak izango dira.

Higiduraren ekuazioak

Idatz dezagun lehenik ezkerreko diskoaren errotazioaren ekuazioa: Bere inertzia-momentuari I1 deitu diogu.

Bere abiadura angeluarra gutxituz doa:

Idatz dezagun ondoren, eskumako diskoaren errotazioaren ekuazioa: Bere inertzia-momentuari I2 deitu diogu.

Abiadura angeluarra handituz doa (balio absolutuan):

Kontaktu puntuaren bi abiadurak (ezkerrekoa eta eskumakoa) berdinak izatera iristen direnean:

ω₁·r₁= -ω₂·r₂

Baldintza hori bete arte pasatzen den denbora honela kalkula daiteke:

Aldiune horri deitzen badiogu t_f :

Une horretatik aurrera ez dago marruskadurarik, eta bi diskoek abiadura angeluar konstanteak izango dituzte:

Momentu angeluarraren aldakuntza

Hasieran, multzoaren momentu angeluar totala ezkerreko diskoarena da: L_i=I₁·ω₀

Eta amaieran, bien batura: L_f=I₁·ω_1f+I₂·ω_2f

Egiazta daitekeenez, bi momentu angeluar horiek ezberdinak dira, eta bere aldakuntza kalkula daiteke inpultsu edo bulkada angeluarraren arabera:

Bi diskoek osatzen duten bikotea hartzen badugu kontutan, bi indar-mota daude:

	Barne-indarrak: disko batek besteari eragiten diona eta alderantziz, berdinak dira eta aurkakoak. Kasu honetan kontaktu-puntuan aplikatzen dira, izan ere marruskadura-indarra da. Kanpo-indarrak: bi ardatzek diskoak eusteko egiten dituzten erreakzio-indarrak.
	Kanpo-indarrek eragiten duten momentu erresultantea ez da nulua, puntu bakar batekiko kalkulatu behar direlako. Esaterako, hauta dezagun momentuak kalkulatzeko, ezkerreko diskoaren zentroa (O). Mk=F·0 -F·(r1+r2)= -F·r1 -F·r2

Froga daitekeenez, bulkada angeluarra da, amaierako momentu angeluarra ken hasierako momentu angeluarra:

Kanpo-indarren momentu erresultantea nulua ez izateak eragiten du, momentu angeluar totala ez dela konstantea. Sarritan ahaztu egiten dira gurpilen ardatzek egiten dituzten indarrak, normalean momentu nulua sortzen dutelako ardatzarekiko berarekiko, baina kasu honetan, bi ardatz direnez, ezin da aplikatu momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa.

Energiaren balantzea

Hasieran, errotaziozko energia zinetiko totala, ezkerreko diskoarena da:

Eta amaieran, bien batura:

Orduan, energia zinetikoaren aldakuntza hau da:

Ardatzetako bi indarrek (kanpo-indarrek) ez dute lanik eragiten, desplazamendurik ez dutelako. Kontaktu-puntuko marruskadura-indarrak berriz (barne-indarrak), berdinak dira eta aurkakoak, eta euren lana honela kalkulatzen da:

Higidura zirkularraren zinematikarekin kalkula daiteke, zein angelu biratu duen disko bakoitzak ukitu diren aldiunetik, bi diskoen abiadura angeluarrak konstanteak bilakatzen diren arte, alegia  t_f  aldiunea arte.

Kalkuluak burutu ondoren frogatzen da, marruskadura indarrak egindako lana eta energia zinetiko totalaren aldakuntza berdinak direla.

W=ΔE_k

Adibideak

1 adibidea:

• Bi diskoen erradioak: r₁=1.0 m, r₂=0.5 m

• Bi diskoen masak: m₁=1.0 kg, m₂=0.8 kg

• Kontaktuaren marruskadura-indarra, F=0.1 N

• Ezkerreko diskoaren hasierako abiadura angeluarra: ω₀=2 rad/s

Diskoen inertzia-momentuak honela kalkulatzen dira: I=mr²/2, beraz  I₁=0.5 kg·m² eta I₂=0.1 kg·m².

• Diskoen abiadura angeluarrak denboraren menpe:

Zein aldiunetan diren kontaktu puntuan, ezkerreko eta eskumako abiadurak berdinak:

ω₁·r₁= -ω₂·r₂             (2-0.2·t)·1=-(-0.5·t)·0.5      t_f=4.44 s

Diskoen abiadura angeluarrak amaieran:

ω_1f=2-0.2·4.44= 1.11 rad/s
ω_2f=-0.5·4.44= -2.22 rad/s

• Ezkerreko diskoak biratutako angelua, t_f  aldiunea arte.

Eta eskumako diskoak biratu duen angelua denbora-tarte berean:

• Momentu angeluarrak hasieran eta amaieran:

L_i=I₁·ω₀=0.5·2=1 kgm²/s
L_f=I₁ω_1f+I₂·ω_2f=0.5·1.11+0.1·(-2.22)=0.33 kgm²/s

Hortaz, momentu angeluarraren aldakuntza:

ΔL=L_f-L_i=0.33-1= -0.67 kgm²/s

• Kanpo-indarren momentu erresultantea:

M_k= -F·(r₁+r₂)=-0.1(1+0.5)= -0.15 N·m

• Bulkada edo inpultsu angeluarra:

M_k·t_f= -0.15·4.44= -0.67 kgm²/s

Izan ere, bulkada angeluarra eta momentu angeluarraren aldakuntza berdinak dira.

• Hasierako energia zinetikoa, ezkerreko diskoarena:

Eta amaierako energia zinetikoa, bien batura:

Energia zinetikoaren aldakuntza:

ΔE=E_f-E_i= -0.44 J

• Marruskadura-indarrak kontaktu-puntuan egindako lana:

Izan ere, barne-indarrek egindako lana eta multzoaren energia zinetiko totalaren aldakuntza berdinak dira.

2 adibidea:

• Bi diskoen erradioak: r₁=1.0 m, r₂=1.0m

• Bi diskoen masak: m₁=1.0 kg, m₂=1.0 kg

• Kontaktuaren marruskadura-indarra, F=0.1 N

• Ezkerreko diskoaren hasierako abiadura angeluarra: ω₀=2 rad/s

Diskoen inertzia-momentuak lehen bezala kalkulatzen dira: I=mr²/2, beraz I₁=0.5 kg·m² eta I₂=0.5 kg·m².

• Diskoen abiadura angeluarrak denboraren menpe:

 ω₁=2-0.2·t
 ω₂= -0.2·t

Zein aldiunetan diren kontaktu puntuan, ezkerreko eta eskumako abiadurak berdinak:

ω₁·r₁= -ω₂·r₂             (2-0.2·t)·1=-(-0.2·t)·1      t_f=5 s

Diskoen abiadura angeluarrak amaieran:

ω_1f=2-0.2·5=1 rad/s
ω_2f=-0.2·5= -1 rad/s

• Bi diskoek biratutako angelua, t_f  aldiunea arte.

θ_1f= 7.5 rad
θ_2f= -2.5 rad

• Momentu angeluarrak hasieran eta amaieran:

L_i=I₁·ω₀=0.5·2=1 kgm²/s
L_f=I₁ω_1f+I₂·ω_2f=0.5·1+0.5·(-1)= 0 kgm²/s

Momentu angeluarraren aldakuntza:

ΔL=L_f-L_i=0-1= -1 kgm²/s

• Kanpo-indarren momentu erresultantea:

M_k= -F·(r₁+r₂)=-0.1(1+1)= -0.2 N·m

• Bulkada angeluarra:

M_k·t_f= -0.2·5= -1 kgm²/s

Izan ere, bulkada angeluarra eta momentu angeluarraren aldakuntza berdinak dira.

• Energia zinetiko totala hasieran eta amaieran:

E_i= 1 J
E_f=0.5 J

Energia zinetikoaren aldakuntza:

ΔE=E_f-E_i= -0.5 J

• Marruskadura-indarrak kontaktu-puntuan egindako lana:

Izan ere, barne-indarrek egindako lana eta multzoaren energia zinetiko totalaren aldakuntza berdinak dira.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Ezkerreko diskoaren erradioa, r₁ (cm-tan), dagokion kontrolean idatziz.

• Eskumako diskoaren erradioa, r₂ (cm-tan), dagokion kontrolean idatziz.

• Ezkerreko diskoaren masa finkotzat hartzen da: m₁=1 kg

• Eskumako diskoaren masa, m₂ dagokion kontrolean idatziz. (kg-tan).

• Ezkerreko diskoaren hasierako abiadura angeluarra, ω₀ (rad/s-tan), dagokion kontrolean idatziz.

• Marruskadura-indarra, F (N-etan), bi diskoak ukitzen eta irristatzen ari direnean. 

Berria botoia sakatu.

Ikusten da ezkerreko diskoa biraka eta eskumakoa geldi.

Hasi botoia sakatu.

Bi diskoen ertzak ukitu egiten dira eta kontaktu-puntuak irristatzen du. Marruskadura indarrak ezkerreko diskoaren abiadura angeluarra moteltzen du eta aldiz, eskumakoarena handitu. Denbora pasa ahala (t_f) bi diskoek amaierako abiadura angeluarrak atzematen dituzte eta hortik aurrera konstante mantentzen dira (ω_1f eta ω_2f), marruskadura desagertzen delako.

Leihatilaren ezkerreko aldean barra-diagrama bi adierazten dira:

Lehenak energiaren balantzea erakusten du:

• Ezkerreko diskoaren energia zinetikoa, gorriz.

• Eskumako diskoaren energia zinetikoa, urdinez.

Ikusten da, multzoaren energia zinetiko totala gutxituz doala t_f  aldiunea arte, eta hortik aurrera konstante mantentzen da.

Bigarren barrak momentu angeluarra erakusten du:

• Ezkerreko diskoaren momentu angeluarra gorriz: positiboa da.

• Eskumako diskoaren momentu angeluarra urdinez: negatiboa da.

Momentu angeluar totala da, barra gorriaren eta barra urdinaren luzeren arteko kenketa. Ikusten da, momentu angeluar totala gutxituz doala t_f  aldiunea arte, eta hortik aurrera konstante mantentzen da.