Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen

Disko bi akoplatzen (I)

Disko bi akoplatzen (II)

Indar zentral bat
hagatxo batean

Patinatzaile bat biraka

Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia

Pendulu balistikoa (II)

Kutxa bat irauli

Talka inelastikoa: bala
eta disko biratzailea

Hagatxo batez
abiadura transmititzen

Kontserbazioak:
momentu lineala eta 
momentu angeluarra

Disko-horma talka

Diskoa-diskoa talka (I)

Diskoa-diskoa talka (II)

Barne-indarraren zeregina

Saiakuntza

Demagun bi disko ditugula ardatz berean eta biak biraka, bakoitza bere tamaina eta abiadura ezberdinekin, beheko irudiak erakusten duen bezala. Halako batean, goiko diskoa erori egiten da, ardatzean behera irristatuz, eta beheko diskoan itsatsi (akoplatu). Orri honetan aztertuko da nola biratuko duten bi diskoek akoplatuta daudenean.

Ikasgai honetan frogatzen da, multzo osoaren egoera globala ez dela aldatzen barne-indarraren eraginez, alegia, bi diskoek elkarri eragiten dioten indarraren eraginez.

Oinarri fisikoak

Demagun bi disko ditugula ardatz berean biraka, eta kanpo-indarren momentu erresultantea nulua dela ardatzarekiko, alegia, inork ez diela diskoei birarazten ezta galgatzen ere. Ondorioz multzoaren momentu angeluarra kontserbatzen da:

Solido zurrun bat ardatz finko baten inguruan, w abiadura angeluarraz biraka ari denean, bere momentu angeluarra honela adierazten da: L=Iw

Solido hori disko bat bada, eta errotazio-ardatza bere zentrotik eta perpendikularki pasatzen bada, orduan bere inertzia-momentua hau da:

Momentu angeluarra akoplatu aurretik

Bikotearen momentu angeluar totala hasieran, bi diskoak akoplatu aurretik, bi momentu angeluarren batura da:

Hemen w₁ eta w₂ dira, bi diskoen abiadura angeluarrak, baina akoplatu aurretik.

Momentu angeluarra akoplatu ondoren

Bi diskoak akoplatuta daudenean, abiadura angeluar bera dute, w.

Momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa

Hasierako eta amaierako momentu angeluarrak berdinduz, eta amaierako abiadura angeluarra bakanduz:

Formula hori eta bala bat bloke batean itsasten denekoa oso antzekoak dira.

Energiaren balantzea

Akoplatu aurreko energia:

Akoplatu ondorengo energia:

Akoplatzen diren unean, bi diskoek elkarri eragiten dioten marruskadura-indarrak lana egiten du, eta honela kalkula daiteke: W=E_f−E_i. Energia biak ordezkatuz honako adierazpena lortzen da:

Lan hori beti da negatiboa: horrek esan nahi du amaierako energia beti dela hasierakoa baino txikiagoa: E_f<E_i

Barne-indarraren zeregina

Hasieran diskoek abiadura angeluar ezberdinak dituzte: w₁ eta w₂ , baina amaieran biek dute abiadura angeluar bera: w .

Amaierako abiadura beti irteten da hasierako abiadura bien bitartekoa, beraz, diskoetako bat azeleratu egiten da eta bestea ordea dezeleratu. Azelerazio/dezelerazio hori gertatzen da bi diskoen gainazalak elkar ukitzen direnean, eta bien arteko marruskaduraren eraginez.

Marruskadura-indar horrek momentu bat eragiten du: Mr. Esaterako, demagun w1 > w2, orduan, Mr momentuak lehen diskoa dezeleratzen du, w1-en aurka, eta bigarrena azeleratu, irudiak erakusten duen bezala. Adibidez, imajina dezagun disko biak berdinak direla (I1=I2) eta abiadura angeluar berdinak dituztela baina elkarren aurkakoak: w1= −w2. Orduan, momentu angeluarraren kontserbazioak inposatzen duenez, amaierako abiadura nulua da. Horrek esan nahi du, elkarren gainazalen arteko marruskadurak momentua eragiten duela (Mr) justu bi abiaduren aurka.

Errotazioaren ekuazioa

Idatz dezagun errotazioaren ekuazioa disko bakoitzarentzat:

Demagun marruskaduraren M_r momentua konstantea dela, orduan, azelerazio angeluar biak ere konstanteak izango dira, eta:

Hemen deitu diegu w₁₀ eta w₂₀ bi diskoen hasierako abiadura angeluarrei (t=0).

Ezagutzen bada marruskaduraren M_r momentua, orduan, ekuazio bi horietatik kalkula daiteke zenbat denbora tardatzen duten bi diskoek abiadura angeluar berbera atzematen duten arte: w₁=w₂=w.

Gainera kalkula daiteke zenbat desplazatu edo biratu duen disko bakoitzak t denbora-tarte horretan:

Barne-indarraren lana

Hona hemen marruskadura-indarraren momentuak egiten duen lana:

W= -M_r·q₁+M_r·q₂

Irudiko geziek erakusten dutenez, marruskadura indarraren M_r momentua q₁ desplazamenduaren aurkakoa da (lan negatiboa), eta aldiz, q₂ desplazamenduaren aldekoa da (lan positiboa).

Desplazamenduen adierazpenak ordezkatuz eta, ondoren, zenbait sinplifikazio eginez, W lan totalaren adierazpena lor daiteke, eta izan ere, energien bidez lortutako adierazpen bera da, baina planteamendu honetan argiago ikusten da marruskadura-indarraren zeregina eta zergatik galtzen den energia, akoplamenduak irauten duen t denbora-tartean (bi diskoek amaierako abiadura angeluar bera atzematen duten arte).

Adibideak

1. adibidea:

• Inertzia-momentuak:

Demagun m₁=0.2 kg eta r₁=1.0 m, orduan I₁=0.1 kg·m²
Demagun m₂=0.8 kg eta r₂=0.5 m, orduan I₂=0.1 kg·m²

• Hasierako abiadura angeluarrak:

Esaterako, w₁=2 rad/s
eta w₂=0 rad/s

1. Momentu angeluarraren kontserbazioa:

0.1·2+0.1·0=(0.1+0.1)·w , eta hortik ateratzen da: w =1 rad/s

• Energiaren balantzea:

E_i=0.2 J
E_f=0.1 J
W=E_f-E_i= -0.1 J

2. Barne-indarra:

Esaterako, marruskadura-indarraren momentua: M_r=0.1 N·m. Datu horrekin kalkula daitezke disko bien azelerazio angeluarrak:

-0.1=0.1·a₁
0.1=0.1·a₂

Eta abiadura angeluarrak adierazi:

w₁ =2-1·t
w₂=0+1·t

Abiadura angeluarrak berdintzen direnean (w₁ =w₂) denbora kalkula daiteke: t=1 s . Hau da, bi diskoak ukitzen hasi direnetik eta euren abiadura angeluarrak berdindu diren arte, segundo bat pasatzen da, eta une horretatik aurrera biek dute abiadura angeluar bera: 1 rad/s

• Energiaren balantzea:

Bi diskoen desplazamenduak kalkula daitezke (zein angelu biratu duten t denbora-tartean):

q₁=1.5 rad
q₂=0.5 rad

Marruskadura-indarraren momentuaren lana:

W= -0.1·1.5+0.1·0.5= -0.1 J

Emaitza hori, energien bidezko emaitza bera da. Marruskadura-indarraren momentuak lehen diskoa geldiarazten du eta, aldiz, bigarrena azeleratu.

2. adibidea

Kasu interesgarria da, bi diskoek inertzia momentu bera dutenean eta abiadura angeluar berdinak, baina aurkako noranzkoez.

• Inertzia-momentuak:

Demagun m₁=0.2 kg eta r₁=1.0 m, orduan I₁=0.1 kg·m²
Demagun m₂=0.8 kg eta r₂=0.5 m, orduan I₂=0.1 kg·m²

• Hasierako abiadura angeluarrak:

Esaterako, w₁=-4 rad/s
Eta w₂= 4 rad/s

1.  Momentu angeluarraren kontserbazioa:

0.1·4 -0.1·4 =(0.1+0.1)·w , eta hortik ateratzen da w =0 rad/s

Beraz, bi diskoak gelditu egiten dira akoplatzean.

• Energiaren balantzea:

E_i= 1.6 J
E_f= 0.0 J

Akoplatzearen ondorioz galdutako energia:

W=E_f −E_i= −1.6 J

2.  Barne indarra:

Demagun marruskadura-indarraren momentua M_r=0.1 N·m. Orduan, disko bien azelerazio angeluarrak kalkula daitezke:

-0.1=0.1·a₁
0.1=0.1·a₂

Eta abiadura angeluarren adierazpenak idatzi:

w₁ =4-1·t
w₂ =-4+1·t

Abiadura angeluarrak berdintzen direnean (w₁ =w₂) denbora kalkula daiteke: t= 4 s . Hau da, bi diskoak ukitzen hasi direnetik eta euren abiadura angeluarrak berdindu diren arte, lau segundo pasatzen dira, eta une horretatik aurrera biek dute abiadura angeluar bera: 0 rad/s

• Energiaren balantzea

Denbora horretan diskoak zenbat desplazatu diren kalkula daiteke (zein angelu biratu duten):

q₁=8 rad
q₂= -8 rad

Marruskadura-indarraren lana:

W= -0.1·8+0.1·(-8)= -1.6 J

Ohar bedi, honako kasu honetan marruskaduraren lana disko bien desplazamenduaren aurkakoa dela.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Beheko diskoaren masa, m₁ (kg)
• Beheko diskoaren hasierako abiadura angeluarra, w₁ (rad/s)
• Beheko diskoaren erradioa finkotzat hartu da, r₁=1 m
• Gaineko diskoaren masa, m₂ (kg)
• Gaineko diskoaren hasierako abiadura angeluarra, w₂ (rad/s)
• Gaineko diskoaren erradioa finkotzat hartu da, r₂=0.5 m
• Bi diskoen arteko marruskadurak eragindako momentua, M_r (N·m)

Berria botoia sakatu.

Disko biak biraka ikusten dira, bakoitza bere abiadura angeluarrarekin, gainekoa gorriz eta behekoa urdinez. Leihatilaren ezkerreko aldean barra-diagrama batek erakusten du energia zinetiko totala (E_k) eta momentu angeluarra (L).

Hasi botoia sakatu.

Gaineko diskoa askatu eta behekoaren gainera erortzen da. Ukitzen diren momentuan, elkarren artean, marruskadura-indarra eragiten hasten da.

Leihatilaren eskumako aldean, grafikoki erakusten da bi diskoen abiadura angeluarra denboraren menpe. Esperimentuan ikus daiteke elkarren arteko marruskaduraren momentuak ez duela aldatzen multzoaren amaierako abiadura angeluarra, baina marruskaduraren arabera, abiadura hori lehenago edo beranduago atzematen da.

Leihatilaren ezkerreko aldeko barra-diagramak erakusten du, alde batetik, energia zinetikoa: gaineko diskoarena gorriz eta behekoarena urdinez. Bata hazi egiten da eta bestea gutxitu (hasierako abiaduren arabera), baina multzoaren energia zinetiko totala gutxituz doa, marruskadura-indarrak beroa barreiatzen duelako.

Bestetik, eskumako barrak momentu angeluarra adierazten du: disko baten momentu angeluarra hazi egiten da eta, aldiz, beste diskoarena gutxitu, baina multzoaren momentu angeluar totala, alegia, bien batura, ez da aldatzen.