Momentu lineala eta angeluarra kontserbatzen,

 disko biren arteko talkan (II)

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen
Disko bi akoplatzen (I)
Disko bi akoplatzen (II)
Indar zentral  bat
hagatxo batean
Patinatzaile bat biraka
Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia
Pendulu balistikoa (II)
Kutxa bat irauli
Talka inelastikoa
bala-disko biratzailea
Hagatxo batez
abiadura transmititzen
Kontserbazioak:
momentu lineala eta
momentu angeluarra
Disko-horma talka
Diskoa-diskoa talka (I)
marca.gif (847 bytes)Diskoa-diskoa talka (II)

Kontserbazio printzipioak

Energiaren balantzea. Itzultze-koefizientea

Diskoak ukitzen diren unea

Ekuazioak nola ebazten diren

Angeluak nola neurtzen diren laborategian

Adibideak

Erreferentzia

 

Orri honetan berriz ere aztertuko dugu disko biren arteko talka, baina oraingoan sei ezezaguneko eta sei ekuazioko sistema ebatzi beharrean, adierazpen matematikoak lortzen saiatuko gara:

  • Bi diskoen abiadurak talkaren ondoren: v1 eta v2.
  • Bi diskoen norabideek talkaren ondoren osatzen dituzten angeluak, f1 eta f2, talkaren unean bi zentroak lotzen dituen zuzenarekiko.
  • Bi diskoen abiadura angeluarrak talkaren ondoren: w1 eta w2.
  • Talkan galdutako energia: Q.

Datu gisa hartuko ditugu bi parametro: bata, lehen diskoaren u1 abiadura talka baino lehen, eta bestea, abiadura horrek osatzen duen θ1 angelua, talkaren unean bi zentroak lotzen dituen zuzenarekiko. Zuzen horri X ardatza deituko diogu, eta angelu guztiak berarekiko adieraziko ditugu.

Irudiak erakusten ditu gainera, diskoen masak (m1 eta m2) eta erradioak (r1 eta r2). Bigarren diskoa geldi dago talka baino lehen (u2=0) eta lehenak u1 abiadura du. Talka-parametroa da, lehen diskoaren zentroaren abiaduraren norabidetik bigarren diskoaren zentrora dagoen distantzia (b), baina θ1 angeluaz finkatua dago.

Talkaren ondoren, lehen diskoaren abiadura v1 da eta f1 angelua osatzen du X ardatzarekiko, eta aldi berean biraka ari da w1  abiadura angeluarraz, bere zentrotik pasatzen den ardatz perpendikularrarekiko. Bigarren diskoak, talkaren ondoren, v2 abiadura du, f2 angelua osatzen du X ardatzarekiko eta w2 abiadura angeluarraz biratzen du bere zentrotik pasatzen den ardatz perpendikularrarekiko.

Datutzat hartzen dira:

  • Bi diskoen masak, m1 eta m2 eta erradioak, r1 eta r2
  • Talka baino lehen, bigarren diskoa geldi dago, u2=0. Lehen diskoaren abiadura  u1 da eta bere norabidea θ1, lehen esan bezala, X ardatzarekiko.

Ezezagunak sei, denak talkaren ondorengoak:

  • Lehen diskoaren zentroaren abiadura, v1, norabidea f1, eta errotazioaren abiadura angeluarra: w1.
  • Bigarren diskoaren zentroaren abiadura, v2, norabidea f2, eta errotazioaren abiadura angeluarra: w2.

Talka-parametroa

Talka-parametroa honela definitzen da: lehen diskoaren zentroaren abiaduraren norabidetik bigarren diskoaren zentroraino dagoen distantzia (b). Izan ere, talka parametroa ezagututa, θ1 angelua finkatuta geratzen da, ondoko irudiak erakusten duen bezala (θ1 angelua da, talkaren unean bi zentroak lotzen dituen zuzenak lehen diskoaren zentroaren abiaduraren norabidearekin osatzen duena.)

b=(r1+r2)·sinθ1

 

Kontserbazio-printzipioak

  1.  Bi diskoek multzo isolatu bat osatzen dute, kanpo-indar erresultantea nulua baita. Beraz, momentu lineal totala kontserbatzen da:

Esan bezala, X ardatza deritzogu talkaren unean bi diskoen zentroak lotzen dituen zuzenari, eta beraz, Y ardatza norabide horrekiko perpendikularrari.

Irudian u1, v1 eta v2  bektoreak, adierazi dira euren osagaien menpe, X eta Y ardatzean zehar:

  • Momentu lineala Y ardatzean:

m1u1·sinq1=m1v1·sinf1+m2v2·sinf2                  (1)

  • Eta X ardatzean:

m1u1·cosq1= m1v1·cosf1+m2v2·cosf2              (2)

  1.  Disko bakoitzak jasaten duen indar erresultantea, izan ere, talkaren indarra da, eta justu P kontaktu-puntuan aplikatzen da. Beraz, P puntuarekiko, disko bakoitzaren momentu angeluar indibiduala ere konstantea izango da:

Lehen diskoan:

m1·r1·u1sinq1=m1·r1·v1sinf1+I1w1

Eta  bigarren diskoan:

0= -m2·r2·v2sinf2+I2w2

Diskoak direnez, hona hemen euren inertzia-momentuak zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

Beraz:

r1w1 =2·u1sinq1-2·v1sinf1                    (3)
r2w2 =2·v2sinf2                                               (4)

 

Energiaren balantzea. Itzultze-koefizientea

Hona hemen itzultze-koefizientearen definizioa:

e·u1cosq1= -v1cosf1+v2cosf2                           (5)

Guztira, 6 ezezagun ditugu eta 5 ekuazio soilik, beste ekuazio bat gehiago behar da arazoa osorik ebazteko. Azter dezagun disko biek elkarri egiten dioten indarra justu kontaktuan daudenean.

 

Diskoak ukitzen diren unea

Hasteko, diskoen arteko indarrak ezagut ditzagun:

  1.  Bi diskoen arteko indar normalak diskoen elastikotasunaren menpekoak dira; indar tangentzialak aldiz, diskoen arteko marruskadura-indarraren menpekoak dira, eta beraz, bi gainazalen egoeraren menpekoak.
  2.  Bai itzultze-koefizientea eta baita marruskadura-koefizientea ere konstanteak dira, eta materialen ezaugarrien menpekoak dira soilik.

Kasu bi gerta daitezke:

Ez dute irristatzen

Diskoek P kontaktu-puntuan eta talkaren ondoren ez badute irristatzen, orduan bi diskoen abiadurak P puntuan berdinak izan behar dira:

v1sinf1-r1 w 1=v2sinf2+r2 w2                   (6)

Irristatzen dute

Lehen diskoak jasaten dituen indarrak bi dira:

  • N, erreakzio normala, diskoaren zentrorantz.
  • F, marruskadura-indarra, P puntuaren abiaduraren aurka.

N erreakzio normalak lehen diskoari momentu linealaren X osagaia soilik aldatzen dio, irauten duen Dt denbora-tarte txikian. Inpultsoa kalkulatzen badugu:

Era berean, F indarraren inpultsoak lehen diskoaren momentu linealaren Y osagaia aldatzen dio soilik:

Baina irristatzen badu, orduan N eta F erlazionatuta daude: F=m ·N,  eta beraz inpultsoak ere bai:

m ·(v1cosf1- u1cosq1)= (v1sinf1-u1sinq1)                (6')

bigarren diskoak jasaten dituen indarrak ere bi dira:

  • N, erreakzio normala, diskoaren zentrorantz.
  • F, marruskadura-indarra, P puntuaren abiaduraren aurka.

Indar bi horiek eta lehen diskoak jasaten dituenak berdinak eta aurkakoak dira.

N erreakzio normalak bigarren diskoari momentu linealaren X osagaia soilik aldatzen dio. Hona hemen inpultsoa:

Era berean, F indarraren inpultsoak momentu linealaren Y osagaia aldatzen dio soilik, eta F indarraren noranzkoa P puntuaren abiaduraren aurkakoa da.

Eta N eta F erlazionatuta daude: F=m ·N,  eta beraz inpultsoak ere bai:

m ·v2cos f2= v2sinf2

tanf2 =m                    (7')

 

Ekuazioak nola ebazten diren

Sei ezezagun dauzkagu eta bost ekuazio, aztertu ditugun bi kasuetan balio dutenak:

m1u1·sinq1=m1v1·sinf1+m2v2·sinf2                    (1)
m1u1
·cosq1= m1v1·cosf1+m2v2·cosf2              (2)

r1w1 =2·u1sinq1-2·v1sinf1                               (3)
r2w2 =2·v2sinf2                                                              (4)

e·u1cosq1= -v1cosf1+v2cosf2                              (5)

Irristatzen badu

  • (7') ekuazioak berak bakarrik f2 angelua ematen du, alegia bigarren diskoaren zentroaren v2 abiadurak X ardatzarekin osatzen duen angelua:

tanf2 =m                    (7')

(7') ekuazio hori bestela ere berridatz daiteke:

          sinf2 =m ·cosf2       (7')

  • Nola kalkulatu lehen diskoaren v1 abiadura eta f1 angelua: (7') ekuazioa (1) ekuazioan ordezkatu eta ondoren bakandu (5) ekuazioan v2cosf2 eta ordezkatu (2) ekuazioan:

u1·(m1sinq1-m ·e·m2cosq1)=m1v1·sinf1+m2v1·m ·cosf1
u1
·(m1-m2 ·e)·cosq1= (m1+m2)v1·cosf1

Dei diezaiogun M=m1/m2, eta bakan dezagun (2) ekuazioan v1·cosf1 eta (1) ekuazioan v1·sinf1 :

  • Nola kalkulatu bigarren diskoaren v2 abiadura:

(5) ekuazioan bakan bedi v1·cosf1 eta ordezka bedi (2) ekuazioan:

m1u1·cosq1= m1v1·cosf1+m2v2·cosf2              (2)

  • Bi diskoen errotazioen abiadura angeluarrak: w1 eta w2

Bakan bedi (1) ekuazioan v1·sinf1 eta ordezka bedi (3) ekuazioan:

r1w1 =2·u1sinq1-2·v1sinf1=2(m2/m1)v2·sinf2         (3)


r2w2 =2·v2sinf2                      (4)

Egiaztatzea

Orain arte ez dugu (6) ekuazioa erabili, baina egiazta daiteke betetzen dela:

m ·(v1cosf1- u1cosq1)= v1sinf1-u1sinq1                  (6')

Ordezka bitez, lehen bakandutako v1cosf eta  v1sinf1  eta ekuazioa betetzen dela egiaztatzen da.

Energiaren balantzea

Kalkulatzen badira energia zinetikoak talkaren ondoren eta talkaren aurretik, euren arteko diferentzia talkaren Q energia-galera da.

Talkaren ondoren, disko bakoitzaren energia zinetikoa kalkulatzeko translazioa eta errotazioa gehitu behar dira, baina talka baino lehen lehen diskoak translazio hutsa du:

Talkaren ondoren lortutako abiadurak ordezkatzen baditugu (v1, v2, w1 eta w2) orduan, energia-galeraren ekuazio osoa geratzen da hasierako baldintzen menpe idatzita (u1 eta θ1):

Ekuazio hori sinplifika daiteke honako erlazio trigonometrikoak erabiliz: sin2θ1=2sinθ1·cosθ1 eta 1+tan2θ1=1/cos2θ1 . Zenbait buruketaren ondoren honako emaitza lortzen da:

Ez  badu irristatzen

  • Nola kalkulatu bigarren diskoaren v2 abiadura eta f2 norabidea:

Bakan bitez (3) eta (4) ekuazioetan r1w1 eta r2w2 , eta ordezka bitez (6) ekuazioan:

r1w1 =2·u1sinq1-2·v1sinf1                             (3)
r2w2 =2·v2sinf2                                                            (4)
v1
sinf1-r1 w1=v2sinf2+r2 w2                              (6)

Ordezkatu ondoren, honelako adierazpena lortzen da:

3v1sinf1-2·u1sinq1=3v2sinf2

Eta ekuazio horretan bakan daiteke v1sinf1 eta (1) ekuazioan ordezkatu:

m1u1·sinq1=m1v1·sinf1+m2v2·sinf2                  (1)

(m1/3)u1·sinq1=(m1+m2)v2·sinf2

Ondoren (5) ekuazioan bakan bedi v1cosf1 eta ordezka bedi (2) ekuazioan:

m1u1·cosq1= m1v1·cosf1+m2v2·cosf2                 (2)
e
·u1cosq1= -v1cosf1+v2cosf2                               (5)

Ekuazio bi horiek ematen dituzte bigarren diskoaren v2 abiadura eta f2  norabidea talkaren ondoren:

  • Nola kalkulatu lehen diskoaren v1 abiadura eta f1 norabidea:

(1) ekuazioan ordezka bedi v2·sinf2  eta bakan bedi v1·sinf1

Orduan, (2) ekuazioan ordezka bedi v2·cosf2  eta bakan bedi v1·cosf1

Ekuazio bi horiek ematen dituzte lehen diskoaren v1 abiadura eta f1  norabidea talkaren ondoren:

  • Bi diskoen errotazioen abiadura angeluarrak: w1 eta w2

(3) eta (4) ekuazioetan ordezka bitez lehenago bakandutako v1sinf1 eta v2sinf:

Energiaren balantzea

Lehen bezala, kalkulatzen badira energia zinetikoak talkaren ondoren eta talkaren aurretik, euren arteko diferentzia talkaren Q energia-galera da. Talkaren ondoren, disko bakoitzaren energia zinetikoa kalkulatzeko translazioa eta errotazioa gehitu behar dira, baina talkaren aurretik lehen diskoak translazio hutsa du:

Talkaren ondoren lortutako abiadurak ordezkatzen baditugu (v1, v2, w1 eta w2) orduan, energia-galeraren ekuazio osoa geratzen da hasierako baldintzen menpe idatzita (u1 eta θ1):

Eta zenbait sinplifikazio eginez honako adierazpena lortzen da:

Kasu berezia: Aurrez-aurreko talkak.

Talka-parametroa nulua denean, b=0, orduan θ1 angelua ere nulua da: θ1=0. Talka-mota horri aurrez-aurreko deritzo:

  • Talkaren ondoren bi diskoen abiadurek X ardatzarekin osatzen dituzten angeluak, biak nuluak dira: f1=0 eta f2 =0.
  • Bi diskoen errotazioen abiadura angeluarrak ere nuluak dira: w1=0 eta w2 =0.
  • Bi diskoen zentroen abiadurak:

Izan ere, ekuazio horiek eurak lortzen dira partikulen arteko aurrez aurreko talkak aztertzean eta bigarren partikula geldi dagoenean talka baino lehen: u2=0 . Kasu horretan definitzen bada M=m1/m2.

Orduan, hona hemen talkan galdutako energia:

izan ere, lehen diskoak talka baino lehen duen energia zinetikoaren (1-e2)/(M+1) zatia galtzen da.

 

Angelu kritikoa

Konpara ditzagun diskoen f1 eta f2  angeluak talkaren ondoren, aztertu ditugun bi kasuetan:

  • Irristatzen badute

tanf2 =m 

  • Eta ez badute irristatzen

  • f1 eta f2 angeluak berdinak atera daitezke irristatzen eta irristatu gabe. Horretarako, θ1 eraso-angeluak honako baldintza kritikoa bete behar du:

tanθc=3(1+e)μ

Eta orduan f1 eta f2 angeluen adierazpenak honakoak dira kasu bietan:

tanf2 =m 

  • Baldin θ1<θc bada, orduan, bi diskoek talka egitean ez dute irristatzen, eta kasu horri dagozkion ekuazioak erabili behar dira.

  • Aldiz, θ1>θc baldin  bada, orduan bi diskoek talka egitean irristatzen dute, eta beraz, kasu horri dagozkion ekuazioak erabili behar dira.

 

Angeluak nola neurtu laborategian

Laborategian errazago neurtzen da b talka-parametroa, θ1 angelua baino baina, lehen esan bezala, biak erlazionatuta daude:

b=(r1+r2)·sinθ1

Eta f1 eta f2 angeluak baino errazago neurtzen dira φ1 eta φ2 , hots, v1 eta v2 abiadurek osatzen dituzten angeluak, baina lehen diskoaren eraso-norabidearekiko, irudiak erakusten duen bezala:

Hona hemen angelu horien arteko erlazioak:

φ1=f11
φ2=θ1-f2

Adibideak

1 adibidea:

Diskoen datuak:

  • Demagun M=m1/m2=1 alegia bi diskoen masak berdinak direla.
  • Diskoen erradioak: r2=1 eta r1=1.
  • Bi diskoak altzairuzkoak dira: e=0.94 eta m =0.10

Talka baino lehen:

  • Lehen diskoaren hasierako abiadura: u1=3.5
  • Talka-parametroa: b=1.5.

Talka-parametroa ezagututa, θ1 angelua kalkula daiteke:

1.5=(1+1)·sinθ1               θ1 =48.6º

Eta irristatzearen angelu kritikoa hau da:

tanθc=3(1+0.94)0.1          θc=30.2º

Beraz, kasu berezi honetan bi diskoek elkar ukitzean irristatzen dute.

Talkaren ondoren:

  • Lehen diskoaren v1 abiadura eta f1  norabidea:

v1=2.40, f1=88.3º

Eta laborategian neurtutako angelua: φ1=88.3 - 48.6=39.7º (horizontalaren gainetik)

  • Bigarren diskoaren v2 abiadura eta f2 norabidea:

tanf2 =0.1                 f2 =5.7º

Eta laborategian neurtutako angelua: φ2=48.6 - 5.7=42.9º (horizontalaren azpitik)

  • Bi diskoen errotazioen abiadura angeluarrak: w1 eta w2

(Berdinak ateratzen dira, eta biak positiboak, beraz, erlojuaren orratzen alde)

  • Talkan galdutako energia

Q= -0.594

Bestela ere kalkula daiteke:

2. adibidea:

Diskoen datuak:

  • Demagun m1=0.5 eta m2=1.
  • Diskoen erradioak: r2=1 eta r1=2.
  • Bi diskoak altzairuzkoak dira: e=0.94 eta m =0.10

Talka baino lehen:

  • Lehen diskoaren hasierako abiadura: u1=3.5
  • Talka-parametroa: b=0.4.

Talka-parametroa ezagututa, θ1 angelua kalkula daiteke:

0.4=(2+1)·sinθ1               θ1 =7.7º

Eta irristatzearen angelu kritikoa hau da:

tanθc=3(1+0.94)0.1          θc=30.2º

Beraz, kasu berezi honetan bi diskoek elkar ukitzean ez dute irristatzen.

Talkaren ondoren:

  • Bigarren diskoaren v2 abiadura eta f2 norabidea:

v2=2.244         f2 =1.3

Eta laborategian neurtutako angelua: φ2=7.7-1.3=6.4º (horizontalaren azpitik)

  • Lehen diskoaren v1 abiadura eta f1  norabidea:

v1=1.080         f1 =160.4º

Eta laborategian neurtutako angelua: φ1=160.4-7.7=152.7º (horizontalaren gainetik)

  • Bi diskoen errotazioen abiadura angeluarrak: w1 eta w2

(Biak positiboak dira, erlojuaren orratzen alde)

  • Talkan galdutako energia:

Q= -0.246

Eta bestela kalkulatuta:

 

Saiakuntza

Ondoko taulan zenbait materialen itzultze- eta marruskadura-koefizienteak ematen dira:

Materialak Itzultze-koef.  e Marruskadura-koef. m
Altzairua-altzairua 0.94 0.10
Aluminioa-aluminioa 0.61 0.12
Letoia-letoia 0.57 0.11
Altzairua-letoia 0.65 0.10
Aluminioa-letoia 0.55 0.10
Altzairua-aluminioa 0.62 0.09

Iturria: Doménech A, Doménech M.T. Colisiones inelásticas de esferas. Revista Española de Física 4, 3 (1990) 52-56 orrialdeak.

Aukeran idatz daitezke:

  • Lehen diskoaren masa, m1, dagokion kontrolean idatziz (bigarren diskoaren masa finkotzat hartu da, m2=1)
  • Lehen diskoaren erradioa, r1 dagokion kontrolean idatziz (bigarren diskoaren erradioa finkotzat hartu da, r2=1)
  • Bi diskoen materialak, zerrenda tolestuan bikote bat aukeratuta. Bikotea aukeratu ondoren marruskadura- eta itzultze- koefizienteak finkatuta geratzen dira, eta beheko laukietan erakusten dira.
  • Lehen diskoaren hasierako abiadura, talka baino lehen, u1 , dagokion kontrolean idatziz.
  • Bigarren diskoa hasieran geldirik dago.
  • Talka-parametroa, b, dagokion kontrolean idatziz: zenbaki horren balio maximoa (r1+r2) da. Handiagoa ezin da, diskoek ez luketelako elkar joko. Talka parametroaren balio minimoa 0 da, aurrez-aurreko talkarako.
  • Diskoek hasieran ez dute abiadura angeluarrik: ω1=ω2=0

Hasi botoia sakatu.

Ikusten da, bi diskoak nola mugitzen diren talka baino lehen eta ondoren, laborategiko erreferentzia-sistemaren ikuspegitik.

Programak kalkulu guztiak burutzen ditu:

  • Bi diskoen abiadurak talkaren ondoren: v1 eta v2.
  • Bi diskoen norabideak talkaren ondoren, φ1 eta φ2 lehen diskoaren eraso-norabidearekiko.
  • Bi diskoen errotazioko abiadura angeluarrak talkaren ondoren: w1 eta w2.
  • Talkan galdutako energia: Q.

Hasieran aukeratutako datuetatik (m1, r1 eta b) eta programak kalkulatzen dituen magnitude guztietatik, egiazta daiteke kontserbatzen direla, momentu lineal totala eta diskoen momentu angeluar indibidualak P puntuarekiko. Gainera, diskoen momentu angeluar totala ere kontserbatzen da.