Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen

Disko bi akoplatzen (I)

Disko bi akoplatzen (II)

Indar zentral  bat
hagatxo batean

Patinatzaile bat biraka

Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia

Pendulu balistikoa (II)

Kutxa bat irauli

Talka inelastikoa
bala-disko biratzailea

Hagatxo batez
abiadura transmititzen

Kontserbazioak:
momentu lineala eta
momentu angeluarra

Disko-horma talka

Diskoa-diskoa talka (I)

Diskoa-diskoa talka (II)

Kontserbazio printzipioak

Energiaren balantzea. Itzultze-koefizientea

Diskoak ukitzen diren unea

Ekuazioak nola ebazten diren

Angeluak nola neurtzen diren laborategian

Adibideak

Erreferentzia

Orri honetan berriz ere aztertuko dugu disko biren arteko talka, baina oraingoan sei ezezaguneko eta sei ekuazioko sistema ebatzi beharrean, adierazpen matematikoak lortzen saiatuko gara:

• Bi diskoen abiadurak talkaren ondoren: v₁ eta v₂.
• Bi diskoen norabideek talkaren ondoren osatzen dituzten angeluak, f₁ eta f₂, talkaren unean bi zentroak lotzen dituen zuzenarekiko.
• Bi diskoen abiadura angeluarrak talkaren ondoren: w₁ eta w₂.
• Talkan galdutako energia: Q.

Datu gisa hartuko ditugu bi parametro: bata, lehen diskoaren u₁ abiadura talka baino lehen, eta bestea, abiadura horrek osatzen duen θ₁ angelua, talkaren unean bi zentroak lotzen dituen zuzenarekiko. Zuzen horri X ardatza deituko diogu, eta angelu guztiak berarekiko adieraziko ditugu.

Irudiak erakusten ditu gainera, diskoen masak (m₁ eta m₂) eta erradioak (r₁ eta r₂). Bigarren diskoa geldi dago talka baino lehen (u₂=0) eta lehenak u₁ abiadura du. Talka-parametroa da, lehen diskoaren zentroaren abiaduraren norabidetik bigarren diskoaren zentrora dagoen distantzia (b), baina θ₁ angeluaz finkatua dago.

Talkaren ondoren, lehen diskoaren abiadura v₁ da eta f₁ angelua osatzen du X ardatzarekiko, eta aldi berean biraka ari da w₁  abiadura angeluarraz, bere zentrotik pasatzen den ardatz perpendikularrarekiko. Bigarren diskoak, talkaren ondoren, v₂ abiadura du, f₂ angelua osatzen du X ardatzarekiko eta w₂ abiadura angeluarraz biratzen du bere zentrotik pasatzen den ardatz perpendikularrarekiko.

Datutzat hartzen dira:

• Bi diskoen masak, m₁ eta m₂ eta erradioak, r₁ eta r₂
• Talka baino lehen, bigarren diskoa geldi dago, u₂=0. Lehen diskoaren abiadura  u₁ da eta bere norabidea θ₁, lehen esan bezala, X ardatzarekiko.

Ezezagunak sei, denak talkaren ondorengoak:

• Lehen diskoaren zentroaren abiadura, v₁, norabidea f₁, eta errotazioaren abiadura angeluarra: w₁.
• Bigarren diskoaren zentroaren abiadura, v₂, norabidea f₂, eta errotazioaren abiadura angeluarra: w₂.

Talka-parametroa

Talka-parametroa honela definitzen da: lehen diskoaren zentroaren abiaduraren norabidetik bigarren diskoaren zentroraino dagoen distantzia (b). Izan ere, talka parametroa ezagututa, θ₁ angelua finkatuta geratzen da, ondoko irudiak erakusten duen bezala (θ₁ angelua da, talkaren unean bi zentroak lotzen dituen zuzenak lehen diskoaren zentroaren abiaduraren norabidearekin osatzen duena.)

b=(r1+r2)·sinθ1

Kontserbazio-printzipioak

1.  Bi diskoek multzo isolatu bat osatzen dute, kanpo-indar erresultantea nulua baita. Beraz, momentu lineal totala kontserbatzen da:

Esan bezala, X ardatza deritzogu talkaren unean bi diskoen zentroak lotzen dituen zuzenari, eta beraz, Y ardatza norabide horrekiko perpendikularrari.

Irudian u₁, v₁ eta v₂  bektoreak, adierazi dira euren osagaien menpe, X eta Y ardatzean zehar:

• Momentu lineala Y ardatzean:

m₁u₁·sinq₁=m₁v₁·sinf₁+m₂v₂·sinf₂                  (1)

• Eta X ardatzean:

m₁u₁·cosq₁= m₁v₁·cosf₁+m₂v₂·cosf₂              (2)

2.  Disko bakoitzak jasaten duen indar erresultantea, izan ere, talkaren indarra da, eta justu P kontaktu-puntuan aplikatzen da. Beraz, P puntuarekiko, disko bakoitzaren momentu angeluar indibiduala ere konstantea izango da:

Lehen diskoan:

m₁·r₁·u₁sinq₁=m₁·r₁·v₁sinf₁+I₁w₁

Eta  bigarren diskoan:

0= -m₂·r₂·v₂sinf₂+I₂w₂

Diskoak direnez, hona hemen euren inertzia-momentuak zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

Beraz:

r₁w₁ =2·u₁sinq₁-2·v₁sinf₁                    (3)
r₂w₂ =2·v₂sinf₂                                               (4)

 

Energiaren balantzea. Itzultze-koefizientea

Hona hemen itzultze-koefizientearen definizioa:

e·u₁cosq₁= -v₁cosf₁+v₂cosf₂                           (5)

Guztira, 6 ezezagun ditugu eta 5 ekuazio soilik, beste ekuazio bat gehiago behar da arazoa osorik ebazteko. Azter dezagun disko biek elkarri egiten dioten indarra justu kontaktuan daudenean.

Diskoak ukitzen diren unea

Hasteko, diskoen arteko indarrak ezagut ditzagun:

1.  Bi diskoen arteko indar normalak diskoen elastikotasunaren menpekoak dira; indar tangentzialak aldiz, diskoen arteko marruskadura-indarraren menpekoak dira, eta beraz, bi gainazalen egoeraren menpekoak.
2.  Bai itzultze-koefizientea eta baita marruskadura-koefizientea ere konstanteak dira, eta materialen ezaugarrien menpekoak dira soilik.

Kasu bi gerta daitezke:

Ez dute irristatzen

Diskoek P kontaktu-puntuan eta talkaren ondoren ez badute irristatzen, orduan bi diskoen abiadurak P puntuan berdinak izan behar dira:

v₁sinf₁-r₁ w ₁=v₂sinf₂+r₂ w₂                   (6)

Irristatzen dute

Lehen diskoak jasaten dituen indarrak bi dira:

• N, erreakzio normala, diskoaren zentrorantz.
• F, marruskadura-indarra, P puntuaren abiaduraren aurka.

N erreakzio normalak lehen diskoari momentu linealaren X osagaia soilik aldatzen dio, irauten duen Dt denbora-tarte txikian. Inpultsoa kalkulatzen badugu:

Era berean, F indarraren inpultsoak lehen diskoaren momentu linealaren Y osagaia aldatzen dio soilik:

Baina irristatzen badu, orduan N eta F erlazionatuta daude: F=m ·N,  eta beraz inpultsoak ere bai:

m ·(v₁cosf₁- u₁cosq₁)= (v₁sinf₁-u₁sinq₁)                (6')

bigarren diskoak jasaten dituen indarrak ere bi dira:

• N, erreakzio normala, diskoaren zentrorantz.
• F, marruskadura-indarra, P puntuaren abiaduraren aurka.

Indar bi horiek eta lehen diskoak jasaten dituenak berdinak eta aurkakoak dira.

N erreakzio normalak bigarren diskoari momentu linealaren X osagaia soilik aldatzen dio. Hona hemen inpultsoa:

Era berean, F indarraren inpultsoak momentu linealaren Y osagaia aldatzen dio soilik, eta F indarraren noranzkoa P puntuaren abiaduraren aurkakoa da.

Eta N eta F erlazionatuta daude: F=m ·N,  eta beraz inpultsoak ere bai:

m ·v₂cos f₂= v₂sinf₂

tanf₂ =m                    (7')

Ekuazioak nola ebazten diren

Sei ezezagun dauzkagu eta bost ekuazio, aztertu ditugun bi kasuetan balio dutenak:

m₁u₁·sinq₁=m₁v₁·sinf₁+m₂v₂·sinf₂                    (1)
m₁u₁·cosq₁= m₁v₁·cosf₁+m₂v₂·cosf₂              (2)

r₁w₁ =2·u₁sinq₁-2·v₁sinf₁                               (3)
r₂w₂ =2·v₂sinf₂                                                              (4)

e·u₁cosq₁= -v₁cosf₁+v₂cosf₂                              (5)

Irristatzen badu

• (7') ekuazioak berak bakarrik f₂ angelua ematen du, alegia bigarren diskoaren zentroaren v₂ abiadurak X ardatzarekin osatzen duen angelua:

tanf₂ =m                    (7')

(7') ekuazio hori bestela ere berridatz daiteke:

          sinf₂ =m ·cosf₂       (7')

• Nola kalkulatu lehen diskoaren v₁ abiadura eta f₁ angelua: (7') ekuazioa (1) ekuazioan ordezkatu eta ondoren bakandu (5) ekuazioan v₂cosf₂ eta ordezkatu (2) ekuazioan:

u₁·(m₁sinq₁-m ·e·m₂cosq₁)=m₁v₁·sinf₁+m₂v₁·m ·cosf₁
u₁·(m₁-m₂ ·e)·cosq₁= (m₁+m₂)v₁·cosf₁

Dei diezaiogun M=m₁/m₂, eta bakan dezagun (2) ekuazioan v₁·cosf₁ eta (1) ekuazioan v₁·sinf₁ :

• Nola kalkulatu bigarren diskoaren v₂ abiadura:

(5) ekuazioan bakan bedi v₁·cosf₁ eta ordezka bedi (2) ekuazioan:

m₁u₁·cosq₁= m₁v₁·cosf₁+m₂v₂·cosf₂              (2)

• Bi diskoen errotazioen abiadura angeluarrak: w₁ eta w₂

Bakan bedi (1) ekuazioan v₁·sinf₁ eta ordezka bedi (3) ekuazioan:

r₁w₁ =2·u₁sinq₁-2·v₁sinf₁=2(m₂/m₁)v₂·sinf₂         (3)

r₂w₂ =2·v₂sinf₂                      (4)

Egiaztatzea

Orain arte ez dugu (6) ekuazioa erabili, baina egiazta daiteke betetzen dela:

m ·(v₁cosf₁- u₁cosq₁)= v₁sinf₁-u₁sinq₁                  (6')

Ordezka bitez, lehen bakandutako v₁cosf₁  eta  v₁sinf₁  eta ekuazioa betetzen dela egiaztatzen da.

Energiaren balantzea

Kalkulatzen badira energia zinetikoak talkaren ondoren eta talkaren aurretik, euren arteko diferentzia talkaren Q energia-galera da.

Talkaren ondoren, disko bakoitzaren energia zinetikoa kalkulatzeko translazioa eta errotazioa gehitu behar dira, baina talka baino lehen lehen diskoak translazio hutsa du:

Talkaren ondoren lortutako abiadurak ordezkatzen baditugu (v₁, v₂, w₁ eta w₂) orduan, energia-galeraren ekuazio osoa geratzen da hasierako baldintzen menpe idatzita (u₁ eta θ₁):

Ekuazio hori sinplifika daiteke honako erlazio trigonometrikoak erabiliz: sin2θ₁=2sinθ₁·cosθ₁ eta 1+tan²θ₁=1/cos²θ₁ . Zenbait buruketaren ondoren honako emaitza lortzen da:

Ez  badu irristatzen

• Nola kalkulatu bigarren diskoaren v₂ abiadura eta f₂ norabidea:

Bakan bitez (3) eta (4) ekuazioetan r₁w₁ eta r₂w₂ , eta ordezka bitez (6) ekuazioan:

r₁w₁ =2·u₁sinq₁-2·v₁sinf₁                             (3)
r₂w₂ =2·v₂sinf₂                                                            (4)
v₁sinf₁-r₁ w₁=v₂sinf₂+r₂ w₂                              (6)

Ordezkatu ondoren, honelako adierazpena lortzen da:

3v₁sinf₁-2·u₁sinq₁=3v₂sinf₂

Eta ekuazio horretan bakan daiteke v₁sinf₁ eta (1) ekuazioan ordezkatu:

m₁u₁·sinq₁=m₁v₁·sinf₁+m₂v₂·sinf₂                  (1)

(m₁/3)u₁·sinq₁=(m₁+m₂)v₂·sinf₂

Ondoren (5) ekuazioan bakan bedi v₁cosf₁ eta ordezka bedi (2) ekuazioan:

m₁u₁·cosq₁= m₁v₁·cosf₁+m₂v₂·cosf₂                 (2)
e·u₁cosq₁= -v₁cosf₁+v₂cosf₂                               (5)

Ekuazio bi horiek ematen dituzte bigarren diskoaren v₂ abiadura eta f₂  norabidea talkaren ondoren:

• Nola kalkulatu lehen diskoaren v₁ abiadura eta f₁ norabidea:

(1) ekuazioan ordezka bedi v₂·sinf₂  eta bakan bedi v₁·sinf₁

Orduan, (2) ekuazioan ordezka bedi v₂·cosf₂  eta bakan bedi v₁·cosf₁

Ekuazio bi horiek ematen dituzte lehen diskoaren v₁ abiadura eta f₁  norabidea talkaren ondoren:

• Bi diskoen errotazioen abiadura angeluarrak: w₁ eta w₂

(3) eta (4) ekuazioetan ordezka bitez lehenago bakandutako v₁sinf₁ eta v₂sinf₂ :

Energiaren balantzea

Lehen bezala, kalkulatzen badira energia zinetikoak talkaren ondoren eta talkaren aurretik, euren arteko diferentzia talkaren Q energia-galera da. Talkaren ondoren, disko bakoitzaren energia zinetikoa kalkulatzeko translazioa eta errotazioa gehitu behar dira, baina talkaren aurretik lehen diskoak translazio hutsa du:

Talkaren ondoren lortutako abiadurak ordezkatzen baditugu (v₁, v₂, w₁ eta w₂) orduan, energia-galeraren ekuazio osoa geratzen da hasierako baldintzen menpe idatzita (u₁ eta θ₁):

Eta zenbait sinplifikazio eginez honako adierazpena lortzen da:

Kasu berezia: Aurrez-aurreko talkak.

Talka-parametroa nulua denean, b=0, orduan θ₁ angelua ere nulua da: θ₁=0. Talka-mota horri aurrez-aurreko deritzo:

• Talkaren ondoren bi diskoen abiadurek X ardatzarekin osatzen dituzten angeluak, biak nuluak dira: f₁=0 eta f₂ =0.
• Bi diskoen errotazioen abiadura angeluarrak ere nuluak dira: w₁=0 eta w₂ =0.
• Bi diskoen zentroen abiadurak:

Izan ere, ekuazio horiek eurak lortzen dira partikulen arteko aurrez aurreko talkak aztertzean eta bigarren partikula geldi dagoenean talka baino lehen: u₂=0 . Kasu horretan definitzen bada M=m₁/m₂.

Orduan, hona hemen talkan galdutako energia:

izan ere, lehen diskoak talka baino lehen duen energia zinetikoaren (1-e²)/(M+1) zatia galtzen da.

 

Angelu kritikoa

Konpara ditzagun diskoen f₁ eta f₂  angeluak talkaren ondoren, aztertu ditugun bi kasuetan:

• Irristatzen badute

tanf₂ =m 

• Eta ez badute irristatzen

• f₁ eta f₂ angeluak berdinak atera daitezke irristatzen eta irristatu gabe. Horretarako, θ₁ eraso-angeluak honako baldintza kritikoa bete behar du:

tanθ_c=3(1+e)μ

Eta orduan f₁ eta f₂ angeluen adierazpenak honakoak dira kasu bietan:

tanf₂ =m 

• Baldin θ₁<θ_c bada, orduan, bi diskoek talka egitean ez dute irristatzen, eta kasu horri dagozkion ekuazioak erabili behar dira.

• Aldiz, θ₁>θ_c baldin  bada, orduan bi diskoek talka egitean irristatzen dute, eta beraz, kasu horri dagozkion ekuazioak erabili behar dira.

 

Angeluak nola neurtu laborategian

Laborategian errazago neurtzen da b talka-parametroa, θ₁ angelua baino baina, lehen esan bezala, biak erlazionatuta daude:

b=(r₁+r₂)·sinθ₁

Eta f₁ eta f₂ angeluak baino errazago neurtzen dira φ₁ eta φ₂ , hots, v₁ eta v₂ abiadurek osatzen dituzten angeluak, baina lehen diskoaren eraso-norabidearekiko, irudiak erakusten duen bezala:

Hona hemen angelu horien arteko erlazioak:

φ₁=f₁ -θ₁
φ₂=θ₁-f₂

Adibideak

1 adibidea:

Diskoen datuak:

• Demagun M=m₁/m₂=1 alegia bi diskoen masak berdinak direla.
• Diskoen erradioak: r₂=1 eta r₁=1.
• Bi diskoak altzairuzkoak dira: e=0.94 eta m =0.10

Talka baino lehen:

• Lehen diskoaren hasierako abiadura: u₁=3.5
• Talka-parametroa: b=1.5.

Talka-parametroa ezagututa, θ₁ angelua kalkula daiteke:

1.5=(1+1)·sinθ₁               θ₁ =48.6º

Eta irristatzearen angelu kritikoa hau da:

tanθ_c=3(1+0.94)0.1          θ_c=30.2º

Beraz, kasu berezi honetan bi diskoek elkar ukitzean irristatzen dute.

Talkaren ondoren:

• Lehen diskoaren v₁ abiadura eta f₁  norabidea:

v₁=2.40, f₁=88.3º

Eta laborategian neurtutako angelua: φ₁=88.3 - 48.6=39.7º (horizontalaren gainetik)

• Bigarren diskoaren v₂ abiadura eta f₂ norabidea:

tanf₂ =0.1                 f₂ =5.7º

Eta laborategian neurtutako angelua: φ₂=48.6 - 5.7=42.9º (horizontalaren azpitik)

• Bi diskoen errotazioen abiadura angeluarrak: w₁ eta w₂

(Berdinak ateratzen dira, eta biak positiboak, beraz, erlojuaren orratzen alde)

• Talkan galdutako energia

Q= -0.594

Bestela ere kalkula daiteke:

2. adibidea:

Diskoen datuak:

• Demagun m₁=0.5 eta m₂=1.
• Diskoen erradioak: r₂=1 eta r₁=2.
• Bi diskoak altzairuzkoak dira: e=0.94 eta m =0.10

Talka baino lehen:

• Lehen diskoaren hasierako abiadura: u₁=3.5
• Talka-parametroa: b=0.4.

Talka-parametroa ezagututa, θ₁ angelua kalkula daiteke:

0.4=(2+1)·sinθ₁               θ₁ =7.7º

Eta irristatzearen angelu kritikoa hau da:

tanθ_c=3(1+0.94)0.1          θ_c=30.2º

Beraz, kasu berezi honetan bi diskoek elkar ukitzean ez dute irristatzen.

Talkaren ondoren:

• Bigarren diskoaren v₂ abiadura eta f₂ norabidea:

v₂=2.244         f₂ =1.3

Eta laborategian neurtutako angelua: φ₂=7.7-1.3=6.4º (horizontalaren azpitik)

• Lehen diskoaren v₁ abiadura eta f₁  norabidea:

v₁=1.080         f₁ =160.4º

Eta laborategian neurtutako angelua: φ₁=160.4-7.7=152.7º (horizontalaren gainetik)

• Bi diskoen errotazioen abiadura angeluarrak: w₁ eta w₂

(Biak positiboak dira, erlojuaren orratzen alde)

• Talkan galdutako energia:

Q= -0.246

Eta bestela kalkulatuta:

Saiakuntza

Ondoko taulan zenbait materialen itzultze- eta marruskadura-koefizienteak ematen dira:

Iturria: Doménech A, Doménech M.T. Colisiones inelásticas de esferas. Revista Española de Física 4, 3 (1990) 52-56 orrialdeak.

Aukeran idatz daitezke:

• Lehen diskoaren masa, m₁, dagokion kontrolean idatziz (bigarren diskoaren masa finkotzat hartu da, m₂=1)
• Lehen diskoaren erradioa, r₁ dagokion kontrolean idatziz (bigarren diskoaren erradioa finkotzat hartu da, r₂=1)
• Bi diskoen materialak, zerrenda tolestuan bikote bat aukeratuta. Bikotea aukeratu ondoren marruskadura- eta itzultze- koefizienteak finkatuta geratzen dira, eta beheko laukietan erakusten dira.
• Lehen diskoaren hasierako abiadura, talka baino lehen, u₁ , dagokion kontrolean idatziz.
• Bigarren diskoa hasieran geldirik dago.
• Talka-parametroa, b, dagokion kontrolean idatziz: zenbaki horren balio maximoa (r₁+r₂) da. Handiagoa ezin da, diskoek ez luketelako elkar joko. Talka parametroaren balio minimoa 0 da, aurrez-aurreko talkarako.
• Diskoek hasieran ez dute abiadura angeluarrik: ω₁=ω₂=0

Hasi botoia sakatu.

Ikusten da, bi diskoak nola mugitzen diren talka baino lehen eta ondoren, laborategiko erreferentzia-sistemaren ikuspegitik.

Programak kalkulu guztiak burutzen ditu:

• Bi diskoen abiadurak talkaren ondoren: v₁ eta v₂.
• Bi diskoen norabideak talkaren ondoren, φ₁ eta φ₂ lehen diskoaren eraso-norabidearekiko.
• Bi diskoen errotazioko abiadura angeluarrak talkaren ondoren: w₁ eta w₂.
• Talkan galdutako energia: Q.

Hasieran aukeratutako datuetatik (m₁, r₁ eta b) eta programak kalkulatzen dituen magnitude guztietatik, egiazta daiteke kontserbatzen direla, momentu lineal totala eta diskoen momentu angeluar indibidualak P puntuarekiko. Gainera, diskoen momentu angeluar totala ere kontserbatzen da.