Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen

Disko bi akoplatzen (I)

Disko bi akoplatzen (II)

Indar zentral bat
hagatxo batean

Patinatzaile bat biraka

Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia

Pendulu balistikoa (II)

Kutxa bat irauli

Talka inelastikoa: bala
eta disko biratzailea

Hagatxo batez
abiadura transmititzen

Kontserbazioak:
momentu lineala eta 
momentu angeluarra

Disko-horma talka

Diskoa-diskoa talka (I)

Diskoa-diskoa talka (II)

Bloke irristatzaileak nola mugitzen diren

Energia potentzialaren kurbak

Saiakuntza

Erreferentzia

Testuliburu gehienek, momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa azaltzen dutenean, patinatzailearen errotazioaren adibidea aipatzen dute, alegia, patinatzailearen abiadura angeluarra handitu egiten dela besoak gorputzera hurbiltzen dituenean eta alderantziz. Gehienetan, patinek izotzarekin duten marruskadura arbuiatzen da eta beraz kanpo-indarren momentu erresultantea nulua da.

Solido bat bere inertzia-ardatz nagusi baten inguruan biraka ari denean: L=I·ω.

Alboko irudiak hasierako eta amaierako egoerak konparatzen ditu. Abiadura angeluarra hazi egiten da inertzia-momentua gutxitzen bada eta alderantziz. Patinatzailearen momentu angeluarraren kontserbazioa honela adierazten da: I1·ω1=I2·ω2 Besoak gorputzetik hurbil dituenean, patinatzailearen inertzia-momentua txikiagoa da, errotazio-ardatzetik hurbilago daudelako: I2<I1 . Beraz, patinatzailearen abiadura angeluarra handitu egiten da: ω2>ω1.

Momentu angeluarraren kontserbazioa

Orri honetan, patinatzailea adierazteko, eredu bat proposatzen da: hagatxo zurrun bat horizontalki kokatzen da eta bere zentroaren inguruan bira dezake. Hagatxoan albainduta (zartatuta) bloke bi daude. Blokeek marruskadurarik gabe irrista dezakete hagatxoan zehar, baina malguki batzuek muturrarekin eusten diete. Hagatxoak patinatzailearen gorputza adierazten du, bloke higikorrek patinatzailearen besoak eta malgukiek patinatzailearen muskuluak. Ondoko irudiak multzo osoa erakusten du:

Irudiak erakusten du: Urdinez, hagatxo zurruna, M masaduna eta 2R luzeraduna. Beltzez, bloke bi, berdinak, eta biak m/2 masadunak. Gorriz, malguki elastiko bi, berdinak, k konstantedunak eta R luzera naturala dutenak. Malguki biak lotu dira hagatxoaren muturretan eta beste muturrean bloke irristatzailea.

Hasieran multzoa biratzen ari da, O puntuaren inguruan eta ω₀ abiadura angeluar konstanteaz. Oraingoz, blokeak lotuta daude r₀ posizioan. Hemen kalkulatuko da, nola mugitzen diren bi blokeak eta hagatxoa, blokeak askatzen direnean.

Hasieran momentu angeluarra hau da:

• Parentesiaren barneko lehen terminoa, I_v, hagatxoaren inertzia-momentua da: I_v=M(2R)²/12= MR²/3,

• Bigarrena, bi blokeen inertzia-momentu totala: m/2 masa du bakoitzak eta r₀ distantziara daude ardatzetik.

Esaterako, amaieran, blokeak errotazio ardatzean bertan badaude (r=0) orduan multzoaren momentu angeluarra hau izango da:

L=I_v·ω

Inertzia-momentua gutxitu denez, abiadura angeluarra handitu da: ω>ω₀.

Bloke irristatzaileak nola mugitzen diren

Bloke irristatzaileak nola mugitzen diren aztertuko dugu, hasierako egoeratik hasita eta amaierarainoko tarte osoan zehar:

Indarrak planteatzeko, har dezagun Erreferentzia-sistema ez inertziala, hain zuzen, hagatxoarekin batera biratzen ari dena, ω abiadura angeluarraz. Blokeek jasaten dituzten indar bertikalak (pisua eta hagatxoaren erreakzio bertikala) baliogabetzen dira eta indar horizontalak honakoak dira:

Malgukiak eragiten dion bultzada: F= -k·r Indar zentrifugoa Fz=(m/2)ω2r. Bi indar horien eraginez bloke bakoitzak a azelerazioa du hagatxoaren norabidean.

Norabide erradialean honela idazten da Newton-en bigarren legea:

Baina ω abiadura angeluarra ez da konstantea, aldakorra baizik. Bere adierazpena lortzeko, r posizio erradialarekiko, momentu angeluarraren kontserbazioa erabil daiteke: L=(I_v+mr²)ω,

Adierazpen hori ekuazio diferentzial gisa berridatz daiteke:

Eta horren emaitza da blokeen posizio erradiala (r) denboraren menpe, hagatxoarekin batera biratzen ari den erreferentzia-sistemaren ikuspegitik. Ekuazio diferentzial hori integratzeko prozedura numerikoak erabili behar dira, eta hasierako baldintzak ezarri: t=0 aldiunean, blokeen abiadura erradiala nulua da, dr/dt=0, eta euren posizioa r=r₀.

Energia potentzialaren kurbak

Hasieran, bloke biak finko daudenean, multzoaren energia totala hau da:

• Blokeen energia zinetikoa, norabide tangentzialean duten abiadurari dagokionez: ω₀·r₀.

• Hagatxoaren errotazioaren energia zinetikoa, ω₀ abiadura angeluarraz biratzen ari baita.

• Malgukiek duten energia potentzial elastikoa, hasieran zapalduta daudelako: r₀ distantzia.

Lehen bi terminoen batura, multzoaren energia zinetiko totala da:

Bloke biak askatzen direnean, eta bitarteko r posizio batean daudenean, multzoaren energia totala honela idatz daiteke koordenatu polarretan:

• Lehen terminoa blokeen energia zinetikoa da, eta aldi berean bi atal ditu:

• Alde batetik, blokeen abiadura erradiala, dr/dt , hagatxoaren norabideko abiadura da.

• Bestetik, norabide tangentzialeko abiadura, hagatxoaren errotazioak eragiten diona, ω =dθ/dt, abiadura angeluarraz biratzen duelako.

• Bigarren terminoa, hagatxoaren errotazioaren energia zinetikoa.

• Hirugarrena, malgukien deformazioari dagokion energia potentziala.

Gainera, multzoaren momentu angeluarra ere konstantea dela kontutan hartzen badugu, multzoaren w abiadura angeluarra adieraz daiteke L-ren menpe, eta energiaren adierazpenean ordezkatu. Hori egiten bada, E energiaren ekuazioa adierazten da r-ren eta bere deribatuaren menpe, dr/dt:

Adierazpen hori bi ataletan bana daiteke: batetik, energia zinetiko erradiala, eta bestetik, gainontzeko bi terminoak, edo energia potentzial totala. Bloke bakoitzak energia potentzialaren erdia duenez, hona hemen bloke bakoitzaren potentzial erradial baliokidea:

Energia potentziala deribatzen bada posizioarekiko (eta "minus" zeinuaz), indar erresultantea ematen du, izan ere, indar erradial baliokidea:

Ikusten denez, indar erradial baliokideak bi termino ditu: indar zentrifugoa eta malgukiaren indar elastikoa.

Ondorengo irudiak erakusten du potentzial erradial baliokidea, blokearen posizio erradialaren menpe (gorriz). Hasieran, blokeen posizioa r₀ denez, eta pausagunetik abiatzen direnez (dr/dt=0), hasierako energia totala E da, grafikoko zuzen horizontal beltza. Malgukien k konstantea handia bada eta blokeen masa txikia, blokeak askatu ondoren, jasaten duen indarra negatiboa izan daiteke, eta beraz, zentrorantz desplazatzen hasten dira.

Bitarteko r posizio batean, zuzenki gorriak adierazten du blokeen energia potentziala (kurba gorriaren altuera) eta beraz, E energia totalera iristeko falta den zatia, zuzenki urdina, energia zinetiko erradiala izan behar da.

Blokeak ardatzerantz hurbiltzen diren heinean, multzoaren ω abiadura angeluarra handituz doa, eta amaieran, ardatzeraino iristen direnean (r=0), abiadura angeluarra maximoa da.

Malgukien k konstantea ez bada hain handia edo/eta blokeen masa handiagoa bada, indar erradial netoa negatiboa izan daiteke posizio bateraino, baina posizio horretatik barrura positiboa izan daiteke. Kasu horretan, blokeen E energia hasierako baldintzetatik kalkulatzen da: hasierako posizioa r0 , eta hasierako abiadura nulua: dr/dt=0. Energia totala irudiko E bada (zuzen horizontal beltza), blokeek ezinezkoa dute jatorriraino iristea. Hurbildu, hurbiltzen dira, baina r1 posizioraino iristean, gelditu eta kanporantz itzuli egiten dira. Kanporantz doazela ere, r0  posizioraino iristean gelditu eta barrurantz itzultzen dira, eta horrela behin eta berriz oszilatzen jarraitzen dute hagatxoaren norabidean.

Blokeak ardatzerantz hurbiltzen diren heinean, multzoaren ω abiadura angeluarra handituz doa, eta r₁ itzultze-posizioraino iristen direnean, abiadura angeluarra maximoa da, baina gero berriro urruntzen dira ardatzetik, eta beraz, abiadura angeluarra berriro gutxitzen da.

Itzultze posizioa kalkulatzen da (r₁) E energiaren ekuazioan ordezkatuz, dr/dt=0. Hala egiten bada, laugarren graduko ekuazioa lortzen da, baina sinplifika daiteke bigarren graduko ekuazioa bilakatu arte eta soluzio biak lortu: r₀ eta r₁. Ikus bedi beheragoko 2 adibidea.

Beste kasu bat da, malgukien k konstantea txikia denean eta blokeen masa handia. Kasu horretan blokeak askatzean, ez dira ardatzerantz hurbiltzen, ardatzetik urrundu baizik, alegia, hagatxoaren muturretarantz.

Adibideak:

1 adibidea:

• Blokeen masa, m=0.5 kg.

• Malgukien konstantea, k=1 N/m

• Hasierako distantzia ardatzeraino, r₀=0.6 m.

• Hagatxoaren inertzia-momentua, I_v=1/12 kg·m²

• Hasierako abiadura angeluarra, ω₀= 1 rad/s

Ondorengo applet-ean ikusten da, blokeak askatu ondoren, zentrorantz hurbiltzen direla eta bertan geratzen direla geldi.

• Hasierako momentu angeluarra hau da:

L=(1/12+0.5·0.6²)·1=0.263 kg·m²/s

• Amaierako momentu angeluarra:

L=(1/12)·ω

Beraz, amaierako abiadura angeluarra: ω=3.16 rad/s

2 adibidea:

Erabil ditzagun aurreko adibidearen datu berdinak, baina bat aldatzen dugu: blokeen hasierako posizioa, r₀=0.9.

• Hasierako momentu angeluarra:

L=(1/12+0.5·0.9²)·1=0.488 kg·m²/s

Multzoaren energia totala hau da:

Masa biak zentrorantz mugitzen dira, baina posizio bat aurkitzen dute, r₁, gaindiezina. Puntu horretan blokeak gelditu eta noranzkoa aldatzen dute, hau da kanporantz mugitzen hasten dira. Posizio hori, itzultze-posizio bat da eta kalkulatzen da E energia totalaren adierazpenean ordezkatuz dr/dt=0.

Zenbait eragiketa eginez honako ekuazioa geratzen da:

2mkr⁴+2(I_vk-mE)r²+L²-2I_vE=0

Eta adibide honetako datuak ordezkatuz:

r⁴-0.8875r²+0.0628=0

Ohiko aldaketa eginez, x=r², ekuazio hori bigarren graduko bilakatzen da, eta bi erro ematen ditu: x₁=0.81, eta x₂=0.0775, eta beraz distantzia erradialetara bihurtuz, r₁=0.9, eta r₂=0.28.

• Blokeak gehienez hurbiltzen dira ardatzeraino, r=0.28 m. Posizio horretan momentu angeluarra:

L=(1/12+0.5·0.28²)·ω 

eta beraz, momentu angeluarra konstantea denez, ω=3.98 rad/s. Horixe da abiadura angeluar maximoa.

3 adibidea:

• Blokeen masa, m=2 kg.

• Malgukien konstantea, k=0.2 N/m

• Hasierako distantzia ardatzeraino: r₀=0.6 m

Kasu horretan, blokeak ez dira zentrorantz mugitzen, ertzetarantz baizik, eta hagatxoaren muturretaraino iristen dira:

• Hasierako momentu angeluarra:

L=(1/12+2·0.6²)·1=0.803 kg·m²/s

• Amaierako momentu angeluarra, muturra: r=1 m

L=(1/12+2·1²)·ω

eta beraz, amaieran abiadura angeluarra hasierakoa baino txikiagoa da: ω=0.39 rad/s

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Blokearen masa, kg-tan, dagokion laukian idatziz. Masa biak berdinak dira.

• Malgukiaren konstante elastikoa, k, dagokion laukian idatziz N/m-tan. Malguki biak berdinak dira.

• Blokearen posizioa, hasieran, r₀ , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Hagatxoaren inertzia-momentua finkotzat hartu da: I_v=1/12 kgm²

• Hasierako abiadura angeluarra ere finkotzat hartu da, ω₀=1 rad/s

Datuak onartzeko, Berria botoia sakatu.

Multzoa biraka hasten da, abiadura angeluar konstanteaz: ω₀=1 rad/s, eta bloke  biak hasierako posizioan geldi daude: r₀.

Leihatilaren eskumako aldean grafiko batek erakusten du, V_ef(r) , energia potentzial erradial baliokidea, eta multzoaren E energia totala (zuzen horizontala). Kurba eta zuzena ebakitzen diren puntua r₀ da.

Hasi botoia sakatu.

Blokeak askatzen dira eta hagatxoan zehar irristatzen hasten dira. Leihatilaren goiko eta eskumako aldean programak idatziz erakusten ditu uneoro: blokeen posizioa (r) eta multzoaren abiadura angeluarra (ω).