Solido zurruna

Errotazioaren
Dinamika

Errotazioaren
dinamikaren ekuazioa

Inertzia-momentuak

Errotazioaren dinamika
eta energiaren balantzea

Tortsio-pendulua

Pendulu konposatua

Zabua

Marruskadura,
errotazio mugimenduan

Atwood-en osziladorea

Hagatxoa erortzen,
mutur finko batekin

Hagatxoa erortzen,
marruskadurarik gabe

Hagatxoa erortzen,
marruskadura eta guzti

Eskailera irristatzen,
abiadura konstanteaz

Eskailera: estatika
eta dinamika

Nola mugitzen den eskailera, horma bertikala ukitzeari uzten dionean

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan aztertuko da eskailera batek nola irristatzen duen horma batean behera, irudiak erakusten duen bezala. Bi muturrek irristatzen dute aldi berean, goiko muturrak horman behera eta beheko muturrak zoruan zehar. Kalkuluak errazteko, beheko muturraren abiadura konstantea dela inposatuko dugu (nolabait geuk eutsita). Gainera ez dugu marruskadurarik kontutan hartuko ez horman ezta zoruan ere. Ondorengo kapituluan sakonago aztertuko dugu arazoa.

Demagun eskailerak m masa eta L luzera dituela. Beheko muturrak zoruan ukitzen du (O), horma bertikaletik x distantziara, eta goiko muturrak horma bertikala ukitzen du (P), zorutik y altueran. Dei diezaiogun θ, eskailerak osatzen duen angeluari norabide bertikalarekiko. Honako erlazio geometrikoak betetzen dira: x2+y2=L2  eta   tanθ=x/y

Eskailera mugitzen denean, P muturrak v_y abiadura du eta O muturrak v₀ abiadura konstantea (geuk inposatuta),  irudiak erakusten duen bezala. Abiadura bi horien arteko erlazioa hau da:

Baina eskailera lurrerantz hurbiltzen den heinean, θ angelua handitzen doa, alegia 90º-rantz, eta beraz v_y infiniturantz. Abiadura infinitu bat ez da fisikoki posible, eta hori gertatu baino lehen beste aldaketaren bat gertatu beharko da.

Nola mugitzen den eskailera, horma bertikala ukitzen duen bitartean

Eskailerak jasaten dituen indarrak lau dira:

Pisua, mg, planetak eraginda eta masa-zentroan aplikatuta. Horma bertikalak eragiten dion indarra: Fp Zoruak eragiten dion erreakzio normala: N Eskailerari O muturrean aplikatu behar zaion indarra, O muturra bera abiadura konstanteaz mugi dadin: Fo. Kalkuluak erraztearren, ez da marruskadurarik kontutan hartuko eskaileraren eta hormen artean.

Kalkula ditzagun lau indar horien momentuak O puntuarekiko (O puntua v₀ abiadura konstanteaz mugitzen ari bada, erreferentzia-sistema inertzial baten jatorri izan daiteke) eta aplika dezagun errotazioaren dinamikaren ekuazioa:

     (1)

Ekuazio horretan ez dira agertzen F₀ ezta N, eta orri honetan ez ditugu kalkulatuko. I da eskaileraren inertzia-momentua bere O muturretik pasatzen den ardatzarekiko. Hagatxotzat hartzen badugu, m masaduna eta L luzeraduna:

Eskaileraren P muturrak horma ukitzen duen artean, O muturraren posizioa honela adieraz daiteke: x=Lsinθ, eta O puntuaren abiadura konstantea bada:

Ekuazio hori  integratu ahal izateko, honela berridatz daiteke:

               (2)

Eta integratu ondoren lortuko da θ angeluaren adierazpena t denboraren menpe, baina integrazioa numerikoa izan behar da eta honako hasierako baldintzak inposatu behar dira: t=0, θ=θ₀, dθ/dt=v₀/(Lcos θ₀)

(1) eta (2) ekuazioen artean F_p indarra bakan daiteke, alegia, ezkerreko horma bertikalak eskailerari eragiten diona P muturrean:

Ondoko irudiak erakusten du F_p indarra eskaileraren θ angeluaren menpe eta hiru abiadura ezberdinetarako (v₀²/gL=0.3, 1.5 eta 2).

1.  O puntuaren abiadura handia bada (v₀²/gL≥3/2), orduan F_p indarra beti da negatiboa edozein θ angelurako: F_p<0 . Horrek esan nahi du, eskaileraren P muturrak horma ukitzeari uzten diola hasieran bertan: t=0, alegia, O muturra v₀ abiadura konstanteaz mugitzen hasten den unean.

2.  O puntuaren abiadura txikia bada (v₀²/gL<3/2), orduan F_p indarra positiboa da (F_p>0) baina soilik θ_c angelu kritiko batera arte (F_p=0), eta hortik aurrera negatibo bilakatzen da: F_p<0. Horrek esan nahi du, eskaileraren P muturrak horma bertikala ukitzen duela, baina angelu kritikoa atzematen duenean horma ukitzeari uzten diola. Angelu kritikoan honako baldintza betetzen da:

Une horretan P muturraren posizioa (altuera) hau da: y_c=L·cos θ_c

Eta P muturraren abiadura:

Une horretatik aurrera (t=t_c eta θ=θ_c) eskaileraren P muturrak ez du ukitzen horma bertikala..

Nola mugitzen den eskailera, horma bertikala ukitzeari uzten dionean

Aurrerantzean, eskailerak mugitzen segitzen du, "hagatxo inklinatu bat mutur finko batekin" erortzen den antzera, baina kontaktu-puntua geldi egon beharrean, mugitzen ari da v0 abiadura konstanteaz.

F_p=0 bada, orduan O puntuarekiko momentu erresultantea hau da: mg(L/2)sinθ, eta beraz, errotazioaren dinamikaren ekuazioa honela berridazten da:

Ekuazio hori prozedura numerikoez integratu behar da, eta hasierako baldintzak: t=t_c, θ=θ_c, dθ/dt=v₀/(Lcos θ_c)

Adibideak

1 adibidea:

• Demagun eskailerak hasieran bertikalarekin osatzen duen angelua: θ₀=30º=π/6 rad.
• O muturra mugitzen da horizontalki honako abiadura konstanteaz: v₀ =1.7 m/s
• Eskaileraren masa, m=1
• Eskaileraren luzera, L=1

Datu horiekin, v₀²/gL<3/2, eta beraz, P muturrak horma bertikala ukitzen du harik eta eskailerak θ_c angelu kritikoa osatzen duen arte. Kalkula dezagun angelu kritikoa:

Une horretan eskaileraren P muturrak honako abiadura du:

v_y= -v₀·tanθ_c    v_y= -2.38 m/s

Eta P muturraren posizioa zoruarekiko:

y_c=Lcos θ_c     y_c=0.58 m

2 adibidea:

• Demagun eskailerak hasieran bertikalarekin osatzen duen angelua: θ₀=30º=π/6 rad.
• O muturra mugitzen da horizontalki honako abiadura konstanteaz: v₀ =3.5 m/s

Datu horiekin, v₀²/gL<3/2, eta beraz, P muturrak horma bertikala ukitzen du harik eta eskailerak θ_c angelu kritikoa osatzen duen arte. Kalkula dezagun angelu kritikoa:

Baina angelu kritiko hori hasierako angelua baino txikiagoa da (θ_c<θ₀). Horrek esan nahi du, eskailerak hasieran bertan uzten diola horma bertikala ukitzeari.

3 adibidea:

• Demagun eskailerak hasieran bertikalarekin osatzen duen angelua: θ₀=30º=π/6 rad.
• O muturra mugitzen da horizontalki honako abiadura konstanteaz: v₀ =4.0 m/s

Datu horiekin, v₀²/gL>3/2, eta beraz, P muturrak horma bertikala ez du ukitzen, edozein izanda ere hasierako θ₀ angelua.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Eskailerak hasieran norabide bertikalarekin osatzen duen θ₀ angelua, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• O muturraren v₀ abiadura konstantea, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Eskaileraren masa finkotzat hartu da, m=1 kg

• Eskaileraren luzera ere finkotzat hartu da, L=1 m

Hasi botoia sakatu.

Eskailera mugitzen ikusten da eta, bereziki, horma bertikalak egiten duen F_p  indarra beha daiteke, eta pisuarekin konparatu. F_p indarra baliogabetzera doan unean, eskailera geldiaraz daiteke Gelditu/Jarraitu eta Pausoka botoiekin, eta une horretako angelua apuntatu; angelu hori θ_c angelu kritikoa da.