Solido zurruna

Errotazioaren
Dinamika

Errotazioaren
dinamikaren ekuazioa

Inertzia-momentuak

Errotazioaren dinamika
eta energiaren balantzea

Tortsio-pendulua

Pendulu konposatua

Zabua

Marruskadura,
errotazio-mugimenduan

Atwood-en osziladorea

Hagatxoa erortzen
mutur finko batekin

Hagatxoa erortzen,
marruskadurarik gabe

Hagatxoa erortzen,
marruskadura eta guzti

Eskailera irristatzen
abiadura konstanteaz

Eskailera: estatika
eta dinamika

Saiakuntza

Erreferentzia

Haurren jolas ezagun honek, euskaraz, hainbat izen ezberdin ditu: zabu, kulunka, zibu(ru), txinbo, zarabanda, junpa, leria edo txin-txauna. Batez ere, bi modu ezberdinetan erabili ohi da: Haur bat zabuan eserita, eta gurasoak bultzatu egiten dio, periodikoki, berezko oszilazioekin fasean, bere anplitudea handitzeko edo mantentzeko. Haurra zabuan eserita eta gorputza mugitzen du bere oszilazioen anplitudea handitzeko. Bigarren erabilera aztertuko dugu, alegia, zabuari nola ematen zaizkion barne-bultzadak, eta kalkuluak gehiegi ez konplikatzeko, suposatuko dugu haurraren masa-zentroa igo edo jaitsi egin daitekeela une konkretu batzuetan.

Zabuaren analisi sinplifikatua egingo dugu: alde batetik, haurra partikulatzat hartuko dugu, alegia, haurraren masa-zentroa soilik aztertuko dugu (masa-zentroa, barne indarren eraginez gora eta behera mugi daiteke distantzia jakin bat: δ). Bestetik, airearen marruskadura ez da kontutan hartuko ezta zabuaren ardatzeko marruskadura ere.

Higiduraren atalak

Zabuaren oszilazio oso bat zortzi ataletan zatituko dugu eta atal bakoitza zehazki aztertuko dugu.

Lehen atala

Lehen atala jaitsiera da. Irudiak erakusten duen bezala, zabua abiatzen da θ0 posiziotik eta pausagunetik, alegia abiadura angeluar nuluaz: ω=0. Oreka-posizioraino iristen denean (θ=0, bertikala)  abiadura angeluarra dauka: ω1. Abiadura angeluar hori kalkula daiteke, energiaren kontserbazioa aplikatuz: Adierazpen horretan, md2 da, m masadun partikula baten inertzia-momentua d distantziara dagoen O errotazio-ardatzarekiko. Hasierako energia potentziala: E1=mgd(1-cosθ0)

Bigarren atala

Zabua oreka-posiziora iristen denean, θ=0, haurrak soketatik tirakada bat ematen du eta masa-zentroa igo egiten du, δ altuera. Une horretan zabuak jasaten dituen indarren momentu totala (M) nulua da (indar guztiak pasatzen direlako O puntutik), beraz bere momentu angeluarra (L) konstantea izango da: Justu une horren hasieran, momentu angeluarra: md2·ω1 Justu une horren ondoren, momentu angeluarra: m(d-δ)2·ω2

Abiadura angeluarra handitzen da, haurraren distantzia O punturaino gutxitzen delako:

Energia totala, tirakadaren ondoren:

Energiaren balantzea

Kalkula ditzagun oreka-posizioan gertatzen den aldaketaren hasierako energia, amaierako energia eta barne-indarrak egiten duen lana, haurraren masa-zentroa δ altuera igotzeko.

Hasierako energia:

Amaierako energia:

Haurraren masa-zentroa igotzeko, alegia δ altuera jasotzeko, lana egin behar du besoekin. Besoek egin behar duten F indarra hau da: bere pisua (mg) gehi indar zentrifugoa (mω2x). Eta hemen x deitu diogu haurraren masa-zentrotik O errotazio-ardatzeraino dagoen distantziari. Baina oreka-posizioan L momentu angeluarra konstantea izan behar denez, ω abiadura angeluarra adieraz daiteke x distantziaren menpe: md2·ω1= mx2·ω

F indarra gorantz da eta desplazamendua ere bai, beraz, haurrak egindako lana positiboa da.

Emaitza hori begiratuta, ikusten da, barne-indarrak egindako lana dela, amaierako energiaren eta hasierako energiaren arteko kenketa.

Hirugarren atala

Hirugarren atala igoera da, justu lehen atalaren alderantzizkoa. Zabuak hasieran abiadura angeluarra dauka oreka-posizioan (ω₂) eta amaieran pausagunean dago baina θ₁ angelua dago desplazatuta. Energiaren kontserbazioa aplikatzen bada:

Zabuaren angelu maximoa, θ₁, kalkula daiteke aurreko adierazpenak konbinatuz eta ω₁ eta ω₂ eliminatuz:

Baina, d>(d-δ) denez, θ₁>θ₀  ateratzen da.

Energia totala hau da:

E₂=mg(d-δ)(1-cosθ₁)+mgδ=mgd(1-cosθ₁)+mgδcosθ₁

Laugarren atala

Laugarren atala goreneko posizioan gertatzen da, θ1 posizioan eta geldi dagoela (ω=0): haurrak berriz ere bere posizioa jaisten du, δ distantzia urrutiratzen da errotazio-ardatzetik. Zabuak jasaten duen aldaketa bakarra da, energia potentziala gutxitzen dela, energia zinetikorik ez duelako. Horretarako haurrak lan negatiboa egiten du. Energiaren maila O puntuan hartzen bada: ΔEp= -mgdcosθ1+mg(d-δ)cosθ1=  -mgδcosθ1

Energia totala hau da:

E₃=mgd(1-cosθ₁)

Bosgarren atala

Bosgarren atala lehen atalaren antzekoa da, pausagunetik abiatzen da goian, eta oreka-posizioan amaitzen da (θ=0). Beheraino iristen denean abiadura angeluarra du: ω₃.

Energiaren kontserbazioa aplikatzen bada:

Eta energia totala E₃ da, kontserbatu delako.

Seigarren atala

Seigarren atala bigarren atalaren antzekoa da. Justu bertikal dagoenean, haurra igo egiten da, δ altuera gorago, sokatik tirakada jotzen duelako. Abiadura angeluarra berriz ere igo egiten da, ω3-tik ω4-ra eta L momentu angeluarraren kontserbazioa aplikatuz abiadura hori kalkula daiteke: Energia totala hau da

Zazpigarren atala

Zazpigarren atala hirugarren atalaren antzekoa da. Zabua oreka-posiziotik abiatzen da (θ=0) baina ω₄ abiadura angeluarraz eta desplazamendu maximoa atzematen du: θ₂. Energiaren kontserbazioa aplikatuz:

Baina ω₄> ω₃ denez, desplazamendu maximoa, θ₂ > θ₁

Lehen bezala, orain ere desplazamendu maximo biak erlazionatuta daude:

Eta energia totala

E₄=mg(d-δ)(1-cosθ₂)+mgδ=mgd(1-cosθ₂)+mgδcosθ₂

Zortzigarren atala

Zortzigarren atala goreneko posizioan gertatzen da: θ2 posizioan eta ω=0. Haurrak masa-zentroa jaisten du, hau da, δ distantzia urrutiratzen da errotazio-ardatzetik. Energia totala hau da: E5 = mgd(1-cosθ2)

Zabuaren higidura-ekuazioak erdiko eta muturreko posizioen artean

Zabuaren higidura-ekuazioa muturretako posizioen θi (i=0, 1, 2,3..) eta oreka-posizioaren artean (θ=0),  pendulu sinplearen ekuazio bera da, baina penduluaren luzerak bi izan daitezke: l=d  eta  l=d-δ. m masadun partikula baten L momentu angeluarra, O puntuarekiko, da inertzia-momentua (ml2) bider ω abiadura angeluarra: L=ml2·ω

Partikula horrek jasaten dituen indarren M momentu totala, O puntuarekiko hau da:

M= -mglsinθ

Eta errotazioaren ekuazioa hau da: dL/dt=M , baina ekuazio diferentzial gisa ere berridatz daiteke:

Ekuazio horren "hasierako baldintzak" atalaren ordenaren arabera aldatzen dira:

• lehenengo atalean, l=d, θ=θ₀, dθ/dt=0
• hirugarrenean, l=d-δ, θ=0, dθ/dt=ω₂
• bosgarrenean, l=d, θ=θ₁, dθ/dt=0
• zazpigarrenean, l=d-δ, θ=0, dθ/dt=ω₄
• eta horrela behin eta berriz.

Laburtuz

• Zabua hasieran desplazatuta dago θ₀>0, eta hortik abiatzen da.

• Haurraren masa-zentroa igo eta jaitsi egiten da une zehatz batzuetan, haurraren besoek eraginda: oreka-posizioan igo eta muturreko posizioetan jaitsi.

• Hemen deskribatu den mekanismoari esker, haurraren barne indarrak (besoekin egindako tirakadak) zabuaren desplazamendu maximoa handitzea eragiten du: θ₀< θ₁< θ₂< θ₃<…  Teorikoki desplazamendu maximoak ez dauka mugarik, eta bira osoa ematea posiblea da.

Lehen oszilazio osoa bukatzen denean (zortzi atalak) desplazamendu maximoa θ₂ da:

Haurraren igoera eta jaitsierak txikiak badira zabuaren luzeraren aldean ( δ<<d). Orduan hurbilketa idatz daiteke:

Eta bigarren oszilazioan:

eta horrela behin eta berriz.

• Bigarren oszilazioa bukatzen denean, energia totala hau da:

eta hemen deitu zaio E₀ zabuaren hasierako energiari. Hortaz, n oszilazio burutzen direnean:

Ikusten denez, energia esponentzialki hazten da, haurraren m masarekiko independente, eta soilik aldatzen da haurraren δ/d desplazamendu erlatiboaren menpe.

Adibidea

• Demagun hasieran desplazamendu angeluarra dela: θ₀=10º

• Eta haurraren tirakadaren ondorioz bere masa-zentroa igotzen dela: δ=6 cm=0.06 m

• Zabuaren sokak honako luzera du: d=1.0 m., haurraren masa-zentroaren eta O errotazio-ardatzaren artean.

Irudiak erakusten ditu zabuaren higiduraren atalak, oszilazio bat osatu arte:

1.-Hasierako energia: E₁=mgd(1-cosθ₀)=m·9.8·1.0·(1-cos10º)=0.15·m

2.-Energiaren kontserbazioa aplikatuz, zabuaren ω₁ abiadura angeluarra kalkula daiteke bertikalera iristen denean:

Esan bezala, jaitsieran E₂=E₁

3.- Oreka-posizioan haurra igo egiten da, tirakadaren ondorioz, baina bere L momentu angeluarra konstantea da.

md²·ω₁=m(d-δ)²·ω₂,   ω₂ =0.62 rad/s

Energia totala hau da:

4.- Igoeran, energia zinetikoa potentzial bilakatzen da, baina energia totala kontserbatu. Beraz, θ₁ desplazamendu maximoa kalkula daiteke:

Esan bezala, E₄=E₃

5.- Goreneko posizio horretan haurrak soka luzatu egiten du eta jaitsi egiten da, baina angelua aldatu gabe. Bere energia totala hau da:

E₅ = m9.8·1(1-cos11º)=0.18·m

6.-Goreneko posiziotik beheraino jaistean, energia kontserbatzen da. Horrela kalkula daiteke abiadura angeluarra beheraino iristean (ω₃):

Esan bezala, jaitsieran E₆=E₅

7.- Justu beheko posiziotik pasatzean, haurrak tirakada ematen du eta soka laburtzen du, baina L momentu angeluarra kontserbatzen da:

md²·ω₃=m(d-δ)²·ω₄,   ω₄ =0.68 rad/s

Energia totala hazi egiten da:

8.- Ondoren, igoeran, energia zinetikoa energia potentzial bilakatzen da, baina energia totala kontserbatzen da. Horrela kalkula daiteke desplazamendu maximoa: θ₂

Esan bezala, E₈=E₇

9.- Goreneko posizio horretan, haurrak berriz ere soka luzatzen du eta jaitsi egiten da, baina angelua aldatu gabe. Bere energia totala hau da:

E₉=m9.8·1(1-cos12º)=0.22·m

10.- Oszilazio oso bat burutu da eta berri bat hasten da.

Izatez, desplazamendu maximoak honako formularen bidez ere kalkula daitezke (0-tik 1-era):

Eta formula bera aplikatuz, baina θ₁ angelutik abiatuta θ₂ angeluraino iristeko:

eta horrela behin eta berriz...

Ondorengo programa interaktiboan desplazamendu maximoak, θ_i (i=0, 1, 2,3 ..) ez dira etengabe hazten. Desplazamendu maximoak 75º gainditzen dituenean δ-ren zeinua aldatu egiten du, alegia, θ=0 oreka-posiziotik pasatzean, masa-zentroa igo beharrean jaitsi egiten du, eta horregatik abiadura angeluarra moteldu egiten da bizkortu beharrean. Energiaren ikuspegitik, hortik aurrera, barne-indarrak lan negatiboa egiten du eta horregatik energia totala gutxituz doa.

Zabuaren oszilazioen anplitudea gutxituz doa, ziklo bakoitzean, eta denbora nahikoa iragan denean gelditu egiten da. Teorikoki denbora hori infinitua da, baina errealitatean, aireak eta errotazio-ardatzak marruskadura eragiten dio haurraren mugimenduari. Horrelako faktoreak ez ditugu kontutan hartu eredu sinple hau aztertzen hasi garenean.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Zabuari ematen zaion Hasierako angelua, θ₀>0, gradutan adierazita eta dagokion laukian idatziz.

• Haurrak besoekin ematen duen tirakadaren ondoriozko m.z-ren desplazamendua dagokion kontrolean idatziz.

• Sokaren berezko luzera finkotzat hartzen da: d=1.0 m.

Hasi botoia sakatu.

Zabua mugitzen ikusten da eta marra gorri batek haurraren masa-zentroaren posizioa adierazten du. Beheko posiziotik pasatzen denean (θ=0) haurrak besoekin masa-zentroa igo egiten du, eta goreneko puntuetatik pasatzen denean (ω=0) jaitsi.

Leihatilaren eskumako aldean zabuaren energia totala erakusten da, energia potentziala urdinez eta energia zinetikoa gorriz. Energia potentzialaren jatorria, edo "zero-maila", hartu da ibilbidearen beheko puntuan (θ=0). Barra horiekin ikus daiteke zein tokitan aldatzen den energia totala eta zein tartetan kontserbatzen den (kontserbatzen denean zinetikotik potentzialera pasatzen da eta alderantziz).