Hagatxo inklinatu bat nola erortzen den,

zoruak marruskadura badu

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Solido zurruna

Errotazioaren
Dinamika
Errotazioaren
dinamikaren ekuazioa
Inertzia-momentuak
Errotazioaren dinamika
eta energiaren balantzea
Tortsio-pendulua
Pendulu konposatua
Zabua
Marruskadura,
errotazio mugimenduan
Atwood-en osziladorea
Hagatxoa erortzen,
mutur finko batekin
Hagatxoa erortzen,
marruskadurarik gabe
marca.gif (847 bytes)Hagatxoa erortzen,
marruskadura eta guzti    
Eskailera irristatzen
abiadura konstanteaz
Eskailera: estatika
eta dinamika
Higiduraren ekuazioak

Hagatxoaren puntak geldi irauten du, zoruarekin kontaktuan

Hagatxoaren puntak irristatzen du

Saiakuntza

Erreferentzia

Programazio-kodea

 

Aurreko orri bietan aztertu da, lehenik hagatxo bat nola erortzen den, mutur bat zoruan finko lotuta duenean, eta ondoren, hagatxo bat nola erortzen den zoruak marruskadurarik eragiten ez dionean.

Bi kasu horiek muturrekoak dira, eta honako orri honetan bitarteko kasua ikertuko dugu, konplikatuena, hagatxo bat nola erortzen den, punta zorua ukitzen duenean eta zoruak marruskadura eragiten dionean.

 

Higiduraren ekuazioak

Hagatxoa, hagatxo mehe eta luze bat da, m masaduna, eta L luzeraduna. Goiko irudiko baldintzetan, hiru indar jasaten ditu:

  • Pisua, mg, masa-zentroan aplikatzen da.

  • Zoruaren erreakzioa, N , kontaktu-puntuan aplikatzen da (P).

  • Marruskadura-indarra, F, kontaktu-puntuan aplikatzen da (P).

Higiduraren ekuazioak, bi higidura-moten gainezartzea dira:

  1.  Masa-zentroaren translazio-higidura (horizontala eta bertikala):

  1.  Hagatxoaren errotazioa, masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

θ da, hagatxoak norabide bertikalarekiko uneoro osatzen duen angelua.

Imz da, hagatxo baten inertzia-momentua, m masaduna eta L luzeraduna, perpendikularra den eta masa-zentrotik pasatzen den ardatz batekiko:

Hagatxoaren higidurak bi atal ditu:

  • Hagatxoaren punta geldi dago, zoruarekin kontaktuan, marruskadura-indarra txikia den bitartean: |F|<μN

  • Hagatxoaren puntak zoruan irristatzen du eta marruskadura indarra: |F|=μN

 

Hagatxoaren puntak geldi irauten du, zoruarekin kontaktuan

Atal hau, hain zuzen, lehenago aztertu dugun kasu baten berdina da: hagatxo bat nola erortzen den mutur bat finko duenean, baina piska bat ezberdina...

Hagatxoaren punta geldi badago zoruarekin kontaktuan, orduan, masa-zentroaren posizioa honela adieraz daiteke (ikusi goiko irudia):

x=(L/2) sinθ
 y=(L/2) cosθ

Eta masa-zentroaren abiadura eta azelerazioa osagai cartesiarretan adieraz daitezke (horizontala eta bertikala):

Masa-zentroaren azelerazioaren osagai cartesiarrak (ax eta ay) ordezkatzen badira translazioaren ekuazioetan, orduan zoruak kontaktu-puntuan hagatxoari eragiten dizkion indarrak (F eta N) honela adieraz daitezke:

F eta N ordezkatzen badira hagatxoaren errotazioaren ekuazioan, eta sinplifikatu ondoren, honelako ekuazioa geratzen da:

              (1)

Ekuazio hori  bera da, lehenago lortu genuena: hagatxoa nola erortzen den mutur bat zoruan tinko lotuta duenean.

Eta ekuazio horrek koefiziente aldakorrak dituenez, prozedura numerikoez ebatzi behar da, θ(t) lortzeko. Hasierako baldintzak honakoak dira: t=0 aldiunean, hagatxoaren posizioa θ=θ0 eta pausagunean dago, ω=dθ/dt=0.

Hurbilketa

θ angelua txikia denean, hurbilketa idatz daiteke: sinθθ . Eta ekuazio diferentziala honela berridazten da:

Ekuazio horren soluzioa honelakoa da:

A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik kalkulatzen dira:  t=0, hagatxoaren posizioa θ=θ0 da, eta pausagunetik abiatzen da: ω=dθ/dt=0

Hagatxoaren θ angelua denborarekiko esponentzialki hazten da, baina soilik angelua txikia denean...

 

Energiaren ikuspegia

Hagatxoa erori ahala bere energia potentziala energia zinetiko bilakatuz doa, eta energia zinetiko hori errotazio hutsezkoa da. Hasieran, pausagunean dagoenez, bere energia totala hau da: bere masa-zentroaren energia potentziala: E=mg(L/2)·cosθ0 . Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatzen bada:

Hemen, hagatxoaren energia zinetikoa idazteko, erabili da hagatxo baten inertzia-momentua bere muturretik pasatzen den ardatz perpendikularrarekiko, alegia zoruarekin kontaktuan dagoen puntutik pasatzen den ardatzarekiko. Horretarako, Steiner-en teorema aplikatu da:

Ekuazio horretan abiadura angeluarra bakan daiteke:

      (2)

(1) eta (2) ekuazioak dira, hagatxoaren azelerazio angeluarra eta abiadura angeluarra, hurrenez hurren, d2θ/dt2 eta dθ/dt. Ordezkatzen baditugu indarren adierazpenetan, hau da, F eta N-ren adierazpenetan, honela berridatz daitezke q angeluaren menpe:

Izan ere, ekuazio horiexek lortu genituen hagatxoa nola erortzen den mutur bat zoruan finko lotuta duenean. Emaitza bera lortu da baina planteamendu ezberdinaz.

Ondorengo irudiak erakusten du F/N erlazioa hagatxoaren θ angeluaren menpe. Irudi horretan, hasierako angelua hartu da: θ0=1º

                      (3)

Hasierako angelua txikia bada, θ0≈0, cosθ0≈1, orduan F/N zatiduraren izendatzailea honela berridatz daiteke: (1-3cosθ)2. Termino hori beti da positiboa, eta N indarraren proportzionala da. Horrek esan nahi du N indarra ezin dela negatiboa izan.

Jarrai dezagun grafiko hori aztertzen: θ angelua handitu ahala, indar bien arteko zatidura (F/N) handituz doa eta maximo bat du 35º inguruan. Ondoren, gutxituz doa eta zero egiten da 48º inguruko angeluan. Angelu horren gainetik, negatibo bihurtzen da, hau da, F indarra ezkerrerantz bultzatzen hasten da.

Indar nulua

F indarra baliogabetzen da, eta beraz, F/N zatidura ere bai, honako baldintza betetzen denean:

3cosθ=2cosθ0,

Baina hagatxoaren hasierako angelua, θ0, txikia bada, cosθ0≈1

cosθ=2/3, θ=48.2º

Maximoa eta minimoa

Maximoa kalkulatzea pixka bat luzeagoa da. Deriba dezagun F/N erlazioa θ angeluarekiko, eta inposa dezagun nulua izan behar dela:

(-3sin2θ+3cos2θ-2cosθ·cosθ0)(1+9cos2θ-6cosθ·cosθ0)-(3cosθ-2·cosθ0)·sinθ (-18cosθ +6cosθ0)·sinθ =0

Zenbait sinplifikazio eginda eta erabiltzen bada honako erlazio trigonometrikoa: sin2θ=1-cos2θ . Honako ekuazioa lortzen da, bigarren gradukoa:

33cos2θ-38cosθ·cosθ0-3+12·cos2θ0=0

Ekuazio horren erroetako bat maximoa da eta bestea minimoa:

Hagatxoaren hasierako angelua (θ0) txikia bada, cosθ0≈1

Orduan, bigarren graduko ekuazioaren erroak honako biak dira: cosθ1=1/3 eta cosθ2=9/11

Soluzio horiek honako angeluak ematen dituzte: θ1=70.5º eta θ2=35.1º. Lehenengo soluzioan N→0 eta beraz F/N→ -∞ (hori da minimoa). Bigarren soluzioan (F/N)max=0.371 , izan ere, grafikoak erakusten duen maximoa.

Ondorioz, hagatxoa erortzen hasiko da baina kontaktu-puntua geldi mantenduko da, irristatu gabe, harik eta F=mN baldintza betetzen den arte, edo bestela esanda, F/N=m baldintza betetzen den arte. Ekuazio horren ezezagun bakarra θ da. Horixe izango da hagatxoa irristatzen hasiko den angelua (θd). Baina ekuazio hori transzendentea da eta prozedura numerikoez ebatzi behar da.

Ezagutzen bada m, orduan grafikoan ikus daiteke zein θd angelutan berdintzen duen F/N erlazioak balio hori. Angelu horretatik aurrera hagatxoaren puntak irristatu egiten du.

 

Hagatxoaren puntak irristatzen du

Hagatxoaren punta lotuta egongo balitz, orduan F indar horizontalak edozein balio izan lezake, alegia, ez luke izango balio mugatzaile bat. Baina, kasu honetan, hagatxoa ez dago lotuta, marruskadurak bakarrik eusten dio, eta beraz, F indarrak muga bat du: F=±μN . Izan ere, balio horixe da, F indarrak daukana hagatxoaren puntak irristatzen duenean.

  • Hona hemen, masa-zentroaren translazio horizontalaren ekuazioa:

Masa-zentroaren translazio horizontalak uniformeki azeleratua dirudi, baina ez da, N aldakorra delako, beraz, ekuazio hori numerikoki ebatzi behar da.

Gainerako ekuazio guztiak (MZ-ren translazio bertikala eta hagatxoaren errotazioa) mantendu egiten dira. Bestalde, hagatxoaren puntak zorua ukitzen badu, N>0, eta gainera, erlazio bat dago masa-zentroaren altuera (y) eta hagatxoaren θ angeluaren artean:  y=(L/2) cosθ.  Orduan, lehen bezala:

Eta hagatxoaren masa-zentroaren translazio bertikalari Newton-en bigarren legea aplikatzen badiogu:

Adierazpen hau eta aurreko atalean lortutakoa (hagatxoaren punta geldi dago zoruarekin kontaktuan) berdinak dira. Horrek esan nahi du, translazio bertikalerako, berdin diola hagatxoaren punta geldi dagoen edo irristatzen ari den.

  • Hagatxoaren errotazioaren ekuazioa, N eta F ordezkatuz, honela berridazten da (demagun hasieran  F>0 dela, hau da, hagatxoak erlojuaren orratzen alde biratzen duela):

Hagatxoaren puntaren posizioa eta abiadura

Hagatxoaren punta (P) horizontalki mugitzen da eta, beraz, bere abiadura adieraz daiteke bi abiaduren gainezartze gisara: batetik masa-zentroaren translazio horizontalaren abiadura (dx/dt) eta bestetik, hagatxoaren errotazioari dagokion abiaduraren (ωL/2-ren) osagai horizontala (ikusi goiko irudia):

Koka dezagun X ardatzaren jatorria (O), hagatxoaren punta dagoen tokian, hagatxoa askatzen den unean. Une horretan, hagatxoak θ0 angelua osatzen du norabide bertikalarekiko. Hagatxoaren puntaren desplazamendu horizontala OP distantzia da eta masa-zentroaren desplazamendu horizontala x. Hona hemen bien arteko erlazioa:

OP=x+(L/2)sinθ0-(L/2)sinθ

Hagatxoaren punta geldi dagoen bitartean, vP=0, baina masa-zentroaren abiadura: dx/dt>0.

Kasu bereziak

Har ditzagun honako kasu bereziak:

  • Marruskadura-koefiziente nulua: μ=0

Kasu honetan, ez dago indar horizontalik, F=0, eta beraz, hagatxoaren masa-zentroa ez da horizontalki desplazatzen, alegia, erorketa bertikal hutsa dauka.

Aldi berean hagatxoak bere masa-zentroaren inguruan biratzen du, honako azelerazio angeluarrarekin:

Emaitza hori bera lortu da lehen “Hagatxo bat nola erortzen den marruskadurarik gabe

  • Marruskadura-koefizientea handia da: μ>(F/N)max=0.371

Hagatxoa erortzen hasten da, eta bere puntak geldi irauten du harik eta honako baldintza betetzen den arte: μ=F/N. Baina marruskadura-koefizientearen balioa (F/N)max baino handiagoa denez, baldintza hori ez da betetzen alde positiboan (F>0), alde negatiboan baizik, hau da F<0 denean, eta beraz, hagatxoaren punta irristatzen hasten da baina ez ezkerrerantz, eskuinerantz  baizik, eta hori gertatzen da θ angeluaren balio handi batean (ikusi ondorengo irudia).

Adibidea: demagun μ=0.5>(F/N)max=0.371

Esaterako, hagatxoa askatzen bada honako posiziotik θ0=1º, orduan (3) ekuazio transzendentea ebatziz numerikoki lortzen den emaitza da: θd=52.0º

Orduan hagatxoa erortzen hasten da, eta bere punta geldi mantentzen da, zoruarekin kontaktuan, honako tarte osoan: 0<θ<θd . Marruskadura indarra, F, positiboa da hasieran (eskuinerantz), baina θ=48.2º angeluan baliogabetu egiten da eta ondoren negatibo bilakatzen da (ezkerrerantz).

Hagatxoak θd=52.0º angelua gainditzen duenean, irristatzen hasten da, baina eskumarantz, eta marruskadura indarra (F=μN) negatiboa da.

Ondorengo applet-ean kalkula daiteke hagatxoaren puntaren desplazamendu maximoa: xP=9.2 mm.

  • Marruskadura-koefizientea txikia da, μ<(F/N)max

Hagatxoa erortzen hasten da, eta bere puntak geldi irauten du harik eta honako baldintza betetzen den arte: μ=F/N. Oraingoan, marruskadura-koefizientearen balioa (F/N)max baino txikiagoa denez, baldintza hori alde positiboan betetzen da, hau da, F>0 denean, eta beraz, hagatxoaren punta irristatzen hasten da ezkerrerantz.

Hagatxoaren punta ezkerrerantz irristatzen hasten da (vP<0), hasieran geldiro baina abiadura handituz doa. Ondoren, abiadurak maximo bat atzematen du eta gutxitzen hasten da. P puntuaren abiadura gutxitzen hasten da nulu bilakatzen den arte. Hagatxoaren punta geldi egongo da marruskadura indarra txikia den bitartean (|F|< μN) eta ondoren irristatu egingo du berriro.

Adibidea: demagun μ=0.15<(F/N)max=0.371

Hagatxoa askatzen da honako posiziotik: θ0=1º. Orduan (3) ekuazio transzendentea ebatziz, numerikoki lortzen den emaitza hau da: θd=11.5º

Beraz, hagatxoa erortzen hasten da, eta bere punta geldi mantentzen da, θd=11.5º-ko angelua atzematen duen arte. Une horretan, marruskadura-indarra positiboa da (F>0) beraz, hagatxoaren punta ezkerrerantz irristatzen hasten da.

Irristatzen hasi ondorengo higidura numerikoki kalkulatu behar da eta ondorengo applet-ak egiten du: hagatxoaren puntak ezkerrerantz irristatzen segitzen du, honako tarte osoan (11.5≤θ<71.5º). P puntuaren abiadura hasieran hazi egiten da (balio absolutuan) baina gero gutxituz doa gelditzen den arte (vp=0). Une horretan (θ=71.5º) hagatxoa oraindik biratzen ari da, eta P puntuaren abiadura positibo bilakatzen da, beraz marruskadura-indarra negatibo bilakatzen da bat batean. Hortik amaiera arte, θ=90º arte, vP>0, beraz, marruskadura-indarra negatiboa.

Hagatxoaren puntak portaera konplexua du, marruskadura-koefizientea bere balio maximotik hurbil dagoenean: μ≈(F/N)max=0.37. Egin bedi proba, esaterako, µ=0.35.

  •  Marruskadura-koefizientea, μ, oso handia da, eta angelu maximoaren muga hau da: θd=90º. Orduan:

μ marruskadura-koefizientea balio hori baino handiagoa bada, orduan hagatxoa erortzen da, uneoro beheko muturra finko mantenduz.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

  • Marruskadura-koefizientea, µsk, hagatxoaren puntak zoruarekin duena.

  • Hagatxoaren luzera finkotzat hartu da: L=0.2 m=20 cm

  • Hagatxoaren hasierako angelua ere finkotzat hartu da: θ0=1º norabide bertikalarekiko.

Hasi botoiari sakatu.

Ikusten da hagatxoa nola erortzen den hasieratik (θ0=1º) amaiera arte (θ=90º), higiduraren atal guztiak pasatuz, marruskadura-koefizientearen arabera.

Leihatilaren ezkerreko aldean honako datuak idatziz erakusten dira uneoro:

Denbora, t, segundotan adierazita.

  • Hagatxoaren puntaren posizio horizontala, xP. Kontutan izan X ardatzaren jatorria finkatzen dela hagatxoaren puntaren hasierako posizioan, alegia askatzen den unean (θ0=1º).

  • Hagatxoaren puntaren abiadura: vP, cm/s-tan adierazita

  • Hagatxoak jasaten duen indar horizontala, Fx baina hagatxoaren masarekiko erlatiboa, F/m N/kg-tan adierazita.

  • Zoruak hagatxoari eragiten dion indar bertikala, Fy edo erreakzio normala, N, baina hagatxoaren masarekiko erlatiboa, N/m N/kg-tan adierazita.

Leihatilaren eskumako aldean, grafiko batean adierazten da:

  • Urdinez, indar horizontala (baina hagatxoaren masarekiko erlatiboa F/m) eta punta geldi dagoela suposatuz, zoruarekin kontaktuan.

Marruskadura-indarrak bere balio mugatzailea gainditzen duenean (|F|=μN) hagatxoaren punta irristatzen hasten da. Hori gertatzen da θd posizioan.

  • Gorriz adierazten da, indar horizontala, hagatxoaren masarekiko erlatiboa (F/m) bai punta geldi dagoenean, eta baita irristatzen ari denean ere.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Erreferentzia

Cross R., The fall and bounce of pencils and other elongated objects. Am. J. Phys. 74 (1) January 2006, pp. 26-30

 

Programazio-kodea

public class Estado {
	double t;
	double x;
	double y;
	double vx;
	double vy;
public Estado(double t, double x, double y, double vx, double vy) {
	this.t=t;
	this.x=x;
	this.y=y;
	this.vx=vx;
	this.vy=vy;
}
}
public abstract class RungeKutta {
	double h;
RungeKutta(double h){
	this.h=h;
}
public void resolver(Estado e){
//variables auxiliares
	double k1, k2, k3, k4;
	double l1, l2, l3, l4;
	double q1, q2, q3, q4;
	double m1, m2, m3, m4;
//estado inicial
	double x=e.x;
	double y=e.y;
	double vx=e.vx;
	double vy=e.vy;
	double t=e.t;

	k1=h*vx;
	l1=h*f(x, y, vx, vy, t);
	q1=h*vy;
	m1=h*g(x, y, vx, vy, t);

	k2=h*(vx+l1/2);
	l2=h*f(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2);
	q2=h*(vy+m1/2);
	m2=h*g(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2);

	k3=h*(vx+l2/2);
	l3=h*f(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2);
	q3=h*(vy+m2/2);
	m3=h*g(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2);

	k4=h*(vx+l3);
	l4=h*f(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h);
	q4=h*(vy+m3);
	m4=h*g(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h);

	x+=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
	vx+=(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;
	y+=(q1+2*q2+2*q3+q4)/6;
	vy+=(m1+2*m2+2*m3+m4)/6;
	t+=h;

//estado final
	e.x=x;
	e.y=y;
	e.vx=vx;
	e.vy=vy;
	e.t=t;
}
abstract public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t);
abstract public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t);

abstract public double fuerza_X(double x, double vx);
abstract public double fuerza_Y(double x, double vx);
}

public class Sistema extends RungeKutta{
	double lonVarilla;
Sistema(double lonVarilla, double h){
	super(h);
	this.lonVarilla=lonVarilla;
}
public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t){
	return (14.7*Math.sin(x)/lonVarilla);
}
public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t){
	double temp=(f(x, 0.0, vx, 0.0, 0.0)*Math.cos(x)-vx*vx*Math.sin(x))*lonVarilla/2;
	return temp;
}

public double fuerza_X(double x, double vx){
	double temp=(f(x, 0.0, vx, 0.0, 0.0)*Math.cos(x)-vx*vx*Math.sin(x))*lonVarilla/2;
	return temp;
}
public double fuerza_Y(double x, double vx){
	double temp=9.8-(f(x, 0.0, vx, 0.0, 0.0)*Math.sin(x)+vx*vx*Math.cos(x))*lonVarilla/2;
	return temp;
} 
}
public class Sistema_Roza extends Sistema {
	double mu;
Sistema_Roza(double lonVarilla, double mu, double h){
	super(lonVarilla, h);
	this.mu=mu;
}

public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t){
	double temp=(6*9.8-3*lonVarilla*vx*vx*Math.cos(x))*(Math.sin(x)-mu*Math.cos(x))
	/(lonVarilla*(1.0+3*Math.sin(x)*(Math.sin(x)-mu*Math.cos(x))));
	return temp;
}
public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t){
	double temp=9.8-lonVarilla*(vx*vx*Math.cos(x)+f(x, y, vx, vy, t)*Math.sin(x))/2;
	return (mu*temp);
}
public double fuerza_X(double x, double vx){
	double temp=mu*fuerza_Y(x, vx);
	return temp;
}
//public double fuerza_X(double x, double vx){  está definida en la clase base

}
//Creación de objetos
	estado=new Estado(0.0, angInicial, 0.0, 0.0, 0.0);
	sistema=new Sistema(lonVarilla, dt);
//movimiento, resuelve las ecuaciones diferenciales
 	sistema.resolver(estado);
	double vPunta=estado.vy-estado.vx*lonVarilla*Math.cos(estado.x)/2;
	if((mu<muMax)&& (vPunta>0) && !bMueveDcha){ //velocidad de la punta del lápiz
		bMueveDcha=true;
		bMueveIzq=false;
		sistema=new Sistema(lonVarilla, dt);
	}
	if(Math.abs(sistema.fuerza_X(estado.x, estado.vx))>
	mu*sistema.fuerza_Y(estado.x, estado.vx)) &&!bMueveIzq){
		if(sistema.fuerza_X(estado.x, estado.vx)<0.0)
			sistema=new Sistema_Roza(lonVarilla, -mu, dt);
		else
			sistema=new Sistema_Roza(lonVarilla, mu, dt);
		bMueveIzq=true;
	}