Solido zurruna |
Errotazioaren Dinamika Errotazioaren dinamikaren ekuazioa Inertzia-momentuak Errotazioaren dinamika eta energiaren balantzea Tortsio-pendulua Pendulu konposatua Zabua Marruskadura, errotazio mugimenduan Atwood-en osziladorea Hagatxoa erortzen, mutur finko batekin Hagatxoa erortzen, marruskadurarik gabe
Eskailera irristatzen abiadura konstanteaz Eskailera: estatika eta dinamika |
Higiduraren ekuazioak Hagatxoaren puntak geldi irauten du, zoruarekin kontaktuan |
|||
|
Aurreko orri bietan aztertu da, lehenik hagatxo bat nola erortzen den, mutur bat zoruan finko lotuta duenean, eta ondoren, hagatxo bat nola erortzen den zoruak marruskadurarik eragiten ez dionean. Bi kasu horiek muturrekoak dira, eta honako orri honetan bitarteko kasua ikertuko dugu, konplikatuena, hagatxo bat nola erortzen den, punta zorua ukitzen duenean eta zoruak marruskadura eragiten dionean. Higiduraren ekuazioak
Hagatxoa, hagatxo mehe eta luze bat da, m masaduna, eta L luzeraduna. Goiko irudiko baldintzetan, hiru indar jasaten ditu:
Higiduraren ekuazioak, bi higidura-moten gainezartzea dira:
Hagatxoaren higidurak bi atal ditu:
Hagatxoaren puntak geldi irauten du, zoruarekin kontaktuanAtal hau, hain zuzen, lehenago aztertu dugun kasu baten berdina da: hagatxo bat nola erortzen den mutur bat finko duenean, baina piska bat ezberdina... Hagatxoaren punta geldi badago zoruarekin kontaktuan, orduan, masa-zentroaren posizioa honela adieraz daiteke (ikusi goiko irudia): x=(L/2) sinθ, Eta masa-zentroaren abiadura eta azelerazioa osagai cartesiarretan adieraz daitezke (horizontala eta bertikala):
Masa-zentroaren azelerazioaren osagai cartesiarrak (ax eta ay) ordezkatzen badira translazioaren ekuazioetan, orduan zoruak kontaktu-puntuan hagatxoari eragiten dizkion indarrak (F eta N) honela adieraz daitezke:
F eta N ordezkatzen badira hagatxoaren errotazioaren ekuazioan, eta sinplifikatu ondoren, honelako ekuazioa geratzen da:
Ekuazio hori bera da, lehenago lortu genuena: hagatxoa nola erortzen den mutur bat zoruan tinko lotuta duenean. Eta ekuazio horrek koefiziente aldakorrak dituenez, prozedura numerikoez ebatzi behar da, θ(t) lortzeko. Hasierako baldintzak honakoak dira: t=0 aldiunean, hagatxoaren posizioa θ=θ0 eta pausagunean dago, ω=dθ/dt=0. Hurbilketa θ angelua txikia denean, hurbilketa idatz daiteke: sinθ≈θ . Eta ekuazio diferentziala honela berridazten da:
Ekuazio horren soluzioa honelakoa da:
A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik kalkulatzen dira: t=0, hagatxoaren posizioa θ=θ0 da, eta pausagunetik abiatzen da: ω=dθ/dt=0
Hagatxoaren θ angelua denborarekiko esponentzialki hazten da, baina soilik angelua txikia denean...
Energiaren ikuspegiaHagatxoa erori ahala bere energia potentziala energia zinetiko bilakatuz doa, eta energia zinetiko hori errotazio hutsezkoa da. Hasieran, pausagunean dagoenez, bere energia totala hau da: bere masa-zentroaren energia potentziala: E=mg(L/2)·cosθ0 . Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatzen bada:
Hemen, hagatxoaren energia zinetikoa idazteko, erabili da hagatxo baten inertzia-momentua bere muturretik pasatzen den ardatz perpendikularrarekiko, alegia zoruarekin kontaktuan dagoen puntutik pasatzen den ardatzarekiko. Horretarako, Steiner-en teorema aplikatu da:
Ekuazio horretan abiadura angeluarra bakan daiteke:
(1) eta (2) ekuazioak dira, hagatxoaren azelerazio angeluarra eta abiadura angeluarra, hurrenez hurren, d2θ/dt2 eta dθ/dt. Ordezkatzen baditugu indarren adierazpenetan, hau da, F eta N-ren adierazpenetan, honela berridatz daitezke q angeluaren menpe:
Izan ere, ekuazio horiexek lortu genituen hagatxoa nola erortzen den mutur bat zoruan finko lotuta duenean. Emaitza bera lortu da baina planteamendu ezberdinaz. Ondorengo irudiak erakusten du F/N erlazioa hagatxoaren θ angeluaren menpe. Irudi horretan, hasierako angelua hartu da: θ0=1º
Hasierako angelua txikia bada, θ0≈0, cosθ0≈1, orduan F/N zatiduraren izendatzailea honela berridatz daiteke: (1-3cosθ)2. Termino hori beti da positiboa, eta N indarraren proportzionala da. Horrek esan nahi du N indarra ezin dela negatiboa izan. Jarrai dezagun grafiko hori aztertzen: θ angelua handitu ahala, indar bien arteko zatidura (F/N) handituz doa eta maximo bat du 35º inguruan. Ondoren, gutxituz doa eta zero egiten da 48º inguruko angeluan. Angelu horren gainetik, negatibo bihurtzen da, hau da, F indarra ezkerrerantz bultzatzen hasten da. Indar nulua F indarra baliogabetzen da, eta beraz, F/N zatidura ere bai, honako baldintza betetzen denean: 3cosθ=2cosθ0, Baina hagatxoaren hasierako angelua, θ0, txikia bada, cosθ0≈1 cosθ=2/3, θ=48.2º Maximoa eta minimoa Maximoa kalkulatzea pixka bat luzeagoa da. Deriba dezagun F/N erlazioa θ angeluarekiko, eta inposa dezagun nulua izan behar dela: (-3sin2θ+3cos2θ-2cosθ·cosθ0)(1+9cos2θ-6cosθ·cosθ0)-(3cosθ-2·cosθ0)·sinθ (-18cosθ +6cosθ0)·sinθ =0 Zenbait sinplifikazio eginda eta erabiltzen bada honako erlazio trigonometrikoa: sin2θ=1-cos2θ . Honako ekuazioa lortzen da, bigarren gradukoa: 33cos2θ-38cosθ·cosθ0-3+12·cos2θ0=0 Ekuazio horren erroetako bat maximoa da eta bestea minimoa:
Hagatxoaren hasierako angelua (θ0) txikia bada, cosθ0≈1 Orduan, bigarren graduko ekuazioaren erroak honako biak dira: cosθ1=1/3 eta cosθ2=9/11 Soluzio horiek honako angeluak ematen dituzte: θ1=70.5º eta θ2=35.1º. Lehenengo soluzioan N→0 eta beraz F/N→ -∞ (hori da minimoa). Bigarren soluzioan (F/N)max=0.371 , izan ere, grafikoak erakusten duen maximoa. Ondorioz, hagatxoa erortzen hasiko da baina kontaktu-puntua geldi mantenduko da, irristatu gabe, harik eta F=mN baldintza betetzen den arte, edo bestela esanda, F/N=m baldintza betetzen den arte. Ekuazio horren ezezagun bakarra θ da. Horixe izango da hagatxoa irristatzen hasiko den angelua (θd). Baina ekuazio hori transzendentea da eta prozedura numerikoez ebatzi behar da. Ezagutzen bada m, orduan grafikoan ikus daiteke zein θd angelutan berdintzen duen F/N erlazioak balio hori. Angelu horretatik aurrera hagatxoaren puntak irristatu egiten du.
Hagatxoaren puntak irristatzen duHagatxoaren punta lotuta egongo balitz, orduan F indar horizontalak edozein balio izan lezake, alegia, ez luke izango balio mugatzaile bat. Baina, kasu honetan, hagatxoa ez dago lotuta, marruskadurak bakarrik eusten dio, eta beraz, F indarrak muga bat du: F=±μN . Izan ere, balio horixe da, F indarrak daukana hagatxoaren puntak irristatzen duenean.
Hagatxoaren puntaren posizioa eta abiadura
Hagatxoaren punta (P) horizontalki mugitzen da eta, beraz, bere abiadura adieraz daiteke bi abiaduren gainezartze gisara: batetik masa-zentroaren translazio horizontalaren abiadura (dx/dt) eta bestetik, hagatxoaren errotazioari dagokion abiaduraren (ωL/2-ren) osagai horizontala (ikusi goiko irudia):
Koka dezagun X ardatzaren jatorria (O), hagatxoaren punta dagoen tokian, hagatxoa askatzen den unean. Une horretan, hagatxoak θ0 angelua osatzen du norabide bertikalarekiko. Hagatxoaren puntaren desplazamendu horizontala OP distantzia da eta masa-zentroaren desplazamendu horizontala x. Hona hemen bien arteko erlazioa: OP=x+(L/2)sinθ0-(L/2)sinθ Hagatxoaren punta geldi dagoen bitartean, vP=0, baina masa-zentroaren abiadura: dx/dt>0. Kasu bereziakHar ditzagun honako kasu bereziak:
SaiakuntzaAukeran idatz daiteke:
Hasi botoiari sakatu. Ikusten da hagatxoa nola erortzen den hasieratik (θ0=1º) amaiera arte (θ=90º), higiduraren atal guztiak pasatuz, marruskadura-koefizientearen arabera. Leihatilaren ezkerreko aldean honako datuak idatziz erakusten dira uneoro: Denbora, t, segundotan adierazita.
Leihatilaren eskumako aldean, grafiko batean adierazten da:
|
Cross R., The fall and bounce of pencils and other elongated objects. Am. J. Phys. 74 (1) January 2006, pp. 26-30
public class Estado {
double t;
double x;
double y;
double vx;
double vy;
public Estado(double t, double x, double y, double vx, double vy) {
this.t=t;
this.x=x;
this.y=y;
this.vx=vx;
this.vy=vy;
}
}
public abstract class RungeKutta {
double h;
RungeKutta(double h){
this.h=h;
}
public void resolver(Estado e){
//variables auxiliares
double k1, k2, k3, k4;
double l1, l2, l3, l4;
double q1, q2, q3, q4;
double m1, m2, m3, m4;
//estado inicial
double x=e.x;
double y=e.y;
double vx=e.vx;
double vy=e.vy;
double t=e.t;
k1=h*vx;
l1=h*f(x, y, vx, vy, t);
q1=h*vy;
m1=h*g(x, y, vx, vy, t);
k2=h*(vx+l1/2);
l2=h*f(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2);
q2=h*(vy+m1/2);
m2=h*g(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2);
k3=h*(vx+l2/2);
l3=h*f(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2);
q3=h*(vy+m2/2);
m3=h*g(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2);
k4=h*(vx+l3);
l4=h*f(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h);
q4=h*(vy+m3);
m4=h*g(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h);
x+=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
vx+=(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;
y+=(q1+2*q2+2*q3+q4)/6;
vy+=(m1+2*m2+2*m3+m4)/6;
t+=h;
//estado final
e.x=x;
e.y=y;
e.vx=vx;
e.vy=vy;
e.t=t;
}
abstract public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t);
abstract public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t);
abstract public double fuerza_X(double x, double vx);
abstract public double fuerza_Y(double x, double vx);
}
public class Sistema extends RungeKutta{
double lonVarilla;
Sistema(double lonVarilla, double h){
super(h);
this.lonVarilla=lonVarilla;
}
public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t){
return (14.7*Math.sin(x)/lonVarilla);
}
public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t){
double temp=(f(x, 0.0, vx, 0.0, 0.0)*Math.cos(x)-vx*vx*Math.sin(x))*lonVarilla/2;
return temp;
}
public double fuerza_X(double x, double vx){
double temp=(f(x, 0.0, vx, 0.0, 0.0)*Math.cos(x)-vx*vx*Math.sin(x))*lonVarilla/2;
return temp;
}
public double fuerza_Y(double x, double vx){
double temp=9.8-(f(x, 0.0, vx, 0.0, 0.0)*Math.sin(x)+vx*vx*Math.cos(x))*lonVarilla/2;
return temp;
}
}
public class Sistema_Roza extends Sistema {
double mu;
Sistema_Roza(double lonVarilla, double mu, double h){
super(lonVarilla, h);
this.mu=mu;
}
public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t){
double temp=(6*9.8-3*lonVarilla*vx*vx*Math.cos(x))*(Math.sin(x)-mu*Math.cos(x))
/(lonVarilla*(1.0+3*Math.sin(x)*(Math.sin(x)-mu*Math.cos(x))));
return temp;
}
public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t){
double temp=9.8-lonVarilla*(vx*vx*Math.cos(x)+f(x, y, vx, vy, t)*Math.sin(x))/2;
return (mu*temp);
}
public double fuerza_X(double x, double vx){
double temp=mu*fuerza_Y(x, vx);
return temp;
}
//public double fuerza_X(double x, double vx){ está definida en la clase base
}
//Creación de objetos estado=new Estado(0.0, angInicial, 0.0, 0.0, 0.0); sistema=new Sistema(lonVarilla, dt); //movimiento, resuelve las ecuaciones diferenciales sistema.resolver(estado);
double vPunta=estado.vy-estado.vx*lonVarilla*Math.cos(estado.x)/2;
if((mu<muMax)&& (vPunta>0) && !bMueveDcha){ //velocidad de la punta del lápiz
bMueveDcha=true;
bMueveIzq=false;
sistema=new Sistema(lonVarilla, dt);
}
if(Math.abs(sistema.fuerza_X(estado.x, estado.vx))>
mu*sistema.fuerza_Y(estado.x, estado.vx)) &&!bMueveIzq){
if(sistema.fuerza_X(estado.x, estado.vx)<0.0)
sistema=new Sistema_Roza(lonVarilla, -mu, dt);
else
sistema=new Sistema_Roza(lonVarilla, mu, dt);
bMueveIzq=true;
}
|
Hagatxoa erortzen,
marruskadura eta guzti 
(1)
(2)
(3)
