Solido zurruna

Errotazioaren
Dinamika

Errotazioaren
dinamikaren ekuazioa

Inertzia-momentuak

Errotazioaren dinamika
eta energiaren balantzea

Tortsio-pendulua

Pendulu konposatua

Zabua

Marruskadura,
errotazio mugimenduan

Atwood-en osziladorea

Hagatxoa erortzen,
mutur finko batekin

Hagatxoa erortzen,
marruskadurarik gabe

Hagatxoa erortzen,
marruskadura eta guzti

Eskailera irristatzen,
abiadura konstanteaz

Eskailera: estatika
eta dinamika

Hagatxoaren errotazio-higidura

Hagatxoa eta partikula konparatzea

Saiakuntza

Hagatxoak bere mutur finkoan jasaten dituen indarrak: F_x eta F_y

Erreferentzia

Orri honetan ikertuko da hagatxo bat nola erortzen den, beheko muturra finko eta artikulatuta duenean, beraz, mutur horren inguruan aske biratzen du. Hasieran θ angelua osatzen du norabide bertikalarekiko eta bere masa eta luzera m eta L dira hurrenez hurren. Gainera, erorketa hori konparatuko da partikula baten erorketarekin, eta partikula kokatzen da hagatxoaren gainean honako posizio erlatiboan: γL  (0<γ≤1). Beraz partikula erortzen da honako altueratik:  y0 = γL·cosθ. Ikusi alboko irudia.

Gainera ikertuko dugu zein posiziotan askatu behar den hagatxoa (zein angelutan, θ₀) eta zein posiziotan kokatu behar den partikula bere gainean (γL distantzia), lurreraino lehenago iristeko hagatxoa edo partikula. Ikusiko dugunez, zenbait kasutan, hagatxoa partikula baino lehenago iristen da lurrera, alegia, itxuraz, hagatxoa grabitatea baino bizkorrago mugitzen da.

Partikula nola erortzen den

Partikula baten erorketa kasu sinplea da, eta aztertuta dago dagoeneko Zinematikaren gaian, gorputz baten erorketan. Partikula erortzen uzten da pausagunetik eta honako altueratik: y₀=γLcos θ₀. Hona hemen partikularen posizioa denboraren menpe:

y=y₀ -gt²/2

Hortik kalkula daiteke partikulak lurrera iristeko (y=0) behar duen denbora (dei diezaiogun P_p, partikularen periodoari):

Partikularen energia potentziala (E=mg·y₀) energia zinetiko bilakatzen doa lurrerantz hurbiltzen den heinean. Energiaren kontserbazio-printzipioa aplikatuz:

Hagatxoaren errotazio-higidura

Hagatxoa solido zurrun bat da eta O puntu finkoaren ingurua biratzen du ardatz perpendikular batekiko.

Hagatxoak jasaten dituen indarrak bi dira: Pisua, mg, bere masa-zentroan aplikatzen da. Mutur finkoko loturak eragiten dion indarra: F. Indar horren modulua eta norabidea ezezagunak dira, baina bi osagaietan deskonposa daiteke: Fx eta Fy.

Hagatxoaren errotazioaren dinamikaren ekuazioa ardatz finko baten inguruan:

I_o · α=M

• I_O , hagatxoaren inertzia-momentua da, baina O puntutik pasatzen den ardatz perpendikularrarekiko.

•  M , hagatxoak jasaten dituen indarren momentu totala, O puntuarekiko, eta α azelerazio angeluarraren norabide bera du.

M=mg(L/2)·sin θ

• Errotazioaren ekuaziotik azelerazio angeluarra kalkulatzen da (α), eta ateratzen da, ez dela konstantea, baizik eta hagatxoaren posizioarekin (θ-rekin) aldatuz doala:

Kalkulatu nahi bada, hagatxoak zein posizio osatzen duen denboraren menpe, θ(t), ekuazio diferentziala integratu behar da (bi aldiz denborarekiko):

Eta ekuazio horrek koefiziente aldakorrak dituenez, numerikoki ebatzi behar da. Hasierako baldintzak honakoak dira: t=0 aldiunean, hagatxoaren posizioa θ=θ₀ eta pausagunean dago, ω=dθ/dt=0

Energiaren ikuspegia

Hagatxoaren energia potentziala da bere masa-zentroak duena, alegia, bere masa-zentroaren altueran dagoen partikula batek izango lukeena, hagatxo osoaren masa izango balu: E=mg(L/2)·cosθ₀. Energia potentzial hori bilakatuz doa errotaziozko energia zinetiko. Energiaren kontserbazioaren printzipioa honela idatz daiteke:

Ekuazio horrekin hagatxoaren ω abiadura angeluarra kalkula daiteke bere θ posizioaren menpe, baina ez digu informaziorik ematen t denboraz. Horretarako, abiadura angeluarra honela berridatz daiteke:

Hagatxoak lurrera erortzen tardatzen duen denbora

Adierazpen hori integra daiteke θ₀-tik π/2-raino, eta lortzen da hagatxoak zenbat tardatzen duen lurrera erortzen (dei diezaiogun P_v, gaztelerazko "periodo varilla").

Integral hori ebazteko, berridatz daiteke honako erlazioak erabiliz: "angelu bikoitzaren kosinua": cos2A=cos²A-sin²A, eta bestalde sin²A+cos²A=1. Honela geratzen da:

Eta aldagaia alda daiteke:

Azkenik, lortzen da P_v denbora, alegia, hagatxoak tardatzen duena lurrera iristeko, hasieran θ₀ angelutik askatzen bada. Izan ere, integralaren adierazpen hori pendulu baten periodoaren antzekoa da, penduluaren anplitudea handia denean:

Integral hori numerikoki kalkula daiteke edo tauletan aurki daiteke. Horretarako, komeni da berridaztea bi integralen kenketa gisa: batetik, integral eliptiko osoa 0-tik π/2-raino, eta bestetik lehen espezieko integral eliptikoa 0-tik φ₀-raino.

Ondorengo programa interaktiboak, hagatxoaren hasierako angelua ematen bazaio (θ₀: norabide bertikalarekiko), integral eliptiko biak kalkulatzen ditu (Carlson-en metodo numerikoaz) eta ondoren, integral bien arteko kenketa (dei diezaiogun I_e integral eliptiko bien kenketari). Ikus bedi Numerical Recipes in C, Special functions, seigarren kapitulua.

Hagatxoaren hasierako angelua emanda (bertikalarekiko),

programa honek integral eliptiko bien arteko kenketa kalkulatzen du, I_e.

Ondoren P_v kalkulatzeko, alegia, hagatxoak lurrera iristeko zenbat denbora tardatzen duen, bidertu behar da programan lortutako I_e bider √(2L/3g).

Hagatxoa eta partikula konparatzea

Azelerazioak konparatzea

Konpara ditzagun, alde batetik aske erortzen den partikularen azelerazioa P posizioan dagoenean, mutur finkotik  γL distantziara, eta bestetik hagatxoan dagoen P puntuaren hasierako azelerazioa. Irudiak bi azelerazioak erakusten ditu, partikularena urdinez eta hagatxoaren puntuarena gorriz.

Aske erortzen den partikularen azelerazioa, grabitatearena, konstantea da bidaia osoan, baina hagatxoan dagoen puntuak zirkunferentzia bat deskribatzen du, γL erradioduna, eta honako azelerazio tangentziala du:

Norabide horretan, grabitatearen azelerazioak honako osagaia du: g·sinθ

Lehen azelerazioa (hagatxoarena) bigarrena baino handiagoa bada, orduan hagatxoa partikula baino bizkorrago eroriko da lurrera.

Baldintza hori, beharrezkoa da hagatxoa partikula baino lehenago iristeko lurrera, baina ez da baldintza nahikoa, geroago ikusiko dugunez.

Erorketen iraupenak konparatzea

Konpara dezagun zenbat denbora tardatzen duten lurrera iristeko, alde batetik aske erortzen den partikulak eta bestetik hagatxoak.

Partikula honako altueratik abiatzen da: y₀=γLcosθ₀  eta lurrera iristeko tardatzen duen denbora, lehenago kalkulatu dugu (P_p):

Hagatxoa θ₀ posizio angeluarretik abiatzen da, eta lurrera iristeko tardatzen duen denbora P_v da:

Hemen I_e da, aurreko atalean aipatu diren integral eliptiko bien arteko kenketa, izan ere, lehengo programatxoak kalkulatzen duena, hagatxoaren hasierako posizioa emanda.

Hagatxoa lurrera heltzen bada partikula baino lehen: P_p>P_v , edo bestela esanda:

I_e funtzioa ez da sinplea, eta gainera, hagatxoaren hasierako θ₀ posizio angeluarrarekin erlazionatuta dago.

Idatz ditzagun taula batean parametro guztiak, hau da:

• θ₀: hagatxoaren hasierako posizio angeluarra, norabide bertikalarekiko.

• I_e: integral eliptikoen kenketa, izan ere, aurreko ataleko programatxoak kalkulatzen duena.

• Desberdintzaren eskumako terminoari, dei diezaiogun γ_c=I_e²/(3·cosθ₀)

Taula horretako zenbakiek ematen dute, hagatxoaren hasierako posizio angeluar ezberdinetarako, zein iristen den lehenago lurrera, hagatxoa ala partikula, honela:

• Baldin γ< γ_c partikula iristen da lurrera lehenago.

• Baldin γ>γ_c hagatxoa iristen da lurrera lehenago.

γ beti da unitatea baino txikiagoa, definizioz (γ<1), partikularen posizioa γL delako, beraz, hasierako posizioa bada θ₀=40º edo 30º, edo txikiagoa, orduan beti γ_c>1eta beraz, γ< γ_c: orduan partikula beti iritsiko da hagatxoa baino lehenago. Ondorengo programa interaktiboan hori egiazta daiteke.

Lehengo ataleko programatxoan kalkula daiteke θ₀≈42º bada, orduan I_e=1.4944, eta γ_c=1. Horrek esan nahi du hori dela hasierako angeluaren balio minimoa hagatxoa partikula baino lehenago iristeko eta horretarako γ=1, partikula justu hagatxoaren muturrean kokatuta.

Aldiz, hagatxoaren hasierako posizioa bada θ₀=42º baino handiagoa, orduan beti γ_c<1eta beraz lor daiteke γ> γ_c izatea. Hau da, posiblea da hagatxoa lurrera iristea partikula baino lehenago. Horretarako partikula hagatxoan kokatu beharko da O puntutik γ_cL distantzia baino urrutiago, alegia muturretik hurbilago. Eta partikula kokatzen bada O puntutik γ_cL distantzia baino hurbilago orduan bera iritsiko da lurrera hagatxoa baino lehenago.

Badago taula horretan, γ_c-rentzako beste balio mugatzaile bat: γ_c=0.666…=2/3. Alegia, γ_c ez dela inoiz 2/3 baino txikiagoa. Orduan, partikula kokatzen bada O puntutik 2L/3 distantzia baino hurbilago (γ< γ_c) orduan bera iritsiko da lurrera hagatxoa baino lehenago, beti, hagatxoaren hasierako θ₀ angelua edozein izanda ere.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Hagatxoaren hasierako angelua, θ₀, norabide bertikalarekiko osatzen duena (gradutan), desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
• Partikularen posizioa hagatxoaren gainean eta hagatxoaren luzerarekiko erlatiboa, hau da, γL baina γ≤1. Desplazamendu-barrari saguaz eragiten edo laukian zuzenean γ zenbakia idatziz.
• Hagatxoaren luzera finkotzat hartu da:  L=2 m.
• Hagatxoaren masa eta partikularena biak berdinak eta finkoak hartu dira: m=1 kg.

Hasi botoiari sakatu.

Hagatxoa erortzen ikusten da, beheko muturra finkoa du eta beraren inguruan biratzen ari da. Partikula ere erortzen ikusten da, baina aske, norabide zuzen eta bertikalean.

Leihatilaren ezkerreko eta goiko erpinean programak uneoro erakusten ditu idatziz, t denbora (segundotan), hagatxoaren q angelua (gradutan) eta mutur finkoak eragiten dion indarraren bi osagaiak: F_x eta F_y.

Aukera bitez konbinazio ezberdinak, hasierako angeluarekin (θ₀) eta partikularen hagatxoaren gaineko posizio erlatiboarekin (g) eta konpara bedi ea zein iristen den lehenago lurrera: hagatxoa ala partikula.

Hagatxoak bere mutur finkoan jasaten dituen indarrak: F_x eta F_y

Hagatxoak mutur finkoan lotura bat duenez ezin da aske mugitu, loturak indarra egiten diolako. Hagatxoaren masa-zentroak ibilbide zirkularra deskribatzen du, L/2 erradioduna. Beraz, masa-zentroaren azelerazioak bi osagai izango ditu:

• azelerazio tangentziala
• azelerazio normala

Irudiaren ezkerraldean erakusten da masa-zentroaren higidura zirkularra dela, eta bere azelerazioaren bi osagaiak, bere posizio angeluarra edozein denean, θ . Aldiz, irudiaren eskumako aldean azelerazioaren osagai cartesiarrak erakusten dira, alegia bertikala eta horizontala.

Newton-en bigarren legea aplikatzen badiogu hagatxoari (masa-zentroari) osagai cartesiarretan: m(at·cosθ-an·sinθ)=Fx m(an·cosθ+at·sinθ)=mg-Fy Azelerazioaren osagai intrintsekoak (normala eta tangentziala) ezagunak dira lehendik:

Orduan, ekuazio cartesiarretatik kalkula daitezke F_x eta F_y , θ angeluaren menpe:

 Adibidea:

• Demagun, esaterako, hagatxoaren masa, m=1 kg
• eta hasierako angelua, θ₀=45º

Kalkula bitez F_x eta F_y, esaterako, hagatxoaren posizio honetan: θ=60º.

Kalkula ditzagun lehenik azelerazioaren osagai intrintsekoak:

a_t=6.37 m/s²
a_n=3.04 m/s²

Ondoren, kalkulatzen dira loturak hagatxoari eragiten dion F indarraren bi osagaiak:

F_x=0.546 N
F_y=2.765 N

Erreferentzia

"Hagatxoak lurrera erortzen tardatzen duen denbora" artikulu honetan azaltzen da zehazki:

Theron W.  The "faster than gravity" demostration revisted. Am. J. Phys. 56 (8) August 1988, pp. 736-739