Errotazioaren dinamika eta energiaren balantzea

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Solido zurruna

Errotazioaren
Dinamika
Errotazioaren 
dinamikaren ekuazioa
Inertzia-momentuak
marca.gif (847 bytes)Errotazioaren dinamika
eta energiaren balantzea
Tortsio-pendulua
Pendulu konposatua
Zabua
Marruskadura,
errotazio-mugimenduan
Atwood-en osziladorea
Hagatxoa erortzen
mutur finko batekin
Hagatxoa erortzen,
marruskadurarik gabe
Hagatxoa erortzen,
marruskadura eta guzti
Eskailera irristatzen
abiadura konstanteaz
Eskailera: estatika
eta dinamika
Lehen esperimentua

Bigarren esperimentua

Hirugarren esperimentua

java.gif (886 bytes) Saiakuntza

 

Kapitulu honetan, solido zurrunaren dinamika praktikatzeko, alegia errotazioaren dinamika eta energiaren kontserbazio-printzipioa aplikatzeko, esperimentu bat planteatuko dugu. Esperimentua, hiru modu ezberdinetan gauzatu daiteke.

Har dezagun gurpil bat, bizikleta batena bezalakoa, eta finka dezagun bere ardatza horizontalki, irudiak erakusten duen bezala. Gurpil horretan, soken bitartez, zenbait bloke eskegi daitezke. Orri honen amaierako applet-ean esperimentu guzti hauek praktika daitezke, baldintza ezberdinak aukeratuz.

din_solido1.gif (3221 bytes)

Baldintza horietan, eta pausagunetik abiatuz, neur daiteke pisuek zenbat denbora tardatzen duten altuera jakin bat igo edo jaisten. Denbora neurtu ondoren, eta ezagunak badira gorputzen masak eta gurpilaren barne- eta kanpo-erradioak, gurpilaren inertzia-momentua kalkula daiteke bi prozedura ezberdinez:

  • Dinamikaren ekuazioak aplikatuz.
  • Energiaren kontserbazio-printzipioa aplikatuz.

Ondoren, hiru esperimentu deskribatuko ditugu, errazenetik hasita eta zailenarekin amaituta.

 

Lehen esperimentua

Lehen esperimentu honetan, gurpilean bloke bakar bat eskegitzen da, ondorengo irudiak erakusten duen bezala, eta soka, barneko gurpiltxotik eskegitzen zaio, baina gurpiltxoaren erradioa alda daiteke.

  • Metodoa: energiaren kontserbazioa

Energiaren kontserbazioa aplikatzeko, hasierako eta amaierako egoerak konparatu behar ditugu:

rotaci1.gif (2555 bytes)
  • m masadun blokea (gorria) amaieran beherago dago: h altuera.
  • m masadun blokeak amaieran abiadura du: v.
  • Gurpilak amaieran abiadura angeluarra du: w

Blokearen energia potentziala gutxitu egiten da: mgh. Bere energia zinetikoa ordea, hazi egiten da: mv2/2 , eta gurpilaren energia zinetikoa ere hazi egiten da: Iw 2/2.

Energiaren balantzea honela idazten da:

Blokea pausagunetik abiatu da eta, h distantzia ibili ondoren, t aldiunean v abiadura du:

Gurpilaren abiadura angeluarra, w , eta blokearen abiadura lineala (v) erlazionatuta daude. Ikus bedi  magnitude linealen eta angeluarren arteko erlazioa.

eta hemen r da gurpilaren barne-erradioa, alegia, gurpil txikiaren erradioa.

Ekuazio-multzo horrekin esperimentu osoa ebatz daiteke. Bete bedi ondoko taula eta kalkula bedi gurpilaren inertzia-momentua.

Altuera, h  
Denbora, t  
Abiadura, v  
Erradioa, r  
Abiadura angeluarra, w  
Blokearen masa,  m  
Inertzia-momentua, I  

 

  • Metodoa: dinamika

Ondorengo irudiak erakusten ditu gorputz guztiek jasaten dituzten indarrak. Grafikoan oinarrituta, gorputzen dinamikaren ekuazioak idatz daitezke:

rotaci11.gif (1572 bytes)
  • Gurpilaren errotazioaren ekuazioa:

Tr=Ia

  • Blokearen translazioaren ekuazioa:

mg-T=ma

  • Gurpilaren a  abiadura angeluarra eta blokearen a azelerazioa erlazionatuta daude:

a=ar

Esperimentuan neurtzen bada zenbat denbora tardatzen duen blokeak h altuera jaisten, a azelerazioa kalkula daiteke:

Eta bestalde, ezagutzen bada gurpilaren barne-erradioa (r) orduan, bere azelerazio angeluarra kalkula daiteke (a), eta ondoren sokaren T tentsioa eta gurpilaren I inertzia-momentua.

Altuera h  
Denbora, t  
Azelerazioa, a  
Erradioa, r  
Azelerazio angeluarra, a  
Blokearen masa, m  
Sokaren tentsioa, T  
Inertzia momentua, I  

Adibidea:

Idatz bitez, esaterako:

  • Ezkerreko blokearen masa: m1=0,
  • Eskumako blokearen masa: m2=200 g,
  • Gurpilaren barne-erradioa: r=30 cm.

Hasi botoia sakatu, blokea jaisten hasten da eta gurpila biratzen. Blokeak altuera jakin bat jaitsi duenean, neur bitez h altuera eta t denbora. Horretarako erabil bitez Pausoka eta Gelditu botoiak.

Datu horiekin kalkula bedi gurpilaren inertzia-momentua, eta ondoren, egiazta bedi emaitza hori Erantzuna botoia sakatuz, eta programa interaktiboak ematen duen emaitzarekin alderatuz.

 

Bigarren esperimentua

Orain gurpilean bloke bi eskegitzen dira, eta soka pasatzen da, gurpilaren kanpoko perimetrotik (edo gurpil txikiaren erradioa r=R).

  • Metodoa: energiaren kontserbazioa

Energiaren kontserbazioa aplikatzeko, hasierako eta amaierako egoera konparatu behar ditugu:

rotaci2.gif (2956 bytes)
  • m1 masadun blokea (urdina) amaieran gorago dago: h altuera
  • m2 masadun blokea (gorria) amaieran beherago dago: h altuera bera.
  • m1 masadun blokeak amaieran abiadura du: v.
  • m2 masadun blokeak ere amaieran abiadura bera du: v.
  • Gurpilak amaieran abiadura angeluarra du: w

Energiaren kontserbazioa honela idatz daiteke:

Esperimentuan neurtzen badira, bi blokeek ibilitako distantzia (h) eta zenbat denbora tardatzen duten (t), amaierako v abiadura kalkula daiteke. Ondoren, blokeen v abiadura eta gurpilaren w abiadura angeluarra erlazionatuz gurpilaren I inertzia-momentua kalkula daiteke.

Bete bedi ondoko taula eta kalkula bedi gurpilaren inertzia-momentua:

Altuera, h  
Denbora, t  
Abiadura, v  
Erradioa, R  
Abiadura angeluarra, w  
Ezkerreko blokearen masa, m1  
Eskumako blokearen masa, m2  
Inertzia-momentua, I  

 

  • Metodoa: Dinamika

Ondorengo irudiak erakusten ditu gorputz guztiek jasaten dituzten indarrak. Grafikoan oinarrituta, gorputzen dinamikaren ekuazioak idatz daitezke:

rotaci21.gif (2091 bytes) m2g-T2=m2a

T1-m1g=m1a

T2R-T1R=Ia

a=a R

Aurreko esperimentuan bezala, neurtzen bada zenbat denbora tardatzen duten blokeek h altuera igotzen-jaisten, a azelerazioa kalkula daiteke:

Eta bestalde, ezagutzen bada gurpilaren kanpo-erradioa (R) orduan, bere azelerazio angeluarra kalkula daiteke (a), eta ondoren sokaren T1 eta T2 tentsioak eta gurpilaren I inertzia-momentua.

Altuera, h  
Denbora, t  
Azelerazioa, a  
Erradioa, R  
Azelerazio angeluarra, a  
Ezkerreko blokearen masa, m1  
Eskumako blokearen masa, m2  
Sokaren ezkerraldeko tentsioa, T1  
Sokaren eskumako tentsioa, T2  
Inertzia-momentua, I  

Adibidea:

Idatz bedi, esaterako:

  • Ezkerreko blokearen masa, m1, 100 g
  • Eskumako blokearen masa, m2, 200 g
  • Gurpil txikiaren erradioa, R, 30 cm.

Hasi botoia sakatu, blokeak jaisten-igotzen hasten dira eta gurpila biratzen. Blokeak altuera jakin bat mugitu direnean, neur bitez h altuera eta t denbora. Horretarako erabil bitez Pausoka eta Gelditu botoiak.

Datu horiekin kalkula bedi gurpilaren inertzia-momentua, eta ondoren, egiazta bedi emaitza hori Erantzuna botoia sakatuz, eta programa interaktiboak ematen duen emaitzarekin alderatuz.

 

Hirugarren esperimentua

Oraingoan, gurpilean bloke bi eskegitzen dira, baina bietako bat gurpilaren kanpoko perimetroan eta bestea berriz, barneko gurpiltxoan.

  • Metodoa: energiaren kontserbazioa

Hasierako eta amaierako egoerak konpara ditzagun:

rotaci3.gif (3185 bytes)
  • m1 masadun blokea (urdina) amaieran beherago dago: h1 altuera
  • m2 masadun blokea (gorria) amaieran gorago dago: h2 altuera.
  • m1 masadun blokeak amaieran abiadura du: v1.
  • m2 masadun blokeak amaieran abiadura du: v2.
  • Gurpilak amaieran abiadura angeluarra du: w

 

Energiaren kontserbazio-printzipioa honela idatz daiteke:

Ekuazio horretan agertzen diren h1 eta h2 erlazionatuta daude, v1 eta v2 erlazionatuta dauden bezala, alegia, magnitude linealak eta magnitude angeluarrak orokorrean erlazionatzen diren bezala: solidoaren magnitude angeluarrak berberak dira puntu guztietan, eta magnitude linealak erradioaren proportzionalak dira:

  • v1=w  r1
  • v2=w  r2
  • h1=q  r1
  • h2=q  r2

w da, gurpilaren abiadura angeluarra eta q da, gurpilak biratu duen angelu totala t denboran.

Neurtzen bada zenbat denbora tardatzen duten blokeek h1 edo h2 altuera jaisten, eta ezagunak badira gurpilaren barne- eta kanpo-erradioak, r1 eta r2 , kalkula daiteke I inertzia-momentua, aurreko esperimentuetan egin den antzera.

Bete bedi ondoko taula eta kalkula bedi gurpilaren I inertzia-momentua.

Altuera, h1  
Erradioa, r1  
Erradioa, r2  
Altuera h2  
Denbora, t  
Abiadura, v1  
Abiadura angeluarra, w  
Abiadura, v2  
Ezkerreko blokearen masa, m1  
Eskumako blokearen masa, m2  
Inertzia-momentua, I  

 

  • Metodoa: dinamika

Ondorengo irudiak erakusten ditu gorputz guztiek jasaten dituzten indarrak. Grafikoan oinarrituta, gorputzen dinamikaren ekuazioak idatz daitezke.

Hasteko, biraketaren noranzkoa erabakiko dugu. Ez da nahikoa m1 eta m2 masak konparatzea, oraingoan, pisu horiek erradio ezberdinetan aplikatzen zaizkiolako poleari: r1 eta r2. Pisuen momentuak konparatu behar dira: m1gr1>m2gr2, baldin bada, orduan gurpilak ezkerrerantz biratuko du (irudiak erakusten duena). Aldiz, m1gr1<m2gr2 baldin bada, orduan gurpilak eskumarantz biratuko du.

rotaci31.gif (2061 bytes) m1g-T1=m1a1

T2-m2g=m2a2

T1r1-T2r2=Ia

a1=a r1
a2=a r2

Aurreko esperimentuetan bezala, neurtzen bada zenbat denbora tardatzen duen ezkerreko blokeak h1 altuera jaisten, a1 azelerazioa kalkula daiteke. Eta ondoren, ezagunak badira gurpilaren r1 eta r2 erradioak, kalkula daitezke a eta a2. Ondoren T1, T2 eta azkenik I inertzia-momentua.

Bete bedi ondoko taula eta kalkula bedi gurpilaren I inertzia-momentua.

Altuera, h1  
Altuera, h2  
Denbora, t  
Azelerazioa, a1  
Erradioa, r1  
Erradioa, r2  
Azelerazio angeluarra, a  
Azelerazioa, a2  
Ezkerreko blokearen masa, m1  
Eskumako blokearen masa, m2  
Ezkerraldeko sokaren tentsioa, T1  
Eskumako sokaren tentsioa: T2  
Inertzia-momentua I  

Adibidea:

Idatz bedi, esaterako:

  • Ezkerreko blokearen masa, m1, 150 g
  • Eskumako blokearen masa, m2, 200 g.
  • Barneko erradioa, r2 , 20 cm

Norantz biratuko du?

Hasi botoia sakatu, blokeak jaisten-igotzen hasten dira eta gurpila biratzen. Blokeak altuera jakin bat mugitu direnean, neur bitez h altuera eta t denbora. Horretarako erabil bitez Pausoka eta Gelditu botoiak.

Datu horiekin kalkula bedi gurpilaren inertzia-momentua, eta ondoren, egiazta bedi emaitza hori Erantzuna botoia sakatuz, eta programa interaktiboak ematen duen emaitzarekin alderatuz.

 

Saiakuntza

Ondorengo Applet honetan sar bitez hiru esperimentuen datuak, kalkula bedi gurpilaren inertzia-momentua kasu bakoitzean, orri honetan azaldu den bezala, eta egiazta bedi lortutako emaitza eta programak ematen duena berdinak direla.

Applet-ak gainera, barra-diagrama batean adierazten du energiaren balantzea. Ezkerreko barran energia zinetikoa, baina:

  • Zati grisa, gurpilaren errotaziozko energia zinetikoa.
  • Zati gorria, bloke gorriaren energia zinetikoa.
  • Zati urdina, bloke urdinaren energia zinetikoa.

Eta eskuman energia potentziala: urdinez bloke urdinarena eta gorriz bloke gorriarena. Energia potentzialaren jatorria (h=0) hasierako posizioan hartu da: hortik behera energia potentziala negatiboa da eta hortik gora positiboa.

stokesApplet aparecer en un explorador compatible con JDK 1.1.