Solido zurruna

Errotazioaren
Dinamika

Errotazioaren
dinamikaren ekuazioa

Inertzia-momentuak

Errotazioaren dinamika
eta energiaren balantzea

Tortsio-pendulua

Pendulu konposatua

Zabua

Marruskadura,
errotazio-mugimenduan

Atwood-en osziladorea

Hagatxoa erortzen
mutur finko batekin

Hagatxoa erortzen,
marruskadurarik gabe

Hagatxoa erortzen,
marruskadura eta guzti

Eskailera irristatzen
abiadura konstanteaz

Eskailera: estatika
eta dinamika

Marruskadura-indarraren momentua

Energiaren balantzea

Saiakuntza

Erreferentzia

Demagun disko bat mahai baten gainean etzanda dagoela eta ardatz bertikal eta finko batean bira dezakeela, irudiak erakusten duen bezala. Diskoa ez da desplazatzen mahaian zehar baina, biratzen duenez, mahaia igurtzi egiten du. Diskoaren masa M da eta erradioa R eta hari bat du bere inguruan. Hari hori, gero polea batean zehar pasatzen da eta beste muturrean bloke bat dauka eskegita, hurrengo irudiak erakusten duen bezala. Blokearen masa m da eta polearen eta hariaren masak arbuiagarriak dira. Blokea bertikalki jaisten den heinean haritik tiratu egiten du eta diskoa birarazi, bere ardatz finkoaren inguruan. Kalkula dezagun zein azelerazio duen blokeak (a), diskoaren eta mahaiaren arteko marruskadura-koefizientea ezaguna bada (μ).

Honako orri honetan ikertuko dugu soilik nola eragiten dion marruskadurak diskoaren errotazioari, eta ondorengo orri batean sakonago ikertuko dugu nola eragiten dion marruskadurak diskoaren errotazio eta translazioari diskoak mahaiaren gainean biratu eta  desplazatu ere egiten denean.

Higiduraren ekuazioa

Blokeak bi indar jasaten ditu:

• Pisua, mg

• Hariak eragiten dion tentsioa, T

Blokearen azelerazioari a deitzen badiogu, orduan, blokearen higiduraren ekuazioa hau da:

mg -T=ma

Aplika diezaiogun orain, errotazioaren dinamika diskoari. Diskoak hiru indar jasaten ditu:

• Pisua, baina eragiten duen momentua zentroarekiko nulua da: M_p =0 (ez du errotaziorik eragiten).

• Hariaren tentsioa, eta eragiten duen momentua zentroarekiko: M_T=T·R

• Marruskadura-indarra, diskoaren gainazal osoan aplikatzen da, errotazioari oztopo egiten dio, eta eragiten duen momentua zentroarekiko (M_r) ez da nulua,  baina geroago kalkulatuko dugu.

Diskoaren azelerazio angeluarrari α deitzen badiogu honela idatz daiteke higiduraren ekuazioa:

T·R -M_r=I α

Disko baten inertzia-momentua, zentrotik pasatzen den ardatz perpendikularrarekiko: MR²/2

Ohar bedi, indarren momentuak adierazteko beti azpiindizea erabili dugula (M_p ,M_T ,M_r) eta diskoaren M masa adierazteko berriz ez.

Blokearen azelerazioa eta diskoaren azelerazio angeluarra erlazionatuta daude, blokeak duen azelerazioa eta diskoaren ertzeko edozein puntuk duen azelerazioa berdinak direlako: a= α·R

Higidura-ekuazio bien artean hariaren T tentsioa eliminatuz, blokearen a azelerazioa bakan daiteke:

Marruskadura-indarraren momentua

Bloke batek gainazal horizontal baten gainean irristatzen duenean, marruskadura-indarrak desplazamenduaren aurkako noranzkoa du eta modulua da, Fr= μ·N. Hemen N da, bi gainazalen arteko kontaktu-indarra eta kasu honetan blokearen pisua da.

Gure diskoaren kasuan ere, N erantzun normala eta diskoaren pisua berdinak dira, baina diskoaren gainazal osoan sakabanatuta dago eta diskoak ω abiadura angeluar konstanteaz biratzen du. Har dezagun diskoaren elementu bat zentrotik x distantziara: elementu hori eraztuna da (irudian kolore ilunagoa duena). Elementu horren abiadura ω·x da, (erlojuaren orratzen aurka biratzen ari da) eta erradioaren perpendikularra da, alegia, eraztunarekiko tangentea (irudian bektore gorria). Beraz, marruskadura-indarra ere eraztunarekiko tangentea izango da, baina abiaduraren aurkakoa (irudian bektore urdina).

Eraztun horren alde ezberdinetan elementu txikiagoak hartzen baditugu (irudian urdin argiak), ikusten da marruskadura-indarraren momentua berdina dela elementu guztietan, alegia, norabide eta noranzko bera dutela (beti mugimenduaren aurkakoa). Beraz, eraztun osoak jasaten duen marruskadura-indarraren momentua honela adieraz daiteke:  dMr= μ· dN ·x Eta hemen dN da, eraztunaren pisua, baina x erradioa eta dx lodiera baditu:

Disko osoari marruskadurak eragiten dion momentu totala kalkulatzeko, eraztun guztiei eragiten dien momentuak batu behar dira:

Hori da marruskadurak disko osoari eragiten dion momentua.

Balio hori (M_r) ordezkatzen bada blokearen a azelerazioaren ekuazioan:

Beraz, blokeak h altuera jaitsi duenean eta pausagunetik abiatzen bada, honako abiadura izango du:

Energiaren balantzea

Blokea jaitsi egiten da, h altuera, eta v abiadura atzematen du. Bestalde diskoak abiadura angeluarraz biratzen du: v=ω·R.

Marruskadurarik ez balego, blokeak goian daukan energia potentziala (mgh) energia zinetiko bilakatuko litzateke osorik: blokearen translazioaren energia zinetikoa (mv²/2) eta diskoaren errotazioaren energia zinetikoa (Iω²/2).

Baina marruskaduraren eraginez, energia potentzialaren zati bat energia zinetiko bilakatzen da, baina beste zatia marruskaduraren lanak barreiatzen du. Errotazioan egindako lana honela adieraz daiteke: Momentua (M_r) bider diskoak biratutako angelua (θ=h/R):

W= -M_r·θ

Energiaren balantze osoa honela adieraz daiteke:

Eta hortik blokearen abiadura bakan daiteke:

Adibidea

• Diskoaren masa, M=1.0 kg

• Blokearen masa, m=0.25 kg

• Marruskadura-koefizientea, μ=0.3

Blokearen azelerazioa honakoa ateratzen da:

Eta blokeak jaitsi duenean, h=1 m, pausagunetik abiatuta, honako abiadura atzematen du:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Diskoaren masa, M, dagokion kontrolean idatziz (kilogramotan).

• Blokearen masa, m, dagokion kontrolean idatziz (kilogramotan).

• Marruskadura-koefizientea, dagokion kontrolean idatziz.

• Diskoaren erradioa finkotzat hartzen da: R=0.25 m

Hasi botoia sakatu.

Honako baldintza betetzen bada, 6m>4μM, orduan blokearen azelerazioa positiboa da: a>0. Kasu horretan blokea beherantz mugitzen da, bestela es da mugitzen. Leihatilaren goiko eta ezkerreko aldean idatziz erakusten dira uneoro: denbora, t, blokearen x posizioa eta v abiadura.

Leihatilaren erdiko tarta-diagrama batek energiaren balantzea erakusten du:

• Blokearen energia potentziala, urdinez.

• Blokearen energia zinetikoa, gorriz.

• Diskoaren energia zinetikoa, arrosaz.

• Marruskadurak egindako lana, grisez.