Solido zurruna

Errotazioaren
Dinamika

Errotazioaren
dinamikaren ekuazioa

Inertzia-momentuak

Errotazioaren dinamika
eta energiaren balantzea

Tortsio-pendulua

Pendulu konposatua

Zabua

Marruskadura,
errotazio mugimenduan

Atwood-en osziladorea

Hagatxoa erortzen,
mutur finko batekin

Hagatxoa erortzen,
marruskadurarik gabe

Hagatxoa erortzen,
marruskadura eta guzti

Eskailera irristatzen
abiadura konstanteaz

Eskailera: estatika
eta dinamika

Higiduraren ekuazioa

Saiakuntza

Erreferentzia

Kapitulu honetan sistema biratzaile eta oszilatzaile bat ikertzen da. Biratzailea disko bat da (m_d masa eta R erradioa), eta bira egin dezake bere zentrotik pasatzen den eta perpendikularra den ardatz finkoarekiko, polea batek bezala. Ondoren, diskoari partikula bat itsasten zaio, m masaduna, bere zentrotik r distantziara. Multzoa orekatzeko, hari batekin, bloke bat eskegitzen da, M masaduna, ondoko irudiak erakusten duen bezala:

Oreka eta egonkortasuna

Oreka lortzeko, polearen zentroarekiko, blokeak eragiten duen momentua eta partikula itsatsiak eragiten duena berdinak eta aurkakoak izan behar dira. Baldintza hori, posizio batean soilik betetzen da, izan ere, poleak θ_e angelua osatzen duenean bertikalarekiko, eta honela kalkula daiteke:

MgR = mgr·sinθe

Oreka-posizioa existitzen da honako baldintza betetzen bada: MR≤mr

bestela, MR>mr bada, ezinezkoa da.

Eta oreka-posizioan blokeak honako altuera du hasierako posizioarekiko: h_e=R·θ_e

Azter dezagun oreka-posizioa energiaren ikuspegitik

Demagun, oreka-posizioan, m masadun partikula desplazatu dela θ angelua eta beraz, M masadun blokea jaitsi dela hasierako posizioarekiko h=R·θ altuera (ikusi aurreko irudia). Idatz dezagun multzoaren energia potentziala:

E_p(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ.

E_p(θ) funtzio horren mugak kalkula ditzagun, θ angeluarekiko deribatuz eta nulua izan behar dela inposatuz:

Angelu posible bi lortzen dira: θ_e eta π-θ_e.

Egiazta dezagun lehenengo angelu hori minimo bat dela eta bigarrena aldiz, maximoa. Energia potentzialaren bigarren deribatua kalkulatzen da:

Kosinua positiboa da 0 eta 90º artean (θ_e , minimoa) eta aldiz, negatiboa da 90º eta 180º artean (π-θ_e , maximoa).

Irudiak erakusten du E_p(θ) funtzioa, eta bertan ikusten da minimo bat θ_e=41º posizioan eta maximo bat 180- θ_e=139º posizioan.

●   mr=MR baldintza betetzen denean, maximoa eta minimoa, biak, posizio bera dira, θ=90º, eta kasu horretan, justu inflexio-puntua da.

●   MR>mr denean, E_p(θ) funtzioak ez dauka ez maximo ezta minimorik ere, funtzio beherakorra da tarte osoan.

Higiduraren ekuazioa

Alboko irudiak erakusten ditu gorputz guztiek jasaten dituzten indarrak. Diskoaren azelerazio angeluarrari α deitzen badiogu, orduan, blokearen a azelerazioa honela kalkulatzen da: a=α·R. Blokearen higidura-ekuazioa: Mg -T=Ma Diskoaren eta partikularen higidura-ekuazioa: Iα =T·R-mgr·sinθ

Polearen inertzia-momentu totala lortzen da diskoaren inertzia-momentua eta itsatsitako partikularen inertzia-momentuak batuz:

Higidura-ekuazio bietatik T tentsioa eliminatuz, eta ekuazio diferentzial gisa berridazten bada:

Ekuazio diferentzial hori prozedura numerikoez ebatzi behar da, eta honako hasierako baldintzak ezarri: t=0, θ=0, dθ/dt=0.

Oszilazioak, oreka-posizio egonkorraren inguruan

Azter dezagun ekuazio diferentzial hori, baina θ_e oreka-posiziotik hurbil dagoenean. horretarako, ordezka dezagun ekuazio diferentzialean θ=θ_e+φ,

Baturaren sinua garatuz eta ondoren, honako hurbilketa egiten bada: sinφ≈φ, cosφ≈1

Eta azken hori justu Higidura harmoniko sinplearen ekuazio diferentziala da, eta bertatik deduzi daiteke maiztasun angeluarra:

Adibidea:

• Diskoaren masa, m_d=1 kg

• Itsatsitako partikularen masa, m=0.3 kg

• Eskegita dagoen blokearen masa, M=0.1 kg

• Diskoaren erradioa, R=1 m

• Diskoaren zentrotik partikularaino dagoen distantzia, r=0.5 m

Angelu maximo eta minimoak:

Energia potentzialaren funtzioak minimo bat du θ_e posizioan eta maximo bat 180-θ_e=138.2º posizioan.

Oreka-posizio egonkorraren inguruan (θ_e=41.8º) oszilazio txikiak gertatzen badira, orduan oszilazio txikien periodoa hau izango da:

Ondorengo simulazioan, multzoa pausagunetik abiatzen da θ=0 posiziotik. Hasierako energia totala zero da.

Eta esaterako, θ=60º=π/3 posiziora iristen denean, multzoaren energia potentziala hau da.

E_p=0.3·9.8·0.5(1-cos(π/3))-0.1·9.8·1.0·(π/3)= -0.29 J

Multzoaren energia zinetikoa da, diskoaren errotazioari dagokiona (itsatsitako partikula barne), gehi blokearen translazioari dagokiona. Blokearen abiadura eta diskoarena erlazionatuta daude: v= ω·R

Eta energiaren kontserbazioa aplikatzen bada:

E_k+E_p=0,

0.3375ω²-0.29=0, ω=0.93 rad/s

Energia potentziala berriz ere baliogabetzen da honako posizioan:

E_p(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ = 0.

Ekuazio hori transzendentea da, eta θ angelua kalkulatzeko prozedura numerikoak behar dira:

mr(1-cosθ)-MR·θ=0
1.5(1-cosθ)-θ=0

Emaitza da, θ=1.71 rad=98.2º, lehen grafikoak erakusten duen bezala.

Ekuazio transzendenteak ebazteko hainbat prozedura numeriko daude, esaterako, erdiko puntuarena. Prozedura hori "Tiro parabolikoaren bestelako maximo batzuk" orrian erabiltzen da eta kodea ematen da Java hizkuntzan.

Saiakuntza

Berria botoiari sakatu.

• Diskoan itsatsita dagoen partikula gorria, m masaduna, gora eta behera eraman daiteke saguaz. Horrela finkatzen da zentrotik partikulara dagoen r distantzia.

Idatziz aukera daitezke:

• Ezkerreko masa, diskoan itsatsita dagoen partikularen m masa.

• Eskumako masa, haritik eskegita dagoen blokearen M masa.

• Diskoaren erradioa finkotzat hartu da: R=1 m.

• Eta diskoaren masa ere finkotzat hartu da: m_d=1 kg

Hasi botoia sakatu.

Leihatilaren eskumako aldean polea ikusten da, partikula gorria itsatsita duela eta eskumako aldetik blokea zintzilik. Sistema mugitzen hasten da, eta oszilatu egiten du, MR<mr kasuan, eta bestela ez dauka oreka egonkorreko posiziorik eta etengabe erori egiten da. Aukeratutako datuekin, programak energia potentzialaren grafikoa irudikatzen du, E_p(θ), leihatilaren ezkerraldean eta, MR<mr baldin bada, orduan grafikoak maximoa eta minimoa ditu.

Datuak aldatu eta berriak saiatzeko Berria botoiari berriro sakatu.