Solido zurruna

Errotazioaren
Dinamika

Errotazioaren
dinamikaren ekuazioa

Inertzia-momentuak

Errotazioaren dinamika
eta energiaren balantzea

Tortsio-pendulua

Pendulu konposatua

Zabua

Marruskadura,
errotazio mugimenduan

Atwood-en osziladorea

Hagatxoa erortzen,
mutur finko batekin

Hagatxoa erortzen,
marruskadurarik gabe

Hagatxoa erortzen,
marruskadura eta guzti

Eskailera irristatzen
abiadura konstanteaz

Eskailera: estatika
eta dinamika

Energiaren balantzea

Saiakuntza

Erreferentzia

Errotazioaren dinamikaren ekuazioak baditu zenbait xehetasun eta, ongi aplikatzen ez badira, emaitza okerrak eman ditzake. Esaterako, aplika dezagun hagatxo baten erorketa aztertzeko:

Hemen, L, hagatxoaren momentu angeluarra da, eta M, hagatxoak jasaten dituen indar guztien momentu erresultantea, baina biak hartu behar dira O puntu berarekiko. Adibidez, O puntutzat hartzen bada hagatxoak zorua ukitzen duen puntua, orduan ekuazioa ez da zuzena, O puntua ez dagoelako geldi erreferentzia sistema inertzial batean, hau da, O puntuak azelerazioa duelako.

Kasu horretan, honela idatzi behar dugu errotazioaren dinamikaren ekuazioa:

Ekuazio hori zuzena da beti, baita ere masa zentroa ez badago geldi erreferentzia sistema inertzial batean, hau da, masa-zentroak azelerazioa badu ere.

Higiduraren ekuazioa

Hagatxoak bi indar jasaten ditu: Pisua, mg, masa zentroan aplikatzen da. Zoruaren erreakzioa, N , kontaktu-puntuan aplikatzen da. Hagatxoaren eta zoruaren artean ez dago marruskadurarik, eta beraz, indar horizontalik ez dagoenez, masa-zentroa bertikalki mugituko da soilik.

Masa-zentroaren posizioa honela adieraz daiteke:

y=(L/2)cosθ 

Eta masa-zentroaren abiadura:

Masa-zentroaren higidura-ekuazioa:

Ekuazio hori berridatz daiteke θ angeluaren menpe:

    (1)

Hagatxoaren errotazioaren ekuazioa, masa-zentroaren inguruan:

      (2)

Hemen, I_c=mL²/12 , hagatxo baten inertzia-momentua da, m masaduna eta L luzeraduna, hagatxoaren perpendikularra den eta masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko.

(1) eta (2) ekuazioetatik, zoruaren N erreakzioa elimina daiteke eta honako ekuazio diferentziala lortzen da:

Ekuazio horrek koefiziente aldakorrak ditu, beraz, prozedura numerikoez ebatzi behar da, eta honako hasierako baldintzak ezarri: t=0, θ= θ₀, dθ/dt=0.

Angelua ebatzi ondoren, θ (t), orduan, masa-zentroaren altuera ere kalkula daiteke: y=(L/2)cosθ.

Hurbilketa

Hagatxoa ia bertikal dagoenean, alegia θ angelua txikia denean, eta dθ/dt abiadura ere txikia denean, ekuazio diferentziala modu sinplean adieraz daiteke:

Eta ekuazio diferentzial horren soluzioa honelakoa da:

A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik kalkulatzen dira: t=0, θ= θ₀, dθ/dt=0.

θ=θ₀·cosh(k·t)

kt handia bada, orduan, kosinu hiperbolikoa modu hurbilduan adieraz daiteke: cosh(kt)≈exp(kt)/2, eta hortik t denbora bakan daiteke:

Esaterako, L=1 m, θ₀=0.0001 rad eta θ=0.1 rad, orduan denbora t=0.99 s.

Energiaren balantzea

Hagatxoaren energia zinetikoa da, bi energia zinetikoen batura: batetik, masa-zentroak duen translaziozko energia zinetikoa eta bestetik, hagatxoaren errotazioaren energia zinetikoa masa-zentroaren inguruan.

Eta hagatxoaren energia potentziala, bere masa-zentroak daukana da:

E_p=mgy=mg(L/2)cosθ

Energia-mota bien batura energia totala da, eta izan ere, energia totala hagatxoaren hasierako energia potentzialaren berdina izan behar da, hasieran, energia zinetikorik ez daukalako:

Ekuazio hori denborarekiko deriba daiteke:

hortik bakan daiteke d²θ/dt², eta lortzen da higiduraren ekuazioa, koefiziente aldakorrak dituena.

Amaierako posizioan, θ=π/2, masa-zentroaren energia potentziala nulua da, eta energia zinetikoak bi zati ditu:

• Errotaziozko energia zinetikoa: energia zinetiko osoaren laurden bat ateratzen da.

• Masa-zentroaren translaziozko energia zinetikoa: energia zinetiko osoaren hiru laurden ateratzen da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Hasieran hagatxoak osatzen duen angelua bertikalarekiko, θ₀ , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Hagatxoaren masa finkotzat hartu da: m=1 kg

• Habearen luzera finkotzat hartu da: L=1 m

Hasi botoia sakatu.

Hagatxoa erortzen ikusten da eta programak uneoro ematen ditu idatziz honako datuak: denbora, hagatxoaren angelua (norabide bertikalarekiko) eta masa-zentroaren altuera.

Leihatilaren eskumako aldean, tarta-itxurako diagrama batek erakusten du nola doazen aldatzen energia-mota guztiak denboran zehar:

• Energia potentziala, urdinez.

• Errotazioaren energia zinetikoa, arrosaz.

• Translazioaren energia zinetikoa, gorriz.