Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Zikloidearen gainetik irristatzen

Saiakuntza

Brakistrokronoa

Zikloidea, historian zehar, oso eztabaidatsua eta ezaguna izan zen, partikula batek A puntu finko batetik beste B puntu finko batera denbora minimoan desplazatzeko zein ibilbide mota jarraitu behar ote duen erabakitzeko. Biderik laburrena, jakina, bi puntuak lotzen dituen lerro zuzena da, baina denbora minimoa tardatzeko ez da distantzia soilik kontuan hartu behar, partikularen abiadurak ere badu garrantzia.

Galileoren ustetan ibilbide hori zirkunferentzia-arku bat izan behar zen, baina Bernouilli anaiek XVIII mendearen hasieran frogatu zuten ibilbide horrek zikloide baten arkua izan behar zuela. Une horretan zikloideari brakistokrono izena eman zioten (grezierako kronos eta brakisto, denbora eta minimoa).

Bernouillitarren demostrazioek, zenbait urte beranduago, Matematikaren adar berri bat sortu zuten, izan ere, Bariazio-Kalkulua (Euler-ek eta geroago Lagrangek Bariazio-kalkuluen oinarrizko ekuazioak formulatu zituzten). Kalkulu mota horrek magnitude bat maximo edo minimo izatea lortzen duten funtzioak kalkulatzen ditu.

Orri honetan partikula baten higidura aztertuko dugu O puntutik (jatorritik) P puntu finkoraino, baina bi ibilbide ezberdin jarraituz:

• Ibilbide zuzena

• Zikloide formako ibilbidea

Azkeneko atalean zikloidearen ekuazioaren dedukzioa azaltzen da. Solido zurrunaren ikasgaian, ikusten da gurpil batek irristatu gabe errodatzen duenean, gurpilaren ertzean kokatutako puntu baten ibilbidea zikloidea dela.

Bide zuzenetik irristatzen

Demagun koordenatuen jatorria (0,0) eta P puntua (xp, yp) lotzen dituen ibilbide zuzena: Irudiak erakusten du partikulak jasaten dituen indarrak bi direla: Pisua, mg Zoruaren erreakzioa, N

Partikulak jasaten duen indar totala hau da: mg·sin|θ|. Beraz azelerazioa konstantea da eta higiduraren ekuazioak honakoak:

v= g·sin|θ|·t

Hortaz, partikularen posizioa (x, y):

x=s·cosθ,  y=s·sinθ

Eta, jatorrian pausagunetik abiatzen bada, hona hemen P punturaino iristeko tardatzen duen denbora:

Zikloidearen gainetik irristatzen

Irudian zikloidea erakusten da, hona hemen bere ekuazioa:

x=R(φ-sinφ)
y= -R(1-cosφ)

Zikloidea P puntutik pasatzen bada: P (x_p, y_p)

x_p=R(φ-sinφ)
y_p= -R(1-cosφ)

Ekuazio biak zatituz, ekuazio transzendente bat lortzen da, φ-ren menpekoa eta prozedura numerikoez ebatz daitekeena:

              (1)

φ-ren balioa lortu ondoren, R-ere kalkula daiteke ekuazio bietatik edozeinetan.

Zikloidearen ezaugarriak

Zikloidea simetrikoa da, beraz Y' ardatza simetria-ardatzean kokatuko dugu, eta zikloidearen punturik baxuena koordenatuen jatorrian, goiko irudiak erakusten duen bezalaxe. Zikloidearen ekuazioa ardatz horietan adierazita hau da:

x’=R(2φ+sin(2φ))
y’=R(1-cos(2φ))

Hemen R eta φ parametro konstante bi dira

Zikloidearen malda x' posizioan hau da:

φ parametroak badu esangura geometrikoa: hain zuzen, zikloidearekiko tangentea den zuzenaren θ malda.

Kalkula dezagun orain jatorritik puntu finko bateraino (x’, y’) doan arkuaren s luzera:

Zikloide erdiaren luzera, alegia jatorritik mutur bateraino doan arkuaren luzera hau da: [(0, 0)-tik (πR, 2R)-raino]

Higiduraren ekuazioa

Partikulak indar bi jasaten ditu: pisua, mg, eta zoruaren erreakzioa, N. Beraz, higidura-ekuazioa norabide tangentzialean hau da:

Partikulak Higidura Harmoniko Sinplea (HHS) jarraituko du, ω maiztasun angeluarraz eta P periodoaz:

Partikula ezkerreko muturretik abiatzen bada, (-πR, 2R), t=0 aldiunean eta pausagunetik, orduan higiduraren ekuazioa hau da:

s= -4R·cos(ωt)

Hemen s partikulak ibilitako distantzia da zikloide-formako kurbaren gainean. Hortaz, partikularen abiadura hau da:

Eta partikularen posizioaren koordenatuak, x’ eta y’, kalkulatzeko honako prozedura jarraitu behar da:

Arkuaren s luzera ezaguna bada, zuzen tangentearen θ malda kalkulatzen da. θ angelua ezagutuz zikloidearen ekuazioekin x’ eta y’ kalkula daitezke:

Gainera, ardatzak zikloidearen ezker-muturrera transladatzen baditugu:

x=πR+x'=πR+R(2θ+sin(2θ))=R(2θ+π+sin(2θ))
y= -2R+y'= -R(1+cos(2θ))

Eta parametroa aldatzen bada, 2θ+π=φ , berriro lortzen ditugu zikloidearen ekuazioak X eta Y ardatzetan idatzita.

x=R(φ-sinφ)
y= -R(1-cosφ)

Energiaren balantzea

• Partikula ibilbide zuzenean mugitzen bada:

Hasieran pausagunetik abiatzen da koordenatuen jatorritik; bere energia totala nulua da: E=0.

Geroago, jatorriaren azpitik y altueran dagoenean, partikularen energia hau da:

Energia zinetikoaren eta potentzialaren batura hasierako energia totalaren berdina da: E_p+E_k=0

• Partikula zikloide formako ibilbidean mugitzen bada:

Hasieran pausagunetik abiatzen da koordenatuen jatorritik; bere energia totala nulua da: E=0.

Geroago, jatorriaren azpitik y altueran dagoenean, partikularen energia hau da:

 

Energia zinetikoaren eta potentzialaren batura hasierako energia totalaren berdina da: E_p+E_k=0

Adibidea:

Har ditzagun koordenatuen jatorria, (0,0), eta puntu hau: (9.0, -4.5). Ondoren, kontsidera ditzagun puntu bi horiek lotzen dituzten zuzena eta zikloidea. Kalkula bedi partikularen posizioa t=1.5 aldiunean, ibilbide ezberdin bietan:

Zikloidearen R parametroa kalkulatzeko ekuazio transzendentea (1) ebatzi behar da, esaterako prozedura numerikoez, eta hona hemen emaitza: R=2.323 m.

Partikularen mugimendua ibilbide zuzenean behera hau da: (zuzenaren malda θ da)

Partikula zikloidearen gainean mugitzen denean Higidura Harmoniko Sinplea deskribatzen du: bere maiztasun angeluarra: ω²=g/(4R), ω=1.03 s^-1

Beraz, partikularen s desplazamendua t=1.5 aldiunean:

s= -4·2.323·cos(1.03·1.5)= -0.28 m, baina emaitza hori X’, Y’ ardatzekiko adierazita dago, eta ardatz horien jatorria zikloidearen puntu baxuenean kokatuta dago.

Desplazamendu horri dagokion θ parametroaren balioak baldintza hau betetzen du: sinθ=s/(4R)

θ= -0.03 rad

Kalkula ditzagun lehenik x’ eta y’ koordenatuak eta ondoren ardatzak trasladatuz, partikularen (x, y) posizioa kalkula daiteke:

x=π·2.323+2.323(2θ+sin(2θ))=7.02 m
y= -2·2.323+2.323(1-cos(2θ))= -4.64 m

Saiakuntza

Berria botoia sakatu.

• Zikloidearen eta zuzenaren arteko ebakidura adierazten duen puntu beltza saguarekin mugitzen da eta nahi den tokian kokatzen da.

Hasi botoia sakatu.

Ebakidura puntua aukeratu ondoren (x_p, y_p), programak zikloidearen R parametroa kalkulatzen du eta azpialdeko ezkerraldean erakusten du.

Partikula bi mugitzen ikusten dira: partikula urdina ibilbide zuzenean eta partikula gorria zikloide formako ibilbidean. Gorriak beti aurreratzen du urdina, eta ebakidura puntura lehenago iristen da.

Edozein unetan animazioa geldi daiteke Gelditu botoia sakatuz, edo interesatzen zaigun unera apurka-apurka hurbil gaitezke Pausoka botoia sakatuz.

Brakistrokronoa

Demagun gorputz batek irrist egiten duela marruskadurarik gabe irudiak erakusten duen formako txirrista batean behera. Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz, gorputzaren v abiadura kalkula daiteke y altuera jaitsi denean:

Partikulak ds arku infinitesimala aurreratzeko tardatzen duen denbora hau da:

Txirristaren forma kalkulatu behar dugu, eta lortu nahi dugun baldintza da, partikulak A-tik B-raino tardatzen duen denbora totala minimoa izatea. Beraz, ondoko integrala minimoa izan behar da:

Baina kontuan har daiteke: ds²=dx²+dy²,  eta integral hori berridatz daiteke x eta y-ren menpe eta euren deribatuen menpe:

Euler-en prozedura erabiliz, eta kontuan hartuz integrakizuna ez dela x-ren menpekoa, soluzioa hau da:

Eta ekuazio hori y-rekiko integra daiteke:

Integral hori ebazteko ordezkapen bat egin behar da:

Eta hona hemen emaitza:

Azken ekuazio biak hain zuzen, zikloide baten ekuazio parametrikoak dira.

Erreferentzia

Puig Adam P., Ecuaciones diferenciales aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática, (1970), orriak: 324-325.