Solido zurruna

Eraso-bola nola mugitzen den talkaren ondoren

Nola mugitzen den talkaren ondoren, hasieran geldi zegoen bola

Bi bolen abiadura finalak konstante bilakatzen dira

Saiakuntza

Erreferentzia

Billar-bolek mahai horizontalean talka egiten dutenean, justu talkaren ondoren, abiadurek 90º osatzen dute. Baina talkaren ondoren, orokorrean, irristatu egiten dute. Horren ondorioz, marruskadura indarrak bolen abiadurak alda ditzake eta baita norabideak ere, irristatzea bukatzen den arte. Bolen kontaktu-puntuaren abiadura nulu izatera iristen denean, ez irristatzearen baldintza betetzen hasten da (errodatzea) eta aurrerantzean bolek higidura zuzen eta uniformeaz segitzen dute abiadura konstanteez, baina dagoeneko bolen abiadurek ez dute osatzen 90º.

Billar-bola bat (gorria) errodatzen ari da mahai horizontalean, irristatu gabe, u₁ abiaduraz eta beste billar-bola batekin (urdinarekin) talka egiten du. Bigarren bolak masa eta erradio bera ditu eta geldi dago. Kalkula ditzagun:

1.  Bi bolen abiadurak eta norabideak justu talkaren ondoren.
2.  Talkaren ondoren, bolek tapizean irristatzen dutenez, nolako higidura izango duten biek.
3.  Bolek irristatzeari uzten diotenean, eta jadanik abiadura konstanteak atzematen dutenean, bi abiadurak eta norabideak.

Talka, bi dimentsiotan

Bola biek masa bera (m) eta erradio bera dute (R). Demagun bien arteko talka erabat elastikoa dela, e=1. Arbuia dezagun bola bien arteko marruskadura-indarra, talkak irauten duen denbora-tarte txikitxoan. Justu talkaren ondoren bi bolen masa-zentroek honako abiadurak izango dituzte, talka elastikoetan kalkulatu genuen bezalaxe:

v₁=u₁·sinθ
v₂=u₁·cosθ

b=2R·sinθ      (b-ri talka-parametro deritzo).

Ondorengo irudiak erakusten ditu bi bolen masa-zentroen abiadurak eta abiadura angeluarrak talka baino lehen eta justu talkaren ondoren. Talka baino lehen, eraso-bolak irristatu gabe errodatzen du, beraz, bere masa-zentroaren abiadurak (u₁) eta abiadura angeluarrak (ω₁), bektoreek, 90º osatzen dute, eta moduluak erlazionatuta daude: ω₁=u₁/R.

Talkaren ondoren, lehen bolaren errotaziozko abiadura angeluarra ez da aldatzen baina bai bere masa-zentroaren abiadura (moduluz eta norabidez). Orduan v₁ eta ω₁ bektoreek ez dute 90º osatzen, eta gainera euren moduluak ez daude erlazionatuta: ω₁≠v₁/R.

Bigarren bolari dagokionean, hasieran geldi dago, baina talkaren ondoren bere masa-zentroak v₂ abiadura atzematen du, X ardatzarekiko θ angelua osatzen du baina ez du abiadura angeluarrik, eta beraz ez da betetzen irristatu gabe errodatzearen baldintza: ω₂≠v₂/R.

Eraso-bola nola mugitzen den talkaren ondoren

Eraso-bolak talka baino lehen u₁ abiadura du (X ardatzaren norabidean) eta irristatu gabe errodatzen du, beraz u₁/R abiadura angeluarra du (Y ardatzaren norabidean).

ω_1y=u₁/R,
ω_1x=0

Justu talkaren ondoren, lehen bolaren abiadura hau da: V₀=u₁·sinθ, eta bere norabideak X ardatzarekiko 90-θ angelua osatzen du. Bere abiadura angeluarra ez da talkaren eraginez aldatzen (bolen arteko marruskadura-indarra arbuiagarria bada). Beraz, masa-zentroaren abiaduraren osagaiak:

V_0x= u₁·sin²θ
V_0y= u₁·sinθ·cosθ

Eta abiadura angeluarraren osagaiak:

ω_0x=0
ω_0y=u₁/R

Baldintza horietan, P puntuaren abiadura honela adierazten da osagai cartesiarretan:

v_0x=V_0x -ω_0y·R= u₁·sin²θ- u₁= -u₁·cos²θ
v_0y=V_0y+ω_0x·R = u₁·sinθ·cosθ

P puntuaren abiaduraren modulua hasieran hau da:

v₀= u₁·cosθ

Hortik aurrera, aurreko orriko analisi bera egin behar da (esfera bat mugitzen plano horizontal batean) eta ikusten da, irristatzen ari den bitartean, marruskadura-indarraren eraginez, masa-zentroaren translazioa bi translazioren batura dela, biak uniformeki azeleratuak. Honela idatz daitezke masa-zentroaren abiaduraren osagaiak denboraren menpe:

Eta hasieran (t=0 aldiunean) bola koordenatuen jatorritik abiatzen bada (x=0, y=0) orduan bere posizioa honela adieraz daiteke denboraren menpe:

Bolaren errotazioari dagokionean, bi errotazioren batura da, biak uniformeki azeleratuak. Hasieran (t=0 aldiunean) abiadura angeluarra honelakoa bada: ω_0x=0 eta ω_0y=u₁/R , orduan bolaren abiadura angeluarraren osagaiak honela adieraz daitezke denboraren menpe:

Bolak irristatzen duen bitartean, P kontaktu-puntuaren abiadura gutxituz doa denborarekin, eta irristatzea bukatzen da P puntuaren abiadura nulu izatera iristen denean:

0=V_x -ω_y·R
0=V_y+ω_x·R

Hortik t denbora kalkula daiteke, bolaren irristatzeak irauten duena:

Une horretan bolaren masa-zentroaren abiadura hau da (eta aurrerantzean konstantea izango da):

Eta abiadura horren norabidea (V₁ bektoreak osatzen duen angelua X ardatzarekiko):

Angelu hori ere konstantea izango da aurrerantzean, eta hona hemen abiadura angeluarraren osagaiak irristatzea bukatzen den aldiunean:

Ikusten denez, Rω1x= -V1y eta Rω1y=V1x. Hortaz, ω bektorea eta V bektorea elkarren perpendikularrak dira, ω·V=0 delako. Eta moduluak erlazionatuta daude, "ez irristatzearen" baldintzarekin: V=R·ω

Bola horren masa-zentroaren posizioa ere kalkula daiteke aldiune horretan:

Nola mugitzen den talkaren ondoren, hasieran geldi zegoen bola

Bigarren bola horren masa-zentroa geldi zegoen talka baino lehen eta, talkaren eraginez, honako abiadura atzematen du: V₀=u₁·cosθ. Bere norabideak -θ angelua osatzen du X ardatzarekin, irudiak erakusten duen bezala. Errotazioari dagokionean, talka baino lehen abiadura angeluar nulua du, eta justu talkaren ondoren ere ez da aldatzen (bolen arteko marruskadura-indarra arbuiagarria bada).

Bolaren P puntuak irristatu egiten du eta, marruskadura indarraren eraginez, (F_r=μmg), bolaren abiadura angeluarra handituz doa. Bestalde, bolaren masa-zentroaren abiadura gutxituz doa harik eta irristatzea bukatzen den arte: V=ω·R. Hortaz, bolaren norabidea (θ) ez da aldatzen talkaren ondoren. Higidura zuzena da.

Bolaren hasierako abiadura angeluarra nulua denez, P puntuaren translazio-abiadura masa-zentroaren abiadura bera da:

v₀= u₁·cosθ

Marruskadura-indarrak abiadura horren aurkako noranzkoa du. Beraz, bolaren masa-zentroaren higidura-ekuazioa:

Higidura uniformeki azeleratua. Eta masa-zentroaren abiadura honela adieraz daiteke:

V= u₁·cosθ -μg·t

Masa-zentroaren posizioa, denboraren menpe, honela adieraz daiteke: dei diezaiogun s norabide horretan ibilitako distantziari:

s= u₁·cosθ·t -μg·t²/2

Masa-zentroaren posizioaren osagai cartesiarrak kalkulatzeko, x=s·cosθ, y= -s·sinθ

Bestalde, esferaren inertzia-momentua ezaguna denez: 2mR²/5

Errotazioaren dinamikaren ekuazioa honela idatz daiteke:

Uniformeki azeleratua. Beraz, abiadura angeluarra denboraren menpe honela adieraz daiteke:

ωR= 5μg·t/2

Bolaren errotazioa hazten joango da eta translazioa moteltzen, irristatzea bukatzen den arte, alegia P puntuaren abiadura nulu izatera iristen den arte:

0=V-ω·R

Hortik denbora kalkula daiteke, alegia bola horren irristatzearen iraupena:

Izan ere, denbora hori t₁-en berdina da.

Une horretan bolaren masa-zentroaren abiadura hau da:

Eta aurrerantzean konstantea izango da. t₂ aldiunean bolaren masa-zentroaren posizioa hau da:

Distantzia hori neurtzen da, bere ibilbide zuzenaren gainean, izan ere X ardatzarekiko –θ angelua osatzen duen zuzenean.

Bi bolen abiadura finalak konstante bilakatzen dira

Justu talkaren ondoren bi abiadurek 90º-ko angelua osatzen dute, baina gerora aldatuz doaz. Talkaren ondoren bi bolek irristatu egiten dute, eta abiadurak aldakorrak dira denbora-tarte batez: tr=t1=t2 . Denbora horren ondoren, bolek irristatzeari utzi eta errodatu egiten dute, abiadura konstantez: V1 eta V2. V1 bektoreak X ardatzarekiko φ angelua osatzen du eta V2 bektoreak berriz θ angelua. Dei diezaiogun F abiadura-bektore bien arteko angeluari, justu irristatzen uzten dutenean, alegia norabideak konstante bilakatzen direnean. Orduan: F=j+q

Ondorengo irudiak Φ angelua adierazten du β-ren menpe, talka-parametro erlatiboaren menpe (β=b/(2R)):

Bolek irristatzeari uzten diotenean (t_r), biak mugitzen dira higidura zuzen eta uniformeaz, alegia abiadura konstanteaz.

• Lehen bola

x=x₁+V_1x(t-t_r)
y=y₁+V_1y (t-t_r)

• Bigarren bola

s=s₂+V₂(t-t_r)

bigarren hau, X ardatzarekiko –θ angelua osatzen duen norabide zuzenaren gainean neurtuta.

Energiaren balantzea

Talka baino lehen eraso-bolaren energia zinetikoak bi zati ditu: bere translazioari dagokiona (u₁) eta bere errotazioari dagokiona (u₁/R).

Talka elastikoa denez, energia totala ez da aldatzen. Eraso-bolaren energia gutxitzen da besteari ematen diolako zati bat, baina bien energia zinetikoen batura konstantea da.

Bolek irristatu egiten dute eta t>t_r aldiunearen ondoren ere irristatzea bukatu egiten da, hortaz, berriz ere abiadurak konstante bilakatzen dira eta energia zinetiko totala berriz ere konstante:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Eraso-bolaren hasierako abiadura, u₁, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Talka parametro erlatiboa b/(2R) desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Bolen eta tapizaren arteko marruskadura-koefizientea, μ, dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

XY planoan billar-bolen masa-zentroen ibilbideak ikusten dira, jatorritik abiatuta.

Bektoreekin koloretan adierazten dira:

• Urdinez, bolen masa-zentroen translazio-abiadurak, V.

• Gorriz, bolen errotazioen abiadura angeluarrak, ω·R.

• Beltzez, bolen kontaktu-puntuaren (P puntuaren) abiadura, v.

P puntuaren abiadura gutxitzen doa marruskadura-indarraren eraginez, eta aldiune batean (t_r) nulu bilakatzen da. Izan ere, bi boletan aldi berean gertatzen da.

Talkaren ondoren, bolek irristatu egiten dute, eta tarte horretan bai errotazioaren abiadura angeluarra (ωR), zein masa-zentroaren translazio-abiadura (V), biak aldatuz doaz, norabidez eta baita moduluz ere. Amaieran, irristatzea bukatzen denean, bi bektoreok elkarrekiko perpendikular kokatzen dira eta moduluak berdinak bilakatzen dira, bi boletan.

V bektorearen norabidea uneoro masa-zentroaren ibilbidearekiko tangentea da.

t_r aldiunearen ondoren, alegia bolek irristatu gabe errodatzen dutenean, bi bolen masa-zentroek higidura zuzen eta uniformea segitzen dute, hots, V eta ωR  bektoreak konstante bilakatzen dira, eta ez dira gehiago aldatzen, ez moduluz ezta norabidez ere.

• Masa-zentroaren translazio-abiaduraren osagaiak: V_1x, V_1y
• Errotazio-abiadura angeluarraren osagaiak: R·ω_1x, R·ω_1y
• P puntuaren abiaduraren osagaiak: v_1x, v_1y

Leihatilaren beheko eta ezkerreko aldean idatziz erakusten dira hasieran geldi zegoen bolaren datuak:

• Masa-zentroaren translazio-abiadura, V₂, eta bere norabidea, θ. Izan ere, sinθ=b/(2R), X ardatzarekiko.
• Errotazio-abiadura angeluarra, R·ω₂
• P puntuaren abiaduraren modulua, v₂

Talkaren ondoren bolek irristatu egiten dute, eta geldi zegoen bolak beti ibilbide zuzena segitzen du, aldiz eraso-bolak orokorrean ibilbide kurboa deskribatzen du. Irristatzea bukatzen denean, t_r aldiunean, programak bolen posizioa adierazten du, eta ondoren bi bolek higidura zuzen eta uniformeaz segitzen dute, alegia abiadura konstanteez.