Solido zurruna

Billar-bola bat kontrako biraketaz mugitzen

Perkusioa bolaren erdian

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan billar-bola baten higidura aztertzen da, plano horizontal baten gainean eta perkusio bat jaso ondoren. Bolari perkusioa ematen zaio takoarekin, bere zentrotik pasatzen den plano bertikalean, baina gorago edo beherago eta perkusioaren iraupena nulutzat hartuko dugu.

Takoaren indarrak erabakitzen du bolaren hasierako translazio-abiadura, baina bestalde, errotazio-momentu bat ere eragiten du bolaren masa-zentroarekiko eta beraz, bolari abiadura angeluarra ere ematen dio.

Billar-bola bat aldeko biraketaz mugitzen

Billar-bola eskumarantz desplazatzen ari denean, "aldeko" biratzea deritzo erlojuaren orratzen alde biratzeari.

Ondoko irudiak erakusten du billar-bolak jasaten dituen indar guztiak. Takoak egiten diona tapizaren gainetik h altueran aplikatzen dio.

F indarrak B puntuan jotzen du eta indar horren norabideak bertikalarekiko osatzen duen angelua hau da: F =f +q . Pisua, mg, bolaren zentroan aplikatzen da. Zoruaren erreakzioa A puntuan aplikatzen da, eta hauxe balio du: NA=mg+FcosF A puntuko irristatzearen aurkako marruskadura: RA=mANA

Marruskadura-indar horrek (R_A) irudiak erakusten duen noranzkoa izan dezake baina aurkakoa ere bai, betiere A puntuaren abiaduraren noranzkoaren aurka.

Takoak egiten duen F indarra bi osagaitan deskonposa daiteke: batetik osagai erradiala (N_B) eta bestetik osagai tangentziala (R_B), baina biak erlazionatuta daude: R_B=m_BN_B eta beraz, m_B=tanf

Hemen, m_B marruskadura koefiziente dinamikoa da, takoaren eta bolaren artean. Normalean billar-jokalariek, marruskadura-koefiziente hori handitzeko, klarionarekin igurzten dute takoaren punta.

Ezaguna bada bolari ematen zaion F indarra eta bere iraupena (t) kalkula daiteke bolaren masa-zentroaren hasierako translazio-abiadura (V₀) eta bere hasierako abiadura angeluarra (w₀). Horretarako, bulkada lineal eta bulkada angeluarraren definizioak aplikatu behar dira:

Hemen, R_B=F·sinf . Demagun perkusioak irauten duen t  denbora-tartetxoan mahaiak bolari eragiten dion marruskadura-indarra (R_A) arbuiagarria dela takoaren osagai horizontalaren aldean (F·sinF). Baldintza hori nahiko ondo betetzen da takoaren eta bolaren arteko R_B marruskadura-indarra nahikoa handia bada eta perkusioa ez bazaio oso goian jotzen: hà 2r. Beraz, mahaiaren marruskadura-indarra arbuiatuz honela idatz daitezke bulkada lineala eta bulkada angeluarra:

F indarraren bulkada ezezaguna da, baina bi ekuazioen artean elimina daiteke. Bestalde, billar-bolaren masa eta erradioa ezagunak badira, (m eta r) orduan bere inertzia-momentua I_mz=2mr²/5. Beraz, erlazio bat idatz daiteke hasierako translazio-abiaduraren (V₀) eta errotaziozko abiadura angeluarraren artean (w₀).

Gainera, f eta F angeluak ere kalkula daitezke: batetik m_B=tgf , eta F =f +q , eta bestetik h altuera eta q  angelua ere erlazionatuta daude: . Beraz translazio-abiaduraren eta errotazio-abiaduraren arteko erlazioa honela berridatz daiteke:

Hemen idatzi da b =cosq  adierazpena sinplifikatzeko.

Bolaren A puntuaren hasierako abiadura kalkula daiteke, masa-zentroaren translazio-abiadura eta errotazio-abiadura ezagutzen badira.

A puntuaren abiadura positiboa ala negatiboa izango den erabakitzeko konparatu behar dira m_B eta k_β parametroa:

m_B<k_β bada, A puntuaren abiadura positiboa izango da eta alderantziz.

Horrekin takoaren efektua erabat bukatuta dago, alegia takoak bolari translazio-abiadura eta errotazio-abiadura ematen dizkio eta desagertu egiten da, ondoren bola mahaiaren gainean aske mugitzen da.

Kasu bi hartuko ditugu kontutan:

Bolaren A kontaktu-puntuak abiadura negatiboa du

Mahaiak bolari egiten dion marruskadura-indarra (R_A) positiboa izango da.

Bolaren masa-zentroaren translazioa eta bolaren errotazioa honela adierazten dira: m·amz=RA Imza = -r·RA eta hemen NA=mg, eta RA=mANA

Masa-zentroaren abiadura handituz doa eta errotazioa ordea motelduz:

A kontaktu-puntuaren abiadura honela adierazten da: V_A=v_mz -w ·r  eta, marruskaduraren eraginez, gutxitzen joango da nulu bilakatzen den arte. Une horretatik aurrera billar-bolak irristatu gabe errodatuko du abiadura konstanteaz.

Bolaren A kontaktu-puntuak abiadura positiboa du

Mahaiak bolari egiten dion marruskadura-indarra (R_A) negatiboa izango da.

Masa-zentroaren translazioa eta errotazioa honela planteatzen dira: mamz= -RA Ica =rRA eta lehen bezala NA=mg, eta RA=mANA

Masa-zentroaren translazio-abiadura gutxituz doa eta errotaziozkoa ordea handituz.

A kontaktu-puntuaren abiadura honela kalkulatzen da: V_A=v_mz -w ·r  eta, marruskaduraren eraginez, gutxitzen joango da nulu bilakatzen den arte. Une horretatik aurrera billar-bolak irristatu gabe errodatuko du abiadura konstanteaz.

Adibidea

Formuletan ikusten denez, bolaren amaierako abiadura ez da zuzenean bolaren erradioaren menpekoa, baina b parametro adimentsionalaren menpe erlazionatuta dago:

 .

Ondorengo programa interaktiboak finkotzat hartzen ditu honako datuak:

• A puntuaren hasierako abiadura negatiboa da:

Aukeran idatz daitezke honako datuak:

Datu horiekin, b =0.4, eta beraz, m_B>k_b =0.43

Kasu honetan (V_A)₀ negatiboa da eta beraz bolak irristatu egingo du denbora-tarte batez: 0.043 s. Azkenean, irristatzeari uzten dionean bolaren masa-zentroak honako abiadura konstantea du: 1.08 m/s.

• A puntuaren hasierako abiadura positiboa da:

Aukeran idatzitako datuak:

Datu horiekin, b =0.4, eta beraz m_B<k_b =0.43

Kasu honetan (V_A)₀ positiboa da eta beraz bolak irristatu egingo du denbora-tarte batez: 0.040 s. Azkenean, irristatzeari uzten dionean bolaren masa-zentroak honako abiadura konstantea du: 0.92 m/s.

Billar-bola bat kontrako biraketaz mugitzen

Billar-bola eskumarantz desplazatzen ari denean, "kontrako" biraketa deritzo erlojuaren orratzen kontra biratzeari.

Billar-bolaren higiduraren planteamendua, kontrako eta aldeko biraketen kasuetan, oso antzekoak dira, baina hala ere, badaude zenbait ezberdintasun.

Esaterako, tapizaren erreakzio normala hau da: NA=mg-FcosФ,  eta F =f +q Takoarekin kolpe handia emanez, bolak salto egin lezake, baina suposatuko dugu hori ez dela gertatzen, alegia NA positiboa dela beti.

Kasu honetan, A puntuaren abiadura beti ateratzen da positiboa:

Lehen bezala, bulkada linealaren definizioa eta bulkada angeluarrarena erabiliko dira. Gainera, R_A marruskadura-indarra arbuiagarria dela hartuko dugu (takoaren F indarraren osagai horizontalaren aldean) perkusioak irauten duen t denbora-tarte txikian. Horrela, lehen bezala lortzen da erlazio bat V₀ eta w₀-ren artean, alegia, bolaren masa-zentroaren translazio-abiaduraren eta bolaren errotazioaren abiadura angeluarraren artean:

Ondoren A kontaktu-puntuaren abiadura kalkula daiteke:

Oraingoan b parametroa ezberdina da, h oraingoan r baino txikiagoa baita.

Ekuazio hori ez da baliagarria perkusioa oso behean jotzen bada: hà 0.

Horrekin takoaren efektua erabat bukatuta dago, alegia takoak bolari translazio-abiadura eta errotazio-abiadura ematen dizkio eta desagertu egiten da, ondoren bola mahaiaren gainean aske mugitzen da.

Abiadura angeluarra baliogabetzen da

Masa-zentroaren translazioa eta bolaren errotazioa bere masa-zentroaren inguruan honela planteatzen dira: m·amz= -RA Imza = -r·RA Hemen NA=mg, eta RA=mANA

Masa-zentroaren translazio-abiadura gutxituz doa eta aldi berean errotazio-abiadura angeluarra ere bai:

Horrela bi aukera berri sortzen dira: batetik, v_mz baliogabetzea w baino lehen, edo alderantziz, w baliogabetzea v_mz baino lehen. Normalean, w baliogabetzen da v_mz baino lehen, eta horrela, bola ez da atzeraka bueltatzen.

Abiadura angeluarra baliogabetzen den unea (w =0):

Une horretan masa-zentroaren translazio abiadurak honako balioa du:

Irristatzea bukatzen da eta errodatu soilik egiten du

Bolaren abiadura angeluarra baliogabetzen bada, zentroaren abiadura eta A puntuaren abiadura berdinak dira. Beraz, tapizaren marruskadura-indarra (R_A) ezkerrerantz doa. Une horretatik aurrera marruskadura-indarrak errotazioa eragiten du berriro, baina erlojuaren orratzen alde.

Hona hemen translazioaren eta errotazioaren ekuazioak: mamz= -RA Imza =rRA

Hortik kalkula daitezke zentroaren translazio-abiadura eta bolaren errotazio abiadura angeluarra: t>t₁ aldiuneetarako.

Ikusten denez, une horretatik aurrera, v_mz gutxituz doa denborarekin eta w handitzen. Horrek eragiten du A puntuaren abiadura gero eta txikiagoa izatea, (V_A=v_mz-w r) eta une batean nulua izatera iritsiko da. Hori gertatzen denean irristatzea bukatzen da, eta ondoren, bolak abiadura konstanteaz segituko du tapizaren gainean errodatzen:

Adibidea

Bolaren abiadura finalaren adierazpenak ez du bolaren r erradioaren menpekotasun zuzenik baina bai b parametro adimentsionalarena eta 

Har ditzagun finkotzat honako datuak:

Aukera daitezkeen datuak:

Kasu honetan, b =0.6

Kalkuluak burutuz, ateratzen da abiadura angeluarra nulu izatera iristen dela honako aldiunean: t= 0.156 s. Eta une horretan bolaren zentroaren translazio-abiadura hau da: 0.69 m/s.

Ondoren abiadura angeluarra handitu egiten da (baina erlojuaren orratzen alde) harik eta A puntuaren abiadura nulua izatera iristen den arte, eta ondoren bolak errodatu egingo du irristatu gabe.

Bi atalak bukatzeko t = 0.257 s iragaten dira eta azkenean bolaren zentroak honako abiadura konstantea atzematen du: 0.50 m/s.

Perkusioa bolaren erdian

Takoak bolari erdian jotzen dionean, h=r, orduan F indarra horizontala da. Orain ere suposatuko dugu tapizaren marruskadura-indarra, RA , oso txikia dela F indarraren aldean, perkusioak irauten duen bitartean.

Orain F indarraren momentua bolaren zentroarekiko nulua da, beraz, bolak ez du errotaziozko abiadura angeluarrik hasieran, bakarrik translazio-abiadura.

Bulkada linealaren definiziotik V₀ abiadura kalkulatzeko, ezagunak izan behar dira F indarra denboraren menpe eta perkusioaren t iraupena.

Hasieran bolaren zentroa V₀ abiaduraz desplazatzen da eta A puntua ere bai (bolak ez baitu biratzen). Hortaz, A puntuko marruskadura-indarra ezkerrerantz doa. A puntuko marruskadura-indar horrek bi efektu dauka: batetik bolari birarazi egiten dio, eta bestetik bolaren masa-zentroaren translazioa galgatzen du.

Bolaren translazioaren eta errotazioaren ekuazioak hauek dira: mamz= -RA Imza =rRA Hemen NA=mg, eta RA=mANA

Translazioa eta errotazioa, biak, uniformeki azeleratuak direnez, abiadurak honela idatz daitezke:

Ikusten denez, bolaren masa-zentroaren translazio-abiadura gutxituz doa denborarekin eta berriz abiadura angeluarra handituz.

Denbora igaro ahala, A kontaktu-puntuaren abiadura gutxitzen doa:

A puntuaren abiadura t aldiune batean nulu bilakatzen da.

v_A =0 →

Une horretatik aurrera bolak ez du irristatzen eta abiadura konstanteaz errodatzen du.

Adibidea

Har ditzagun finkotzat honako datuak:

Aukera daitezkeen datuak:

Perkusioaren ondoren, A puntuaren abiadura gutxituz doa eta t=0.145 s. aldiunean nulu izatera iristen da. Une horretatik aurrera bolak ez du irristatzen eta abiadura konstanteaz errodatzen du: v_mz=0.71 m/s.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Marruskadura-koefizientea (takoa-bola) m_B, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
• Takoarekin jotako perkusioaren altuera, h, tapizetik neurtuta, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Honako datuak finkotzat hartu dira:

• Esferaren erradioa, r=5 mm
• Bolaren masa-zentroaren translazio-abiadura, V₀=1 m/s
• Marruskadura-koefizientea (bola-tapiza) m_A=0.2

Hasi botoia sakatu.

Takoak perkusioa jotzen dio billar-bolari eta berehala bola mugitzen hasten da, translazioz eta errotazioz. Programak idatziz erakusten ditu honako lau datuak: Denbora, bola osoaren errotaziozko abiadura angeluarra, bolaren masa-zentroaren translazio-abiadura eta tapiza ukitzen ari den A puntuaren translazio-abiadura.

Bektore gorri batek kontaktu puntuaren abiadura adierazten du. Bolak irristatzeari uzten dion unetik aurrera A puntuaren abiadura nulua da, eta bolaren translazio-abiadura eta errotazio-abiadura konstanteak.