Solido zurruna

Saiakuntza

Erreferentzia

Oso esperimentu ezaguna da mahai-zapi baten gainean botila bat edo bestelako gurpil bat kokatzea eta ondoren mahai-zapitik tirakada bat ematea. Gurpila mahai-zapiaren norabidean desplazatzen da, baina aurkako noranzkoan biratzen du. Higidura berezi horren sortzailea gurpilaren eta mahai-zapiaren arteko marruskadura-indarra da.

Hala ere, garrantzia du tirakada nola egiten den: oso astiro tiratzen badugu, gurpila desplazatu egiten da baina ez du errodatzen, eta aldiz, oso bizkor tiratzen badugu, mahai-zapiak irristatu egiten du eta gurpilak ez du ia biratzen.

Deskribapena

Irudiak gurpil bat adierazten du, m masaduna eta R erradioduna, eta mahai-zapia eskumarantz desplazatzen ari da abiadura konstanteaz: v_m. Kalkula dezagun gurpilaren masa-zentroaren translazio-abiadura (v_mz) eta gurpilaren errotazioaren abiadura angeluarra (ω).

Dinamika

Mahai-zapiak gurpilari F indarra eragiten dio P puntuan. Indar horretaz gain, gurpilak beste bi indar ere jasaten ditu: pisua eta erreakzio normala.

Hona hemen gurpilaren higiduraren ekuazioak:

• Masa-zentroaren translazioa:

F=m·a_mz

• Errotazioa, masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

F·R=I_mz·a

Hemen I_mz=kmR², esaterako, k=1 eraztun baterako, k=1/2 zilindro edo disko baterako eta k=2/5 esfera baterako.

Ekuazio bi horien artean F eliminatuz, azelerazio biak erlaziona daitezke: a_mz=k·R·a

Erlazio hori bera lortzen da translaziozko abiaduraren (v_mz) eta errotaziozko abiaduraren (w) artean:

Gurpilak mahai-zapiarekiko ez badu irristatzen, orduan bere masa-zentroaren abiadura erlatiboa mahai-zapiarekiko hau izango da: V=ωR, eta ezkerrerantz izango da, izan ere, horrantz delako errotaziozko abiadura angeluarra, ω, alegia erlojuaren orratzen aurka. Orduan, gurpilaren masa-zentroaren abiadura honela adieraz daiteke: v_mz = -kV (jakinda V negatiboa dela).

Mahai-zapiaren abiadura vm da, eta bestalde vmz=vm+V (jakinda V negatiboa dela), orduan: V=vmz-vm

Ezagutzen bada, mahai-zapiaren abiadura, v_m, orduan gurpilaren masa-zentroaren abiadura kalkula daiteke mahaiarekiko:

eta baita, gurpilaren abiadura erlatiboa mahai-zapiarekiko:

Demagun mahai-zapiaren luzera d dela (hobe esanda, gurpilaren P puntutik mahai-zapiaren amaierara hasieran dagoen distantzia). Orduan gurpila mahai-zapiaren gainean mugitzen egongo da honenbeste denbora: t=d/|V|. Denbora horretan gurpilaren masa-zentroa eskumarantz desplazatu da honako distantzia hau: x=v_mz·t=k·d.

Momentu angeluarra

Gurpilari bira-arazten dion indarra F da, P puntuan aplikatzen dena. Indar horren momentua P puntuarekiko nulua da, hortaz gurpilaren  momentu angeluarra P puntuarekiko konstantea izango da.

Orokorrean, edozein partikula-multzotan, honela erlazionatzen dira momentu angeluarra masa-zentroarekiko eta momentu angeluarra P puntuarekiko: L=Lmz+m·rmz ´ vmz

Momentu angeluar biek norabide bera dute (irudiaren planoarekiko perpendikularra) baina aurkako noranzkoak.

L=I_mzω -mRv_mz=0

Gurpilaren inertzia-momentua honela adierazten da: I_mz=kmR², eta horrela, berriz ere lehengo erlazio bera lortzen da gurpilaren translazio-abiadura (v_mz) eta errotazio-abiadura angeluarraren (ω) artean.

v_mz=kRω

Gurpilari mahai-zapia bukatzen zaionean ez da gehiago mugitzen, ez ezkerrera ezta eskumara ere, alegia justu pausagunean geratzen da, bestela, momentu angeluarra ez litzateke nulua izango.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Mahai-zapiaren abiadura, v_m, dagokion laukian idatziz.
• Gurpilaren forma edo gorputz-mota, (zilindroa, eraztuna edo esfera).
• Gurpilaren erradioa eta masa finkotzat hartu dira, R=1 eta m =1.

Mahaia ikusten da (horia) eta gainean gurpila (grisa), biak pausagunean. Gurpilaren eta mahaiaren artean mahai-zapia ere geldi dago (gorria). Mahai-zapiaren luzera ere finkotzat hartu da (d=6)

Hasi botoia sakatu.

Mahai-zapia mugitzen hasten da (eskumarantz) eta ondorioz gurpila ere bai. Gurpilaren translazioa eskumarantz da eta errotazioa erlojuaren orratzen aurka. Programak idatziz erakusten ditu, denbora eta gurpilaren masa-zentroaren posizioa.

Egiazta daiteke gurpila zenbat desplazatzen den (x) mahai-zapiaren d desplazamenduaren menpe, eta behatu gorputz-motaren arabera aldatzen dela.

Azkenean, gurpilari mahai-zapia amaitzen zaionean geldi geratzen da mahaiaren gainean.