Solido zurruna

Esferaren masa-zentroaren ibilbidea

Irristatu gabe errodatzea

Saiakuntza

Erreferentzia

Honako orri honetan aztertuko dugu zein ibilbide segitzen duen esfera batek (m masa eta R erradioa) plano horizontal batean askatzen denean. Askatzen den unean, esferaren masa-zentroak translazio-abiadura dauka (V0) eta esfera osoak errotaziozko abiadura angeluarra (ω0) bere masa-zentroaren inguruan. Bi bektore horiek edozein norabide eta noranzko izan dezakete planoarekiko (betiere horizontalak), ondoko irudiak erakusten duen bezala.

Higiduraren ekuazioak

Plano horizontlari XY ardatzak atxikiko dizkiogu eta, horren arabera, abiadurak bi osagai horietan deskonposatuko ditugu.

• X ardatzaren norabidean, m.z-ren abiadurak duen osagaiari V_x deituko diogu eta abiadura angeluarrak duen osagaiari ω_x.

• Y ardatzaren norabidean, m.z-ren abiadurak duen osagaiari V_y deituko diogu eta abiadura angeluarrak duen osagaiari ω_y.

Demagun lau osagaiak positiboak direla (V_x, ω_x,V_y, ω_y) goiko irudiak erakusten duen bezala.

Esferaren P puntua planoa ukitzen ari da eta honako abiadura du:

v_x=V_x -ω_y·R
v_y=V_y+ω_x·R         (1)

Esferak hiru indar jasaten ditu:

• Pisua, mg

• Planoaren erreakzio normala, N=mg

• Kontaktu-puntuko marruskadura-indarra, puntu horren abiaduraren aurkako noranzkoan.

Lehen bi indarrak bertikalak dira, eta ez dute eraginik esferaren higiduran, baina marruskadura-indarrak bi osagai ditu:

• Marruskadura-indarraren F_x osagaia masa-zentroaren V_x translazioaren aurka doa, eta ω_y errotazioaren alde.

• Marruskadura-indarraren F_y osagaia masa-zentroaren V_y translazioaren aurka doa, eta ω_x errotazioaren aurka.

Masa-zentroaren translazioaren ekuazioak:

Errotazioaren ekuazioak:

Esfera baten inertzia-momentua bere masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko: I_mz=2mR²/5

Esferaren masa-zentroaren ibilbidea

Denborarekiko deribatzen badira (1) ekuazioak, P puntuaren abiaduraren osagaiak:

Eta berridatziz:

Ekuazio diferentzial bera agertzen da bi aldiz. Bere soluzioa honelakoa da:

v_y=c·v_x

hemen c konstante bat da eta geroago kalkulatuko dugu.

Lehen ekuazio diferentziala honela idatz daiteke:

Alegia X ardatzaren norabidean P puntuak azelerazio konstantea du (higidura uniformeki azeleratua). Beraz, v_x abiadura honela idatz daiteke:

Hemen v_0x da, P puntuaren hasierako abiaduraren X osagaia.

Bigarren ekuazio diferentziala honela idatz daiteke:

Y ardatzaren norabidean ere P puntuak azelerazio konstantea du (uniformeki azeleratua), beraz v_y abiadura honela idatz daiteke:

Hemen ere, v_0y da, P puntuaren hasierako abiaduraren Y osagaia.

"c" konstantea kalkulatzeko v_y=c·v_x, orduan:

Beraz, P puntuaren abiaduraren osagaiak denboraren menpe:

Eta P puntuaren abiaduraren bi osagai horiek nulu bilakatzen dira honako aldiunean:

(v_x, v_y) nulu bilakatzen direnean, esferaren P puntuak irristatzeari uzten dio, eta ondoren esferak irristatu gabe errodatzen du abiadura konstanteaz.

P puntuaren abiaduraren bi osagaiak ezagututa (v_x, v_y), esferaren masa-zentroaren abiaduraren bi osagaiak kalkula daitezke (V_x, V_y).

Masa-zentroaren translazioa bi translazioren batura da, biak uniformeki azeleratuak. Honela idatz daitezke masa-zentroaren abiaduraren osagaiak denboraren menpe:

Esaterako, hasieran, t=0 aldiunean, esferaren zentroa koordenatuen jatorrian baldin badago, honela idatz daiteke bere posizioa denboraren menpe:

Esferaren abiadura angeluarra ere kalkula daiteke:

Hasieran, t=0 aldiunean, esferaren abiadura angeluarraren osagaiak ω_0x eta ω_0y badira, honela idatz daiteke esferaren abiadura angeluarra denboraren menpe:

(1) ekuazioen arabera, P puntuaren abiadura hasierako aldiunean honela idatz daiteke:

Irristatu gabe errodatzea

Esferak irristatzeari uzten dion aldiunean:

P puntuaren abiaduraren osagaiak nulu bilakatzen dira, eta ondoren, esfera irristatu gabe errodatzen hasten da abiadura konstanteaz. Hona hemen masa-zentroaren abiadura, une horretatik aurrera:

Abiadura angeluarra ere aurrerantzean konstantea da:

Hemen, Rω_rx= -V_ry eta Rω_ry=V_ry. Egoera horretan, abiadura angeluar bektorea, ω, masa-zentroaren translazio-abiadura bektorearekiko (V) perpendikularra da, honako baldintza betetzen dutelako: ω·V=0. Eta euren moduluen arteko erlazioa: V=R·ω

Esferaren masa-zentroaren posizioa, irristatzeari uzten dion aldiunean:

Une horretatik aurrera (t>t_r) esferaren masa-zentroak higidura zuzen eta uniformea deskribatzen du, justu aldiune horretako V abiaduraren norabidean. Beraz, une horretatik aurrera, esferaren masa-zentroaren posizioa honela adieraz daiteke denboraren menpe:

x=x_r+V_rx·(t-t_r)
y=y_r+V_ry·(t-t_r)

Adibidea:

• Masa-zentroaren hasierako abiadura:  V_0x=1.0, V_0y=1.0

• Errotazioaren hasierako abiadura angeluarra: R·ω_0x=2.0, R·ω_0y=2.0

• Marruskadura-koefizientea: μ=0.03

P puntuaren abiadura, esfera askatzen den aldiunean:

v_0x=1.0-2.0= -1.0
v_0y=1.0+2.0= 3.0

P puntuaren abiadura moteltzen doa marruskadura-indarraren eraginez eta nulu bilakatzen da honako aldiune honetan:

• Esfera irristatzen ari den bitartean (t<t_r) bere masa-zentroaren posizioa denboraren menpe:

• Eta bere masa-zentroaren abiadura denboraren menpe:

• Eta abiadura angeluarra, denboraren menpe:

Irristatzea bukatzen da t_r=3.07 aldiunean, P puntuaren abiadura nulu bilakatzen delako, eta aurrerantzean esferak irristatu gabe errodatuko du abiadura konstanteaz:

• Esferaren masa-zentroaren posizioa, une horretan:

x=3.51, y=1.76

• Eta masa-zentroaren abiadura:

V_x=1.286, V_y=0.143

• Errotazioaren abiadura angeluarra:

R·ω_x= -0.143, R·ω_y=1.286

Egiaztatzeko

P puntuaren abiaduran ordezkatzen badugu irristatzeari uzten dion t_r aldiunea:

v_x=1.286-1.286=0
v_y=0.143+(-0.143)=0

Ikusten denez, nulua ematen du.

Une horretan, ω abiadura angeluar bektorea eta masa-zentroaren V translazio-abiadura elkarren perpendikularrak dira, biderketa eskalarrak nulu ematen duelako:

V·ωR=(1.286i+0.143j)·(-0.143i+1.286j)=1.286·(-0.143)+0.143·1.286=0

Eta moduluen arteko erlazioa betetzen da: V=ω·R (irristatu gabe errodatzearen baldintza)

Esferak irristatzeari uzten dion aldiunetik aurrera (t=3.07) esferaren masa-zentroak higidura zuzen eta uniformea du V abiadura konstanteaz eta ω abiadura angeluar konstanteaz. Masa-zentroaren posizioa honela adieraz daiteke denboraren menpe:

x=3.51+1.286 (t-3.07)
y=1.76+0.143 (t-3.07)

Energiaren balantzea

• Esferaren energia hasieran hau da:

• Eta amaieran:

Marruskaduraren eta irristatzearen eraginez energiaren zati bat galdu da: E_f -E_i= -0.629·m

Translazioaren energia zinetikoa errotaziozkoa baino gehixeago galtzen da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Esferaren masa-zentroaren translazio-abiaduraren bi osagaiak: V_x eta V_y, dagokion laukietan zenbaki positiboak idatziz.

• Esferaren errotazioaren abiadura angeluar bektorearen bi osagaiak: R·ω_x eta Rω_y, dagokion laukietan zenbaki positibo zein negatiboak idatziz. R esferaren erradioa da.

• Plano horizontalaren eta esferaren arteko μ marruskadura-koefizientea.

Hasi botoia sakatu.

XY planoan adierazten da esferaren masa-zentroaren ibilbidea.

Diagrama horretan eta koloretan, hiru bektore adierazten dira:

• Urdina, esferaren masa-zentroaren abiadura: V.

• Gorria, esferaren abiadura angeluarra (bider R) ω·R.

• Beltza, esferaren P puntuaren abiadura, v (planoa ukitzen duen puntuarena).

P puntuaren abiadura gutxitzen doa denboran zehar, marruskadura-indarraren eraginez, eta une batean (t_r aldiunean) nulu bilakatzen da.

Abiadura angeluarra, ωR, eta translazio-abiadura, V, biak, moduluz eta norabidez aldatzen doaz justu perpendikular kokatzen diren arte eta moduluak berdintzen diren arte (justu t_r aldiunean).

V bektorearen norabidea uneoro da masa-zentroaren ibilbidearekiko tangentea.

t_r aldiunetik aurrera esferak ez du gehiago irristatzen eta ibilbide zuzena segitzen du. Une horretatik aurrera V eta ωR  bektoreak konstante diraute, bai moduluan eta baita norabidean ere.

Leihatilaren goiko eta eskumako aldean energiaren balantzea adierazten da tarta-itxurako diagrama batean:

• Gorriz, errotazioari dagokion energia zinetikoa.

• Urdinez, masa-zentroaren translazioari dagokion energia zinetikoa.