Solido zurruna

Gurpil bat plano horizontal deformagarri batean mugitzen

Saiakuntza

Gurpil bat plano inklinatu deformagarri batean mugitzen

Erreferentziak

Beste ikasgai batean ikusten denez, errotazioa eta translazioa egokituta (I), gurpil batek plano horizontal batean errodatzen duenean, bere higidurak bi atal ditu:

1. Gurpilak irristatzen duenean, kontaktu-puntuak abiadura du (v_P=v_mz−w·R, ez nulua) eta marruskadura-indarrak abiadura horren aurkako noranzkoa du. Gurpilak gero eta gutxiago irristatzen du eta, azkenean, irristatzeari uzten dio.
2. Gurpilak irristatzeari uzten dionean, kontaktu-puntua gelditzen da (v_P=0), marruskadura-indarra desagertzen da, eta gurpilaren abiadurak konstante segitzen du. Aurrerantzean, masa-zentroaren translazio-abiadura eta gurpilaren errotazio-abiadura biak konstante mantentzen dira, eta erlazionatuta daude: v_mz=w·R.

Esperientziak esaten digu, gurpil batek ez duela betiko irauten abiadura konstanteaz, aldiz, denbora-tarte baten ondoren gelditu egiten dela, baina moteltze horren mekanismoa ez da irristatzearen aurkako marruskadura.

Deformazioak gurpilean eta plano horizontalean

Ikasgai honen aurretik, bai gurpila eta baita plano horizontala ere erabat zurruntzat hartu izan ditugu, baina errealitatean, pixka bat bada ere, deformatu, deformatzen dira.

• Gurpila errodatzen

Ezkerreko irudiak erakusten du, gurpila eta planoa deformatzen direnean, gurpilak jasaten dituen indarrak. Kontaktua ez da puntu bakar batean gertatzen, eskualde batean baizik. Eskumako irudiak erakusten du kontaktu-eskualde horrek gurpilari eragiten dion indar erresultantea.

Indar erresultante horrek bi osagai ditu: bata bertikala (N) eta bestea horizontala (f). Batetik, indar bertikala, orokorrean, ez da pasatzen justu masa-zentrotik, d distantzia txiki bat aurrerago baizik.

Beraz, hona hemen gurpil baten higiduraren ekuazioak, M masadun eta R erradiodun diskoa dela suposatuz:

Lau ekuazio horietatik lehena, masa-zentroaren translazioari dagokio, eta ikusten da dezeleratuz doala. Bigarrena, errotazioari dagokio, diskoaren masa-zentroaren inguruan. Azkena, irristatu barik errodatzearen baldintza da. Hortik kalkula daitezke, besteak beste, gurpilaren masa-zentroaren azelerazioa, a_mz, eta f  indarra.

• Blokea irristatzen:

Blokearen azelerazioa kasu honetan:

Normalean, gurpiletan, d/R erlazioa oso txikia izaten da marruskadura-koefiziente zinetikoaren aldean, m_k , eta horregatik irristatzen doan blokea askoz lehenago gelditzen da, errodatzen ari den gurpila baino.

Hortaz, irristatzen ari den gorputz bat askoz lehenago gelditzen da errodatzen ari dena baino.

Higidura uniformea

Kalkula dezagun zein indar aplikatu behar zaion gorputzari (blokeari edo gurpilari) bere higidura uniformea mantentzeko, alegia, bere abiadura konstante mantentzeko:

• Gurpilaren kasuan, a_mz=0 eta a =0.

Hona hemen emaitza: F=mgd/R.

• Eta blokearen kasuan: F=m_kmg.

Berriz ere lortzen da, gorputz bati, bere abiadura konstante mantentzeko, askoz indar handiagoa aplikatu behar zaiola gorputzak irristatzen badu, errodatzen badu baino, baina honako baldintza bete behar da:

Gurpil bat plano horizontal deformagarri batean mugitzen.

Orokorrean, bi gorputzak deformatzen dira, bai gurpila eta baita planoa ere, baina sinplifikatzeko, demagun planoa soilik deformatzen dela. Esaterako, billar-aren kasuan horixe betetzen da, bolaren deformazioa oso txikia izaten baita tapiz-mahaiaren aldean, aldiz, auto baten gurpila gehiago deformatzen da asfaltoa baino.

Demagun billar-bola bat tapiz-mahaiaren gainean errodatzen. Ezkerreko irudiak erakusten duenez, mahaiaren erreakzioa kontaktu-gainazalarekiko perpendikularra da, baina P' puntuan aplikatzen da, P puntutik oso hurbil, baina pixka bat aurreratuta. Ondorioz, mahaiaren erreakzioa ez da bertikala, osagai horizontala ere badu. Dei diezaiegun osagai bertikalari N eta horizontalari f.

Erreakzioaren osagai horizontalak (f-k) bolaren translazioaren aurkako noranzkoa du. Bestalde, errotazioari dagokionez, momentu erresultantea hau da: f·h-N·d , eta errotazioaren aurkako noranzkoa du. Hona hemen higiduraren ekuazioak:

Ezezagunak bost dira: N, f, a_mz, a eta d. Ezezagun gehiegi.

Eskumako irudiak erakusten du erreakzio-indarra zenbat aurreratzen den: d=Rsinq . Deformazioa txikia bada edota q angelua txikia bada, bi hurbilketa egin daitezke adierazpen horretan: sinq » q  eta  h» R. Horrela, bolaren masa-zentroaren azelerazioa kalkula daiteke:

Ikusten denez, billar bola dezeleratuz doa, baina azelerazio hori txikia da, θ angelua txikia delako.

Billar-bola batean θ» 10^-2 rad = 0.6º.

Adibidea:

Demagun deformazio-neurria: θ=8º=0.14 rad, orduan masa-zentroaren azelerazioa:

a_mz= -5·9.8·0.14/7= -0.977 m/s²

Hortaz, bola horren hasierako abiadura ezaguna bada, kalkula daiteke, esaterako, zenbat distantzia ibiliko duen gelditu arte. Baldin v₀=1 m/s,

0=1.0+(-0.977)t,  t=1.02 s
x=1.0·t+½(-0.977)t²=0.51 m= 5.1 dm

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Deformazio-neurria, q  gradutan.
• Esferaren hasierako abiadura finkotzat hartu da: v₀=1 m/s

Hasi botoia sakatu.

Angelu txikiaren hurbilketa (sin q » q) ontzat ematen da angelua 20º baino txikiagoa den bitartean. Leihatilaren beheko aldean ikusten da esferak nola errodatzen duen plano horizontalaren gainean. Programa interaktiboak uneoro kalkulatzen ditu bolaren abiadura eta distantzia (dezimetrotan). Leihatilaren goiko aldean, planoaren deformazioa zehaztasunez adierazten da, eta bolari eragiten dioten indarrak.

Oharra: izan ere, deformazio-neurria 20º baino handiagoa izatea, oso exageratua da kasu praktiko gehienetan, baina bolaren jokabidea aztertzeko oso erakusgarria da, oso ondo erakusten direlako gainazalaren deformazioa eta bolak jasaten dituen indarrak.

Gurpil bat plano inklinatu deformagarri batean mugitzen

Orokorrean, gurpil bat (zilindrikoa zein esferikoa) malda inklinatu batean behera ez da abiatzen edozein inklinaziorekin, alegia, inklinazio minimo bat behar du mugitzen hasteko.

Erreakzio normala, pixka bat aurreratuta aplikatzen denez, ez da pasatzen gurpilaren masa-zentrotik, d distantziara baizik. Aurreko atalean erakutsi da d distantzia hori gurpilaren eta planoaren deformazio-neurriaren proportzionala dela.

Gainera, d aurrerapen-distantzia hori gurpilaren abiaduraren menpekoa ere bada baina, sinplifikatzearren, konstantetzat hartuko dugu.

Hortaz, eta irudiak erakusten duenez, N erreakzio normalaren momentua gurpilaren masa-zentroarekiko ez da nulua, eta gainera F_r marruskadura-indarrak eragiten duen momentuaren aurkakoa da. Hona hemen gurpilaren higiduraren ekuazioak:

• Masa-zentroaren translazioa:

N=mgcosq

mg·sinq -F_r=ma_mz

• Gurpil osoaren errotazioa, masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

F_r·R -d·mgcosq =I_mz·a

• Eta gurpilak irristatzen ez badu:

a_mz=a ·R

Esaterako, gurpila zilindrikoa bada, I_mz=mR²/2, hona hemen emaitzak:

Izan ere, emaitza horietan d=0 baldintza ordezkatzen badugu, emaitza ezagun batzuk lortzen dira: gurpila maldan behera errodatzen irristatu barik. Bestalde, gurpila ez da maldan behera abiatzen honako baldintza betetzen ez bada: a_mz³ 0 alegia, badago angelu minimo bat mugitzen hasteko: q >q₀ . Hona hemen angelu minimo hori:

Energiaren erlazioak:

Gurpilaren eta planoaren arteko kontaktuak irristatzen ez duenez, puntu hori une horretan geldi dago, eta beraz, F_r marruskadura-indarrak ez du lanik egiten. Baldintza horietan, marruskadura-indarrak izan dezakeen baliorik handiena hau da: m _s·N,  hemen m _s marruskadura-koefiziente estatikoa eta N=mgcosq . Marruskadura-indarrak ez badu balio hori gainditzen (m _s· mgcosq) gurpilak ez du irristatuko, eta errodatu soilik egingo du.

Oraingoan marruskadura-indarrak ez du lanik egiten baina N erreakzio normalak bai: errotaziozko momentua bider biratutako angelua: –Nd·f = –(d·mgcos q )·x/R. Hemen x deitu diogu gurpilak malda inklinatuan behera ibiltzen duen distantziari.

Beraz, hasierako energia potentzialaren (mgh) zati bat gurpilaren energia zinetiko bilakatzen da (errotaziozkoa eta translaziozkoa) baina ez osorik, beste zati bat erreakzio normalaren lanak barreiatzen du:

Ekuazio horretan ordezkatzen badugu, d=0 baldintza, orduan mgh energia potentziala osorik bilakatzen da energia zinetiko.

Adibidea:

• Demagun gurpil zilindriko bat, eta bere erradioa: R=20 cm.

• Demagun N erreakzio normalaren aurrerapena masa-zentroarekiko hau dela: d=1 cm.

Orduan, gurpila pausagunean badago, planoak θ₀ inklinazio minimoa izan behar du, gurpila mugitzen hasteko:

tanθ₀=1/20,  θ₀≈3º  , planoa, angelu hori baino gehiago egon behar da inklinatuta.

• Demagun planoaren inklinazioa θ=30º dela eta gurpilak x=3 m-ko distantzia ibiltzen duela.

Zilindroaren masa-zentroaren azelerazioa:

Eta zilindroaren masa-zentroaren abiadura ibilbidearen amaieran:

x=a_mz·t²/2
v_mz=a_mz·t          

Baldin x=3 m, orduan v_mz=4.23 m/s.

Aplika dezagun energiaren balantzea:

 v_mz=4.23 m/s

Erreferentziak

Hierrezuelo J., Carnero C.. Sliding and rolling: the physics of a rolling ball. Phys. Educ. 30 (1995), pp. 177- 182

López R., Gálvez F.J. Longitud de rodadura. Revista Española de Física 12 (1) 1998 pp 41-43.