Solido zurruna

Errodatzearen baldintza (irristatu gabe)

Energiaren balantzea

Saiakuntza

Azter dezagun nola jokatzen duen marruskadura-indarrak gurpil baten higiduran.

Ondoko irudiak gurpil bat erakusten du, errotazio hutsez biratzen w0 abiadura angeluarraz, baina gurpilak ez du zorua ukitzen goian eutsita dagoelako. Halako batean, gurpila jaitsi egiten da, plano horizontala ukitzen du eta askatzen da. Denbora-tarte batez irristatu egiten du eta, aldi berean, eskumarantz desplazatzen doa. Azkenean, eskumarantz desplazatzen segitzen du, baina dagoeneko ez du irristatzen. Gurpilaren eta planoaren arteko m marruskadura-koefizientea ezagutuz, kalkula daiteke gurpilaren vf  abiadura finala, irristatzeari uzten dionean.

Egin dezagun ariketa hori bera baina orokorrago. Demagun diskoa askatzen den unean bere zentroak translazio-abiadura ere baduela, eta dei diezaiogun v₀. Diskoaren masa m erradioa R eta hasierako abiadura angeluarra w₀. Amaieran, irristatzeari uzten dionean, honako baldintza bete behar da: v=w·R.

Dinamikaren ekuazioak

Diskoak, zorua ukitzen duenean, hiru indar jasaten ditu: pisua, zoruaren erreakzio normala eta marruskadura-indarra F_r . Zoruaren erreakzioak diskoaren pisua eusten du eta diskoak ez du higidura bertikalik. Aldiz, norabide horizontalean geratzen den indar bakarra marruskadura indarra da, eta kontaktu-puntuan bertan aplikatzen da (P):

Zorua ukitzen ari den diskoaren P puntuaren abiadura honela adieraz daiteke:

Diskoaren masa-zentroaren abiadura hasieran v₀ da. Diskoak zoruan irristatzen badu, P puntuaren abiadura ez da nulua izango, eta gainera marruskadura-indarraren noranzkoa erabakitzen du, marruskadura-indarra P puntuaren abiaduraren aurkakoa baita.

Hasierako baldintzetan, kasu posible bi daude:

• v₀>w₀·R, orduan P puntuaren abiadura positiboa da, eta  beraz, marruskadura-indarra ezkerrerantz joango da.
• v₀<w₀·R, orduan P puntuaren abiadura negatiboa da, eta  beraz, marruskadura-indarra eskumarantz joango da.

Lehen kasua, v₀>w₀·R

Marruskadura-indarrak diskoa ezkerrerantz bultzatzen du eta hona hemen higiduraren ekuazioak:

Masa-zentroaren translazioa: m·amz= -Fr Diskoaren errotazioa, masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko: Imza =Fr·R

Orokorrean, disko baten inertzia-momentua bere zentrotik eta perpendikularki pasatzen den ardatz batekiko:

F_R=mmg ordezkatuz, eta bi ekuazioak ebatziz, hona emaitzak: a_mz=-mg eta a =2mg/R.

Hortaz, translazio-higidura zuzena eta uniformeki dezeleratua da, eta errotazioa berriz, uniformeki azeleratua.

Masa-zentroaren v_mz translazio-abiadura gutxituz doa denborarekiko, eta aldiz, w errotazio-abiadura angeluarra handituz.

Hortaz, diskoaren P puntuak honako abiadura du denboraren menpe:

v_P= v_mz -w ·R = v₀  -w ₀·R -3m gt

Diskoak irristatu egiten du, P puntuaren v_P abiadura nulua ez den bitartean. Kalkula daiteke zein aldiunetan bilakatzen den v_P=0:

Denbora horretan kalkula daiteke, zenbat desplazatu den diskoaren masa zentroa (s) eta zenbat biratu duen (q):

Bigarren kasua, v₀<w₀·R

Marruskadura-indarrak diskoa eskumarantz bultzatzen du eta hona hemen higiduraren ekuazioak:

Masa-zentroaren translazioa: M·amz=Fr Diskoaren errotazioa, masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko: Ica = -Fr·R

Lehen bezala, bi ekuazioak ebatziz, hona emaitzak: a_mz=mg eta a = -2mg/R.

Hortaz, translazio-higidura zuzena eta uniformeki azeleratua da, eta errotazioa berriz, uniformeki dezeleratua.

Masa-zentroaren v_mz translazio-abiadura handitzen doa denborarekin, eta aldiz, w errotazio-abiadura angeluarra gutxituz.

Hortaz, diskoaren P puntuak honako abiadura du denboraren menpe:

Diskoak irristatu egiten du, P puntuaren v_P abiadura nulua ez den bitartean. Kalkula daiteke zein aldiunetan bilakatzen den v_P=0:

Denbora horretan kalkula daiteke, zenbat desplazatu den diskoaren masa zentroa (s) eta zenbat biratu duen (q):

Errodatzearen baldintza (irristatu gabe)

Aurreko bi kasuetan, diskoaren P puntua irristatzen hasten da (batean eskumarantz eta bestean ezkerrerantz) baina denbora pasa ahala eta marruskadura-indarraren eraginez nulu bilakatzen da (v_P=0). Hona hemen diskoak une horretan dituen translazio-abiadura eta errotazio-abiadura angeluarra:

Ikusten denez, abiadura bi horiek ez dira m marruskadura-koefizientearen menpekoak

Diskoaren P puntua gelditzen denean (v_P=0), errodatzearen baldintza betetzen da (v_mz=w ·R). Orduan, marruskadura-indarra desagertu egiten da, ez baitago beste inolako indar horizontalik, eta une horretatik aurrera, diskoaren masa-zentroaren v_mz translazio-abiadura konstantea izango da, eta errotazioaren w abiadura angeluarra ere bai.

Energiaren balantzea

Diskoaren energia hasieran:

Eta ondoren:

Ordezka dezagun adierazpen horretan, irristatzeari uzten dioneko abiadura (v_mz), eta kalkula dezagun energien arteko kendura:

Kalkula dezagun, beste aldetik, marruskadura-indarrak egindako lana:

• Lehen kasua, v₀>w₀·R

Marruskadura-indarra translazioaren aurkakoa da baina, aldiz, errotazioaren aldekoa. Beraz:

W= -F_r·s+M_r·q = -mm g(s -Rq )

Ordezkatzen baditugu s eta q, diskoak irristatzeari uzten dion t aldiunekoak, alegia, soilik errodatzen hasten den unekoak, honako emaitza lortzen da:

W=E_f  -E_i

• Bigarren kasua, v₀<w₀·R

Marruskadura-indarra translazioaren aldekoa da baina, aldiz, errotazioaren aurkakoa. Beraz:

W=F_r·s -M_r·q = -mm g( -s+Rq )

Ordezkatzen baditugu s eta q, diskoak irristatzeari uzten dion t aldiunekoak, alegia, soilik errodatzen hasten den unekoak, berriz ere honako emaitza lortzen da:

W=E_f -E_i

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Diskoa askatzen den unean, masa-zentroaren translazio-abiadura, v₀ (zenbaki positiboa) dagokion laukian idatziz.
• Diskoa askatzen den unean, errotazio-abiadura, w₀ (zenbaki positiboa zein negatiboa) dagokion laukian idatziz.
• Diskoaren eta zoruaren arteko marruskadura koefizientea, m , dagokion laukian idatziz.
• Programak diskoaren erradioa finkotzat hartzen du: R=1

Hasi botoia sakatu.

Diskoa nola mugitzen den ikusten da. Bi bektore gorriek uneoro adierazten dute, batetik v_mz masa-zentroaren abiadura, eta bestetik v_P, P puntuaren abiadura, alegia zorua ukitzen duen puntuarena. Orokorrean, v_P¹0 bada, diskoak irristatzen du.

v_P abiadura hasieran izan daiteke positiboa zein negatiboa (v₀>w₀·R bada edo v₀<w₀·R bada). Baina denbora pasatu ahala v_P gutxituz doa, marruskadura-indarraren eraginez, eta azkenean nulu bilakatzen da. Une horretatik aurrera diskoak irristatu gabe errodatzen du, eta errodatzearen baldintza betetzen da: v_mz=w R.

Programak idatziz erakusten ditu leihatilaren goiko eta eskumako aldean honako datuak:

• Denbora, t
• Errotazioaren abiadura angeluarra, w
• Masa-zentroaren translazio-abiadura, v_mz
• Zorua ukitzen ari den P puntuaren abiadura, v_P

Leihatilaren goiko aldean, grafiko batean, bi magnitude adierazten dira denboraren menpe:

• Urdinez, errotazioaren abiadura, wR (baina R=1), denborarekin nola aldatzen doan.
• Gorriz, translazioaren abiadura, v_mz, denborarekin nola aldatzen doan.

Ikusten denez, hasieran, bietako bat handiagoa da bestea baino (v₀>w₀·R  edo  v₀<w₀·R) baina handiena gutxituz doa denborarekin eta txikiena, handituz. Azkenean, biak balio berera iristen direnean, horretan segitzen dute, konstante.

Leihatilaren goiko eta ezkerreko aldean tarta-itxurako diagrama batek energien balantzea adierazten du:

1.  Hasierako energia bi sektoretan banatuta:

• Urdina, errotaziozko energia zinetikoa.
• Gorria, translaziozko energia zinetikoa.

2.  Uneoro, energia bi sektoretan banatzen da:

• Urdin argia, errotaziozko energia zinetikoa.
• Arrosa-kolorekoa, translaziozko energia zinetikoa.

Denbora pasatzen uzten bada, azkenean, marruskaduraren eraginez, diskoak ez du irristatzen (v_p=0) baina errodatzen segitzen du. Energiaren balantzean frogatzen denez, amaieran errotazioaren energia zinetikoa energia zinetiko totalaren heren bat da. Horregatik, tarta-itxurako diagraman, amaieran errotazioaren energia zinetikoak 120º osatzen ditu beti eta translaziozko energia zinetikoak aldiz 240º.

Bestalde ikus daiteke, amaierako energia zinetikoa beti dela hasierakoa baino txikiagoa, eta galdutako energia zinetikoa marruskadura-indarrak egindako lana dela.

Programaren emaitzetan egiaztatzen da:

1.  Diskoaren translazio-abiadura amaieran beti hau dela:

2.  Diskoak irristatzen duen denbora-tartea beti hau dela:

3.  Amaieran, irristatzen ez duenean, errodatzearen baldintza betetzen dela:

v_mz=w R.