Solido zurruna

Talkaren ondorengo higidura-mota

Irristatu gabe errodatzea

Saiakuntza

Partikula-multzoen dinamikan aurrez-aurreko talkak  aztertzen dira (dimentsio bakarrean), baina bi partikulen artean. Horretarako aplikatu behar dira, batetik, momentu lineal totalaren kontserbazioa eta, bestetik, itzultze-koefizientearen definizioa.

Orri honetan berriz, aurrez-aurreko talkak aztertuko dira, baina bi esferen artean, biak erradio berekoak baina masa ezberdinetakoak. Hemen, errotazioa ere kontutan hartu behar da, eta talkaren ondoren, orokorrean, ez da betetzen irristatu gabe errodatzearen baldintza, alegia, v_mz¹w ·r.

Abiadurak justu talkaren ondoren

Planteatzen bada partikuletan bezala, bi datu-multzo behar dira: masak eta talka baino lehenagoko abiadurak : m₁, m₂ , u₁ eta u₂. Horrela esferen masa-zentroen abiadurak kalkula daitezke talkaren ondoren: v₁ eta v₂ .

1.  Momentu linealaren kontserbazio-printzipioa:

m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂

2.  Eta itzultze-koefizientearen definizioa: e.

v₁-v₂₌-e(u₁-u₂)

Ekuazio bi horietatik, eta e ezaguna bada, talkaren ondorengo abiadurak bakan daitezke: v₁ eta v₂

                (1)

Hemen izendatu da M=m₂/m₁.

Bi esferen arteko marruskadura-indarra arbuiagarria bada, talkaren ondoren, bi esferen abiadura angeluarrak ez dira aldatzen:

w₁=u₁/r        w₂₌u₂/r          (2)

Talkaren ondorengo higidura-mota

Justu talkaren ondoren, orokorrean, ez da betetzen esferak irristatu gabe errodatzea: v_mz¹ w ·r. Beraz, aurreko orri batean ikusi genuen bezala (Errotazioa eta translazioa egokituta (I)) zoruak esferei eragiten dien marruskadura-indarrak irristatzearen aurka erantzuten du eta, denbora-tarte baten ondoren, esferek irristatu gabe errodatzea lortzen du: v_mz=w r. Geroago ikusiko ditugu higidura-mota posibleak adibide konkretuekin.

Dei diezaiegun m₁ eta m₂ edota m_i (i=1, 2), esfera bakoitzak zoruarekin duen marruskadura-koefizienteari. Talkaren ondoren, gerta daiteke esferaren P kontaktu-puntuaren abiadura positiboa zein negatiboa izatea.

Lehen kasua: demagun vp=vmz-w ·r > 0 P puntuaren abiadura positiboa bada (eskumarantz), orduan zoruaren marruskadura-indarra, Fr , negatiboa izango da (ezkerrerantz), alboko irudiak erakusten duen bezala, eta: Fr=mi N=mi mg. Esfera horren higidura-ekuazioak:

• Masa-zentroaren translazioa:

m·a_mz= -F_r
a_mz= - m_i g.

Hortaz, a_mz<0 denez, orduan esferaren masa-zentroaren abiadura (v_mz) gutxituz doa.

• Esferaren errotazioa, bere masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

I_mza =F_r·r

Eta hortaz, a >0 denez, esferaren abiadura angeluarra (w) handituz doa.

Bigarren kasua: demagun vp=vc-w ·r <0 P puntuaren abiadura negatiboa bada, orduan zoruaren marruskadura-indarra, Fr , positiboa izango da (eskumarantz), eta: Fr=mi N=mi mg. Esfera horren higidura-ekuazioak:

• Masa-zentroaren translazioa:

ma_mz=F_r
a_mz=m_i g

a_mz>0 denez, orduan esferaren masa-zentroaren abiadura (v_mz) handituz doa.

• Esferaren errotazioa, bere masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

I_mza = -F_r·r

Eta hortaz, a <0 denez, esferaren abiadura angeluarra (w) gutxituz doa.

Bi azelerazioak konstanteak direnez (translaziozko a_mz eta errotaziozko a), abiaduren adierazpenak kalkula daitezke (v_mz eta w), higidura uniformeki azeleratuaren ekuazioak erabiliz:

Irristatu gabe errodatzea

Irristatzearen edozein kasutan (v_P<0 edo v_P>0), marruskadura-indarraren eraginez, esferaren P puntuaren abiadura gutxituz doa, eta azkenean gelditu egiten da: v_P=0. Hori gertatzeko, t denbora-tarte bat iragan behar da, honako baldintza betetzen den arte: v_mz=w ·r , eta orduan esferak irristatu gabe errodatzen jarraituko du. Esferaren masa-zentroaren abiadura, amaieran, marruskadura-koefizientearen independente ateratzen da:

Baina, irristatu gabe errodatzeko iragan behar den denbora-tartea bai da marruskadura-koefizientearen menpekoa, eta ezberdina izan daiteke esfera bakoitzarentzat. Hona hemen t₁ eta t₂, irristatzearen iraupenak:

Amaieran, bi esferek irristatzeari uzten diotenean (t₁ eta t₂ denbora iragan ondoren), abiadura konstanteak izango dituzte (V₁ eta V₂):

hemen, v₁ eta v₂ dira bi esferen masa-zentroen translazio-abiadurak justu talkaren ondoren [(1) adierazpenak], eta ω₁ eta ω₂ dira bi esferen abiadura angeluarrak une horretan bertan [(2) adierazpenak].

Marruskadura-koefizienteak (μ₁ eta μ₂) ez dira agertzen esferen abiadura finaletan, baina bai agertzen dira irristatzeen iraupenetan, t₁ eta t₂.

Adibidea

• Bi esferek masa bera. Masen arteko erlazioa: M=m₂/m₁=1.0
• Abiadurak talka baino lehen: u₁=0.75 eta u₂= -0.5.
• Itzultze-koefizientea: e=0.72
• Esferek zoruarekin duten marruskadura-koefizientea: m =0.05.

1.-Kalkula ditzagun esferen abiadurak justu talkaren ondoren: (1) adierazpenak

v₁= -0.325
v₂= 0.575

2.- Abiadura angeluarrak ez dira aldatzen bi esferen artean marruskadurarik ez dagoelako.

r·ω₁= u₁= 0.75
r·ω₂= u₂= -0.5

3.-Talkaren ondoren esferak nola mugitzen diren.

• Lehen esfera

Lehen esferak zorua ukitzen du P puntuarekin. Hona hemen P puntuaren abiadura: vP=v1-rω1= -0.325-0.75= -1.075 Irudian ikusten denez, esfera ezkerrerantz desplazatzen da, eta erlojuaren orratzen alde biratzen du. Marruskadura-indarraren noranzkoa esferaren translazioaren eta errotazioaren aurkakoa  da.

Irristatzeak irauten duen bitartean, hona hemen translazio eta errotazio-abiaduren adierazpenak:

v₁= -0.325+0.05·9.8·t
rω₁=0.75-5·0.05·9.8·t/2

Irristatzeak irauten du, v_P=0 baldintza betetzen den arte, bestela esanda, v₁=rω₁ betetzen den arte.

Dei diezaiogun iraupen horri t₁. Planteatzen bada, v₁(t₁)=rω₁(t₁) hona emaitza: t₁=0.63 s.

Eta une horretan, irristatzea amaitzen denean, esferaren translazio-abiadura hau da:

V₁= -0.325+0.05·9.8·t₁= -0.02 m/s

• Bigarren esfera

Irudian ikusten denez, esfera eskumarantz desplazatzen da, eta erlojuaren orratzen kontra biratzen du. Kalkula dezagun P puntuaren abiadura: vP=v2-rω2=0.575+0.5= 1.075 P puntuak abiadura positiboa duenez, marruskadura indarra negatiboa izango da. Esfera honetan ere, marruskadura-indarraren noranzkoa esferaren translazioaren eta errotazioaren aurkakoa da.

Irristatzeak irauten duen bitartean, hona hemen translazio eta errotazio-abiaduren adierazpenak:

v₂=0.575-0.05·9.8·t
rω₂=-0.5+5·0.05·9.8·t/2

Irristatzeak irauten du, v_P=0 baldintza betetzen den arte, bestela esanda, v₂=rω₂ betetzen den arte.

Dei diezaiogun iraupen horri t₂. Planteatzen bada, v₂(t₂)=rω₂(t₂) hona emaitza: t₂=0.63 s. (justu t₁-en berdina ateratzen da).

Eta une horretan, irristatzea amaitzen denean, esferaren translazio-abiadura hau da:

V₂=0.575-0.05·9.8· t₂=0.27 m/s

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• 1 esferaren abiadura, u₁, eta 2 esferaren abiadura, u₂, talka baino lehen. Dagokion kontrolean idatziz.
• Talkaren Itzultze koefizientea, e, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
• Masen erlazioa, M=m₂/m₁ dagokion kontrolean idatziz.
• Esferek zoruarekin duten marruskadura-koefizientea finkotzat hartzen da: m₁= m₂=0.05. Koefiziente horrek ez du eraginik bi esferen amaierako abiaduretan baina bai irristatzeen iraupenetan.
• Esferen erradioa ere finkotzat hartu da: r=10 cm

Hasi botoia sakatu.

Ikusten da nola mugitzen diren bi esferak, irristatu gabe errodatzen, elkarrekin topo egiten duten arte. Talkaren ondoren, bat-batean, bi esferek translazio-abiadura ezberdinak dituzte, baina errotaziozkoak justu talka baino lehenagokoak dira. Horren arabera irristatu egingo dute. Gelditu eta Pausoka botoiekin ikus daitezke justu talkaren ondorengo abiadurak: v₁ eta v₂.

Programak idatziz erakusten ditu bi esferen masa-zentroen translazio-abiadurak, errotazio abiadurak eta zorua ukitzen duten P kontaktu-puntuen abiadurak.

Energiaren balantzea barra-diagramekin adierazten da: errotaziozko energia zinetikoa eta translaziozkoa. Talka baino lehen konstantea da eta talkaren ondoren, irristatzen ari den bitartean gutxitzen doa, baina irristatzea amaitzean konstante bilakatzen da.

Bektoreekin adierazten dira batetik, esferen masa-zentroen abiadurak, eta bestetik esferek zoruarekin duten P kontaktu-puntuaren abiadurak (irristatzea amaitzean anulatzen dira).

Esaterako, saia bedi talka erabat elastikoa (e=1) eta masa bereko esferak, M=1, billar-bolen kasua.