Velocidad constante de la corriente

En este apartado, volvemos a estudiar el mismo caso descrito al principio de la página titulada Movimiento relativo de traslación uniforme el Ejemplo 2, el primer caso: la velocidad del barco v respecto de la corriente es mayor que la de la corriente c

El vector velocidad $\overrightarrow{V}$, del barco respecto de tierra es la suma vectorial

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{V}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{c}=\left(v\cos \theta ·\widehat{i}+v\sin \theta ·\widehat{j}\right)+c\widehat{i}\\ \{\begin{array}{l}{V}_x=v\cos \theta +c\\ V_y=v\sin \theta \end{array}\end{array}}$

Para que el nadador llegue al punto P, V_x=0

${\displaystyle \cos \theta =-\frac{c}{v}}$

Para obtener θ, se tiene que cumplir que, c/v≤1. Es decir, c≤v

Sabiendo que la anchura del río es d. El tiempo de viaje de O a P es

${\displaystyle T=\frac{d}{V_y}=\frac{d}{v\sin \theta }=\frac{d}{v\sqrt{1-{\cos }^2}\theta }=\frac{d}{\sqrt{v^2-c^2}}}$

Velocidad que se incrementa linealmente

Supongamos que la velocidad de la corriente no es constante. El perfil de la velocidad de la corriente es el que se muestra en la figura. En el centro la velocidad es máxima y en las orillas la velocidad de la corriente es nula

La velocidad de la corriente es

${\displaystyle c(y)=\{\begin{array}{l}2c\frac{y}{d},y<\frac{d}{2}\\ 2c\left(1-\frac{y}{d}\right),\frac{d}{2}\le y\le d\end{array}}$

o su expresión equivalente

${\displaystyle c(y)=c\left(1-\frac{\left|2y-d\right|}{d}\right),0\le y\le d}$

Las componentes del vector velocidad del nadador $\overrightarrow{V}$ respecto de Tierra son

${\displaystyle \overrightarrow{V}\{\begin{array}{l}{V}_x=v\cos \theta +c(y)\\ V_y=v\sin \theta \end{array}}$

Para que llegue al punto P, opuesto al punto de partida O, se tiene que cumplir, que el desplazamiento Δx=0 en el instante de llegada T

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta x={\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{V}_x·dt}=\frac{1}{V_y}{\displaystyle \underset{0}{\overset{d}{\int }}{V}_x·dy}=0\\ \Delta x=\frac{1}{V_y}\left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{d/2}{\int }}\left(v\cos \theta +2c\frac{y}{d}\right)·dy+{\displaystyle \underset{d/2}{\overset{d}{\int }}\left(v\cos \theta +2c\left(1-\frac{y}{d}\right)\right)·dy}}\right\}=\\ \frac{1}{V_y}\left\{v\cos \theta \frac{d}{2}+\frac{cd}{4}+v\cos \theta \frac{d}{2}+cd-\frac{3cd}{4}\right\}\\ \Delta x=\frac{d}{v\sin \theta }\left\{v\cos \theta +\frac{c}{2}\right\}=0\end{array}}$

El ángulo θ que hace el vector velocidad relativa $\overrightarrow{v}$ del nadador con el eje X, es

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos \theta =-\frac{c}{2v}\\ \theta =\pi -\arccos \left(\frac{c}{2v}\right)\end{array}}$

Se tiene que cumplir que, c/(2v)≤1. Es decir, c≤2v

Las componentes del vector velocidad $\overrightarrow{V}$ del nadador respecto de Tierra son

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_y=v\sin \theta =v\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=v\sqrt{1-\frac{c^2}{4v^2}}=\frac{\sqrt{4v^2-c^2}}{2}\\ V_x=v\cos \theta +c(y)=\{\begin{array}{l}-\frac{c}{2}+2c\frac{y}{d},y<\frac{d}{2}\\ \frac{3c}{2}-2c\frac{y}{d},\frac{d}{2}\le y\le d\end{array}\end{array}}$

Tiempo de viaje

El tiempo T que tarda en desplazarse de O a P en la orilla opuesta es

${\displaystyle T=\frac{d}{V_y}=\frac{2d}{\sqrt{4v^2-c^2}}}$

Trayectoria

• Entre y=0 e y=d/2

${\displaystyle \begin{array}{l}x={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{V}_{x}dt}=\frac{1}{V_y}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{V}_{x}dy}=\frac{2}{\sqrt{4v^2-c^2}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{V}_{x}dy}\\ x=\frac{2}{\sqrt{4v^2-c^2}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{y<d/2}{\int }}\left(-\frac{c}{2}+2c\frac{y}{d}\right)}dy=\frac{c}{\sqrt{4v^2-c^2}}\left(-y+\frac{2}{d}{y}^2\right)\end{array}}$

Para y=d/2, x=0

• Entre y=d/2 e y=d

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{2}{\sqrt{4v^2-c^2}}{\displaystyle \underset{d/2}{\overset{y<d}{\int }}\left(\frac{3c}{2}-2c\frac{y}{d}\right)}dy=\frac{c}{\sqrt{4v^2-c^2}}\left\{3y-3\frac{d}{2}-\frac{4}{d}\left(\frac{y^2}{2}-\frac{d^2}{8}\right)\right\}\\ x=\frac{c}{\sqrt{4v^2-c^2}}\left(3y-2\frac{y^2}{d}-d\right)\end{array}}$

La ecuación de la trayectoria es

${\displaystyle x(y)=\{\begin{array}{l}\frac{c}{\sqrt{4v^2-c^2}}\left(-y+\frac{2}{d}{y}^2\right),y<\frac{d}{2}\\ \frac{c}{\sqrt{4v^2-c^2}}\left(3y-2\frac{y^2}{d}-d\right),\frac{d}{2}\le y\le d\end{array}}$

Representamos la trayectoria del nadador con los siguientes datos

• Velocidad del nadador respecto de la corriente, v=1.5
• Velocidad de la corriente, c=2
• Anchura del río, d=10

Se cumple que c/(2v)≤1

c=2; %velocidad de la corriente
v=1.5; %velocidad del nadador respecto de la corriente
p=c/sqrt(4*v^2-c^2);
d=10; %anchura del río
hold on
fplot(@(y) p*(-y+2*y.^2/d), [0,d/2])
fplot(@(y) p*(3*y-2*y.^2/d-d),[d/2,d])
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria')
view([90 -90])
T=2*d/sqrt(4*v^2-c^2); %tiempo de viaje
disp(T)

El nadador tarda T=8.9443 en atravesar el río

8.9443

La velocidad de la corriente tiene un perfil dado por una función potencial

El perfil de la velocidad de la corriente está dada por la función potencial

${\displaystyle c(y)=c\left(1-{\left(\frac{2y-d}{d}\right)}^{2n}\right)}$

Donde n es un exponente entero, n=1, 2, 3,...

Representamos el perfil de la velocidad de la corriente c(y), para tres valores de n=1, 2, 3

Datos

• Velocidad de la corriente, c=2
• Anchura del río, d=10

c=2; %velocidad de la corriente
d=10; %anchura del río
hold on
for n=1:3
    f=@(y) c*(1-((2*y-d)/d).^(2*n));
    fplot(f, [0,d],'displayName',num2str(n))
end
hold off
grid on
axis equal
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Perfil de la velocidad de la corriente')
view([90 -90])

La velocidad de la coriente es máxima en el centro del río y cero en las orillas

Las componentes del vector velocidad del nadador $\overrightarrow{V}$ respecto de Tierra son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{V}_x=v\cos \theta +c\left(1-{\left(\frac{2y-d}{d}\right)}^{2n}\right)\\ V_y=v\sin \theta \end{array}}$

Para que llegue al punto P, opuesto al punto de partida O, se tiene que cumplir, que el desplazamiento Δx=0 en el instante de llegada T

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta x={\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{V}_x·dt}=\frac{1}{V_y}{\displaystyle \underset{0}{\overset{d}{\int }}{V}_x·dy}\\ \Delta x=\frac{1}{V_y}{\displaystyle \underset{0}{\overset{d}{\int }}\left(v\cos \theta +c\left(1-{\left(\frac{2y-d}{d}\right)}^{2n}\right)\right)·dy}\\ -c{\displaystyle \underset{0}{\overset{d}{\int }}{\left(\frac{2y-d}{d}\right)}^{2n}dy}=-\frac{cd}{2\left(2n+1\right)}\left(1^{2n+1}-{\left(-1\right)}^{2n+1}\right)=\frac{cd}{2n+1}\\ \Delta x=\frac{d}{v\sin \theta }\left\{\left(v\cos \theta +c\right)d-\frac{cd}{2n+1}\right\}=0\end{array}}$

El ángulo θ que hace el vector velocidad relativa $\overrightarrow{v}$ del nadador con el eje X, es

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos \theta =-\frac{c}{v}\frac{2n}{2n+1}\\ \theta =\pi -\arccos \left(\frac{c}{v}\frac{2n}{2n+1}\right)\end{array}}$

Se tiene que cumplir que,

${\displaystyle \frac{c}{v}\frac{2n}{2n+1}\le 1}$

Cuando n es grande la velocidad de la corriente es casi constante, cosθ≈-c/v, como en el primer apartado

Tiempo de viaje

El tiempo T que tarda en desplazarse de O a P en la orilla opuesta es

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_y=v\sin \theta =v\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=v\sqrt{1-{\left(\frac{c}{v}\frac{2n}{2n+1}\right)}^2}\\ T=\frac{d}{V_y}=\frac{d}{v\sqrt{1-{\left(\frac{c}{v}\frac{2n}{2n+1}\right)}^2}}\end{array}}$

Trayectoria

${\displaystyle \begin{array}{l}x={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{V}_{x}dt}=\frac{1}{V_y}{\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}{V}_{x}dy}=\frac{1}{v\sqrt{1-{\left(\frac{c}{v}\frac{2n}{2n+1}\right)}^2}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}\left(v\cos \theta +c\left(1-{\left(\frac{2y-d}{d}\right)}^{2n}\right)\right)dy}\\ x=\frac{c}{v\sqrt{1-{\left(\frac{c}{v}\frac{2n}{2n+1}\right)}^2}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}\left(\frac{1}{2n+1}-{\left(\frac{2y-d}{d}\right)}^{2n}\right)dy}\\ x=\frac{c}{v\sqrt{1-{\left(\frac{c}{v}\frac{2n}{2n+1}\right)}^2}}\left\{\frac{y}{2n+1}-\frac{d}{2\left(2n+1\right)}\left({\left(\frac{2y-d}{d}\right)}^{2n+1}-{\left(-1\right)}^{2n+1}\right)\right\}\\ x=\frac{c}{v\sqrt{1-{\left(\frac{c}{v}\frac{2n}{2n+1}\right)}^2}}\left\{\frac{y}{2n+1}-\frac{d}{2\left(2n+1\right)}\left(1+{\left(\frac{2y-d}{d}\right)}^{2n+1}\right)\right\}\\ x=\frac{c}{\sqrt{{\left(\left(2n+1\right)v\right)}^2-{\left(2nc\right)}^2}}\left\{y-\frac{d}{2}\left(1+{\left(\frac{2y-d}{d}\right)}^{2n+1}\right)\right\}\end{array}}$

Representamos la trayectoria del nadador con los siguientes datos

• Velocidad del nadador respecto de la corriente, v=1
• Velocidad de la corriente, c=1.15
• Anchura del río, d=10

c=1.15; %velocidad de la corriente
v=1; %velocidad del bote respecto de la corriente
d=10; %anchura del río

hold on
for n=1:3 
    a_th=2*n*c/(v*(2*n+1));
    disp(a_th)
    if a_th>1
        break;
    end
    th=acos(a_th);
    f=@(y) c*(y-d*(1+((2*y-d)/d).^(2*n+1))/2)/sqrt(((2*n+1)*v)^2-(2*n*c)^2);
    fplot(f, [0,d],'displayName',num2str(n))
end
hold off
grid on
axis equal
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectorias')
view([90 -90])

Se cumple la condición de que el argumento de acos sea menor o igual a la unidad

    0.7667
    0.9200
    0.9857

Tiempo mínimo

Consideremos el segundo ejemplo, la velocidad de la corriente tiene un perfil lineal

${\displaystyle \begin{array}{l}c(y)=\{\begin{array}{l}2c\frac{y}{d},y<\frac{d}{2}\\ 2c\left(1-\frac{y}{d}\right),\frac{d}{2}\le y\le d\end{array}\\ c(y)=c\left(1-\frac{\left|2y-d\right|}{d}\right),0\le y\le d\end{array}}$

El tiempo T que tarda el nadador en atravesar el río es

${\displaystyle T={\displaystyle \underset{0}{\overset{d}{\int }}\frac{dy}{V_y}=\frac{1}{v}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{d}{\int }}\frac{dy}{\sin \theta }}}$

Queremos que este tiempo sea mínimo, sujeto a la condición de que el nadador llegue al punto P en la otra orilla

${\displaystyle \Delta x={\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{V}_x·dt}={\displaystyle \underset{0}{\overset{d}{\int }}\frac{V_x}{V_y}·dy}={\displaystyle \underset{0}{\overset{d}{\int }}\frac{\cos \theta +\frac{c}{v}\left(1-\frac{\left|2y-d\right|}{d}\right)}{\sin \theta }·dy}=0}$

Tenemos un problema de extremo condicionado

Formamos la función auxiliar, dependiente de un parámetro λ

${\displaystyle F\left(\theta \right)=\frac{1}{v\sin \theta }+\lambda \frac{\cos \theta +\frac{c}{v}\left(1-\frac{\left|2y-d\right|}{d}\right)}{\sin \theta }}$

Aplicamos la ecuación Euler-Lagrange

${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial \theta }-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{\theta }}\right)=0}$

La función F(θ) no depende de la derivada de θ, $\dot{\theta }=\frac{d\theta }{dy}$

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial \theta }=0\\ -\frac{\cos \theta }{v{\sin }^2\theta }+\lambda \frac{-{\sin }^2\theta -\left(\cos \theta +\frac{c}{v}\left(1-\frac{\left|2y-d\right|}{d}\right)\right)\cos \theta }{{\sin }^2\theta }=0\\ \cos \theta +\lambda \left(v{\sin }^2\theta +\left(v\cos \theta +c\left(1-\frac{\left|2y-d\right|}{d}\right)\right)\cos \theta \right)=0\\ \cos \theta +\lambda \left(v+c\left(1-\frac{\left|2y-d\right|}{d}\right)\cos \theta \right)=0\\ \cos \theta =-\frac{\lambda v}{1+\lambda c\left(1-\frac{\left|2y-d\right|}{d}\right)}\end{array}}$

El ángulo θ que hace el vector velocidad relativa $\overrightarrow{v}$ con el eje X no es constante. Cambia con la coordenada y

Se calcula el parámetro λ sabiendo que el desplazamiento final, Δx=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta x={\displaystyle \underset{0}{\overset{d}{\int }}\frac{-\frac{\lambda v}{1+\lambda c\left(1-\frac{\left|2y-d\right|}{d}\right)}+\frac{c}{v}\left(1-\frac{\left|2y-d\right|}{d}\right)}{\sqrt{1-{\left(\frac{\lambda v}{1+\lambda c\left(1-\frac{\left|2y-d\right|}{d}\right)}\right)}^2}}·dy}={\displaystyle \underset{0}{\overset{d/2}{\int }}\frac{-\frac{\lambda v}{1+2\lambda c\frac{y}{d}}+2\frac{c}{v}\frac{y}{d}}{\sqrt{1-{\left(\frac{\lambda v}{1+2\lambda c\frac{y}{d}}\right)}^2}}·dy}+{\displaystyle \underset{d/2}{\overset{d}{\int }}\frac{-\frac{\lambda v}{1+2\lambda c\left(1-\frac{y}{d}\right)}+2\frac{c}{v}\left(1-\frac{y}{d}\right)}{\sqrt{1-{\left(\frac{\lambda v}{1+2\lambda c\left(1-\frac{y}{d}\right)}\right)}^2}}·dy}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{d/2}{\int }}\frac{-\lambda v+2\frac{c}{v}\frac{y}{d}\left(1+2\lambda c\frac{y}{d}\right)}{\sqrt{{\left(1+2\lambda c\frac{y}{d}\right)}^2-{\lambda }^2{v}^2}}·dy}+{\displaystyle \underset{d/2}{\overset{d}{\int }}\frac{-\lambda v+2\frac{c}{v}\left(1-\frac{y}{d}\right)\left(1+2\lambda c\left(1-\frac{y}{d}\right)\right)}{\sqrt{{\left(1+2\lambda c\left(1-\frac{y}{d}\right)\right)}^2-{\lambda }^2{v}^2}}·dy}=0\end{array}}$

Definimos las variables

${\displaystyle \begin{array}{l}Y=\frac{y}{d},\beta =\lambda v,k=\frac{c}{v}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{1/2}{\int }}\frac{-\beta +2kY\left(1+2k\beta Y\right)}{\sqrt{{\left(1+2k\beta Y\right)}^2-{\beta }^2}}·dY}+{\displaystyle \underset{1/2}{\overset{1}{\int }}\frac{-\beta +2k\left(1-Y\right)\left(1+2k\beta \left(1-Y\right)\right)}{\sqrt{{\left(1+2k\beta \left(1-Y\right)\right)}^2-{\beta }^2}}·dY}=0\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{1/2}{\int }}\frac{-\beta +2kY\left(1+2k\beta Y\right)}{\sqrt{{\left(1+2k\beta Y\right)}^2-{\beta }^2}}·dY}=0\end{array}}$

La segunda integral entre 1/2 y 1 es igual a la primera entre 0 y 1/2

Resolvemos gráficamente la ecuación transcendente en β, f(β)=0

Representamos f(β), la función se anula para β=0.62

k=1; %cociente c/v
bb=0:0.01:1;
z=zeros(1, length(bb));
j=1;
for b=bb
    f=@(x) (-b+2*k*x.*(1+2*k*b*x))./sqrt((1+2*k*b*x).^2-b^2);
     z(j)=integral(f,0,0.5);
     j=j+1;
end
plot(bb,z)
grid on
xlabel('\beta')
ylabel ('f(\beta)')
title('Ecuación transcendente')

Tiempo mínimo

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos \theta =\{\begin{array}{l}-\frac{\lambda v}{1+2\lambda c\frac{y}{d}},y<\frac{d}{2}\\ -\frac{\lambda v}{1+2\lambda c\left(1-\frac{y}{d}\right)},\frac{d}{2}\le y\le d\end{array}\\ T=\frac{1}{v}{\displaystyle \underset{0}{\overset{d}{\int }}\frac{dy}{\sin \theta }}=\frac{1}{v}{\displaystyle \underset{0}{\overset{d}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}}=\\ \frac{1}{v}{\displaystyle \underset{0}{\overset{d/2}{\int }}\frac{1+2\lambda c\frac{y}{d}}{\sqrt{{\left(1+2\lambda c\frac{y}{d}\right)}^2-{\lambda }^2{v}^2}}}dy+\frac{1}{v}{\displaystyle \underset{d/2}{\overset{d}{\int }}\frac{1+2\lambda c\left(1-\frac{y}{d}\right)}{\sqrt{{\left(1+2\lambda c\left(1-\frac{y}{d}\right)\right)}^2-{\lambda }^2{v}^2}}}dy=\\ \frac{2}{v}{\displaystyle \underset{0}{\overset{d/2}{\int }}\frac{\left(1+2\lambda c\frac{y}{d}\right)dy}{\sqrt{{\left(1+2\lambda c\frac{y}{d}\right)}^2-{\lambda }^2{v}^2}}}=\frac{d}{\lambda cv}\left(\sqrt{{\left(1+\lambda c\right)}^2-{\lambda }^2{v}^2}-\sqrt{1-{\lambda }^2{v}^2}\right)\end{array}}$

En términos de las variables adimensionales

${\displaystyle T_m=\frac{d}{vk\beta }\left(\sqrt{{\left(1+k\beta \right)}^2-{\beta }^2}-\sqrt{1-{\beta }^2}\right)}$

>> k=1;
>> b=0.62;
>> T=(sqrt((1+b*k)^2-b^2)-sqrt(1-b^2))/(b*k)
T =    1.1485

Parra k=1, el tiempo mínimo es

${\displaystyle T_m=\text{1}.\text{1485}\frac{d}{v}}$

El tiempo calculado en el segundo apartado era

${\displaystyle T=\frac{2d}{\sqrt{4v^2-c^2}}=\frac{2d}{v\sqrt{4-k^2}}}$

• Para k=1, T=1.1547d/v, algo mayor

• Para k=1.5, b=0.97. El tiempo mínimo es T_m=1.3829d/v y el tiempo T=1.5119d/v, algo mayor

En el segundo apartado, el ángulo θ que hace el vector velocidad relativa $\overrightarrow{v}$ con el eje X es constante, cosθ=-c/(2v). En el mínimo, el ángulo θ cambia con la posición y

${\displaystyle \cos \theta =\{\begin{array}{l}-\frac{\beta }{1+2k\beta \frac{y}{d}},y<\frac{d}{2}\\ -\frac{\chi }{1+2k\beta \left(1-\frac{y}{d}\right)},\frac{d}{2}\le y\le d\end{array}}$

Hemos resuelto la ecuación transcedente, para k=1, β=0.62

k=1;
b=0.62;
d=10; %anchura del río
hold on
fplot(@(y) acos(-b./(1+2*k*b*y/d)), [0,d/2])
fplot(@(y) acos(-b./(1+2*k*b*(1-y/d))),[d/2,d])
line([0,d],[acos(-k/2),acos(-k/2)]) %constante
hold off
set(gca,'YTick',pi/2:pi/12:pi)
set(gca,'YTickLabel',{'\pi/2','7\pi/12','2\pi/3','3\pi/4',
'5\pi/6','11\pi/12', '\pi'})
grid on
xlabel('y')
ylabel('\theta')
title('Angulo \theta')

El ángulo θ cambia en un pequeño intervalo alrededor de 2π/3 (120°), que es el ángulo constante, cosθ=-c/(2v)=-k/2

Referencias

Kyle Kou Yuchang, Simon Meng Zimin, Paul Zhang Yixing. Discussion on the Physics Problem of a Boat Crossing a River. arXiv. Mathematical Physics