Cálculo de variaciones

Método de los multiplicadores de Lagrange

Sea z=f(x1,x2,x3,...xn) una función de n variables. Supongamos que las variables están relacionados por m<n condiciones complementarias

g1(x1,x2,x3,...xn)=0
g2(x1,x2,x3,...xn)=0
.........
gm(x1,x2,x3,...xn)=0

Consideremos una nueva función F(x1,x2,x3,...xn)

F=f+ i=1 m λ i g i

donde λi son factores indeterminados

Formamos el sistema de ecuaciones

{ F x 1 =0 F x 2 =0 .... F x n =0

Que junto a m condiciones, gi(x1,x2,x3,...xn)=0, determinan los valores de los m parámetros λ1, λ2...λm y las n coordenadas x1, x2...xn de los posibles puntos extremos (máximos o mínimos) condicionados de la función z=f(x1,x2,x3,...xn)

Ejemplo 1

Hallar el extremo de la función, f(x,y)= cos 2 x+ cos 2 y , con la condición, y-x=π/4

Formamos la función de Lagrange

F(x,y)= cos 2 x+ cos 2 y+λ( yx π 4 )

El sistema de ecuaciones para determinar el parámetro λ y las coordenadas de los posibles puntos extremos (x,y) es

{ F x =2cosx·sinxλ=0 F y =2cosy·siny+λ=0 yx π 4 =0

La solución de este sistema de ecuaciones es

{ sin( 2x )=λ sin( 2y )=λ yx= π 4

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica

sin( 2A )+sin( 2B )=2( sin( A+B )cos( AB ) )

sin(x+y)cos(y-x)=0
sin(x+y)·cos(π/4)=0
x+y=nπ, n=0, ±1,±2...

que con la ecuación y-x=π/4, da lugar a los siguientes puntos

x=n π 2 π 8 y=n π 2 + π 8 n=0,±1,±2...

Ejemplo 2

Hallar el extremo condicionado de la función f(x,y,z)=xyz con la condición de que

{ g 1 (x,y,z)=x+yz3=0 g 2 (x,y,z)=xyz8=0

Formamos la función de Lagrange

F(x,y,z)=xyz+ λ 1 ( x+yz3 )+ λ 2 ( xyz8 )

El sistema de ecuaciones para determinar los λ y las coordenadas de los posibles puntos de extremo es

{ F x =yz+ λ 1 + λ 2 =0 F y =xz+ λ 1 λ 2 =0 F z =xy λ 1 λ 2 =0

Que junto con las dos condiciones, dan lugar a 5 ecuaciones con cinco incógnitas, cuya solución es

x= 11 4 y= 5 2 z= 11 4 λ 1 = 11 32 λ 2 = 231 32

Ecuación de Euler-Lagrange

Dada una función f(x,y, y ˙ ) , tenemos que encontrar la curva y=y(x) que hace que la integral

I(y)= x 1 x 2 f(x,y, y ˙ )dx

denominado funcional, sea un extremo (máximo o mínimo), con las condiciones de contorno

{ y( x 1 )= y 1 y( x 2 )= y 2

El símbolo y ˙ = dy dx

La curva y=y(x) deberá cumplir la ecuación de Euler-Lagrange

f y d dx ( f y ˙ )=0

o bien, la equivalente

f x d dx ( f f y ˙ y ˙ )=0

La demostración se puede encontrar en los textos de Matemáticas que incluyan un capítulo dedicado al cálculo de variaciones. Como veremos en los ejemplos

donde C1 es una constante a determinar

Ejemplo 1

¿En qué curva puede alcanzar su extremo el funcional

I(y)= 1 2 ( y ˙ 2 2xy ) dx

con las condiciones de contorno

y(1)=0 , y(2)=-1?

Aplicamos la ecuación Euler-Lagrange a la función f(x,y, y ˙ )= y ˙ 2 2xy . Las derivadas parciales valen

f y ˙ =2 y ˙ f y =2x d dx ( f y ˙ )=2 y ¨

El resultado es

d 2 y d x 2 =x dy dx = x 2 2 + C 1 y= x 3 6 + C 1 x+ C 2

Con las condiciones de contorno determinamos C1=1/6 y C2=0. El extremo puede alcanzarse sólamente en la curva

y= x 6 ( 1 x 2 )

Ejemplo 2

Entre las curvas que unen los puntos A(1,3) y B(2,5), hallar la curva y=y(x) en la que puede alcanzar su extremo la funcional

I(y)= 1 2 y ˙ (1+ x 2 y ˙ )dx

En este caso, la función f(x,y, y ˙ )= y ˙ (1+ x 2 y ˙ ) , no depende de y, por lo que ∂f/∂y=0. La ecuación de Euler-Lagrange es

f y ˙ =1+2 x 2 y ˙ 1+2 x 2 dy dx = C 1

Cuya solución es

1+2 x 2 dy dx = C 1 dy dx = C 1 1 2 x 2 y= 1 C 1 2x + C 2

Con las condiciones de contorno determinamos C1=9 y C2=7. El extremo puede alcanzarse sólo en la curva

y=7 4 x

Ejemplo 3

Entre las curvas que unen los puntos A(x1,y1) y B (x2,y2) hallar la curva y=y(x) en la que puede alcanzar su extremo la funcional

I(y)= x 1 x 2 1+ y ˙ 2 y dx

En este caso, la función

f(x,y, y ˙ )= 1+ y ˙ 2 y

no depende de x. Utilizamos la segunda forma de la ecuación de Euler-Lagrange

f f y ˙ y ˙ = C 1 1+ y ˙ 2 y y ˙ 2 y 1+ y ˙ 2 = C 1

La solución es

y 1+ ( dy dx ) 2 = C 1 y·dy C 1 2 y 2 =x+ C 2 C 1 2 y 2 =x+ C 2 ( x+ C 2 ) 2 + y 2 = C 1 2

Con las condiciones de contorno determinamos C1y C2. El extremo puede alcanzarse sólo en la curva y=y(x) que es una circunferencia con centro en el eje X que pasa por los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2)

Como ejemplo, consideremos la circunferencia con centro en el eje X que pasa por los puntos A(-2,1), B(3,-2).

Calculamos el radio C1 y el centro C2, resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y las guardamos en las variables k1 y k2

>> syms x y c1 c2 t;
>> eq=(x+c2)^2+y^2-c1^2;
>> eq1=subs(eq,{x,y},{-2,1});
>> eq2=subs(eq,{x,y},{3,-2});
>> [k1,k2]=solve(eq1,eq2,c1,c2)
k1 =
 -221^(1/2)/5
  221^(1/2)/5
k2 =
 -4/5
 -4/5

Representamos la circunferencia y los puntos por los que pasa

>> hold on
>> fplot(-k2(1)+k1(2)*cos(t),k1(2)*sin(t),[0,2*pi])
>> plot(-2,1,'o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
>> plot(3,-2,'o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
>> axis equal
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')
>> title('Circunferencia que pasa por dos puntos')
>> grid on
>> hold off

Problema isoperimétrico

En esta sección añadimos condiciones al extremo de la funcional de la sección anterior, resolveremos problemas de extremo condicionado. El más interesante se denomina problema de Dido

Ejemplo 1

Entre todas las curvas cerradas de longitud l que pasan por los puntos A(-a,0) y B(a,0), hallar la curva y=y(x) que encierra el área máxima.

El problema se reduce a calcular el extremo de la funcional (área bajo la curva)

A(y)= a a y(x)·dx

Con las condiciones de contorno y(-a)=0, e y(a)=0, y la condición complementaria

L(y)= a a ds = a a d x 2 +d y 2 = a a 1+ ( dy dx ) 2 ·dx =ll>2a

Formamos la función auxiliar, dependiente de un parámetro λ, F(x,y, y ˙ )=y+λ 1+ y ˙ 2 . Aplicamos la ecuación Euler-Lagrange

F y ˙ = λ y ˙ 1+ y ˙ 2 F y =1 d dx ( λ y ˙ 1+ y ˙ 2 )=1 λ y ˙ 1+ y ˙ 2 =x+ C 1

la solución es

dy dx = x+ C 1 λ 2 ( x+ C 1 ) 2 y+ C 2 = x+ C 1 λ 2 ( x+ C 1 ) 2 dx y+ C 2 = λ 2 ( x+ C 1 ) 2 ( x+ C 1 ) 2 + ( y+ C 2 ) 2 = λ 2

Se calculan las constantes C1 y C2 sabiendo que la circunferencia pasa por los puntos A(-a,0) y B(a,0)

( a+ C 1 ) 2 + C 2 2 = λ 2 ( a+ C 1 ) 2 + C 2 2 = λ 2 } C 1 =0 C 2 = λ 2 a 2

Calculamos el parámetro λ sabiendo que la longitud de la curva y=y(x) es l

y= λ 2 x 2 λ 2 a 2 dy dx = x λ 2 x 2 l= a a 1+ ( dy dx ) 2 dx =λ a a 1 λ 2 x 2 dx= λarcsin( x λ ) | a a =2λarcsin( a λ ) a λ =sin( l 2λ )

Dado a y l, se resuelve esta última ecuación trascendente y se calcula λ.

a=1;
L=2.5; %longitud

f=@(x) sin(L./(2*x))-a./x;
lambda=fzero(f,1);
c2=sqrt(lambda^2-a^2);
%circunferencia
x1=@(th) lambda*cos(th);
y1=@(th) -c2+lambda*sin(th);
hold on
fplot(x1,y1,[0,2*pi])
%centro de la circunferencia
line([-0.1,0.1],[-c2,-c2], 'color','k');
line([0,0],[-c2+0.1,-c2-0.1], 'color','k');
%puntos (-a,0) (a,0)
plot(-1,0,'o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
plot(1,0,'o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
%área
ang=atan(c2/a);
phi=ang:pi/180:pi-ang;
xArea=x1(phi);
yArea=y1(phi);
fill(xArea,yArea,'y')
hold off
grid on
axis equal
ylim([-1,1])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('problema de Dido')

Mostramos el área en color amarillo, el centro (0,-C2) y radio λ de la circunferencia son

>> c2
c2 =    0.4704
>> lambda
lambda =    1.1051

Calculamos la longitud de la circunferencia con los datos del centro C2 y del radio λ. Como vemos en la figura

tan( θ 2 )= a C 2

Comprobamos que la longitud del arco de circunferencia, l=2θ·λ, es

>> 2*lambda*atan(a/c2)
ans =    2.5000

Ejemplo 2

Hallar la curva y=y(x), z=z(x) en la que la funcional

I(x,y,z)= 0 1 ( y ˙ 2 + z ˙ 2 4x z ˙ 4z )dx

alcanza su valor extremo, con las condiciones de que la funcional

K(x,y,z)= 0 1 ( y ˙ 2 x y ˙ z ˙ 2 )dx =2

y en los extremos y(0)=0, y(1)=1, z(0)=0, z(1)=1

Existe un parámetro λ, tal que la curva y=y(x), z=z(x) hace que el funcional

L(y)= 0 1 ( y ˙ 2 + z ˙ 2 4x z ˙ 4z+λ( y ˙ 2 x y ˙ z ˙ 2 ) )dx

alcance su extremo. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe ahora para dos variables y, z

F(x,y, y ˙ ,z, z ˙ )=f(x,y, y ˙ ,z, z ˙ )+λg(x,y, y ˙ ,z, z ˙ ) { F y d dx ( F y ˙ )=0 F z d dx ( F z ˙ )=0

lo que resulta

{ d dx ( 2 y ˙ +2λ y ˙ λx )=0 4 d dx ( 2 z ˙ 4x2λ z ˙ )=0

La solución es

{ ( 2+2λ ) dy dx λx= C 1 ( 22λ ) dz dx 4x=4x+ C 3 { y= λ x 2 +2 C 1 x 4(1+λ) + C 2 z= C 3 x 2(1λ) + C 4

Calculamos las constantes C1, C2, C3 y C4, a partir de las condiciones en los extremos

C 1 = 3λ+4 2 C 2 =0 C 3 =2(1λ) C 4 =0

La curva buscada y=y(x), z=z(x) en función del parámetro λ es

{ y= λ x 2 +(3λ+4)x 4(1+λ) z=x

Calculamos el valor del parámetro λ a partir de la condición de que el funcional K(x,y,z) valga 2

0 1 ( ( dy dx ) 2 x dy dx ( dz dx ) 2 )dx =2 0 1 { ( 2λx+3λ+4 4(1+λ) ) 2 + 2λx+3λ+4 4(1+λ) x1 }dx =2

La integral es sencilla pero requiere muchas operaciones algebraicas, por lo que utilizamos MATLAB para realizar esta tarea. La integral definida que se iguala a 2 da como resultado una ecuación de segundo grado en λ (en el código k es λ), que tiene dos raíces reales λ1=-12/11 y λ2=-10/11. Calculamos el funcional I(x,y,z) y nos da como resultado 1 para la primera raíz, y 1/12 para la segunda

>> syms x k;
>> yp=(2*k*x+3*k+4)/(4+4*k);
>> z=int(yp^2-x*yp-1,x,0,1)
z =1/(48*(k + 1)^2) - 25/48
>> s=solve(z-2)
 s = -12/11
 -10/11
>> y1=subs(yp,k,s(1))
 y1 =6*x - 2
>> y2=subs(yp,k,s(2))
y2 =7/2 - 5*x
>> int(y1^2 + 1 - 4*x - 4*x,x,0,1)
 ans =1
>> int(y2^2 + 1 - 4*x - 4*x,x,0,1)
 ans =1/12

La curva buscada y=y(x), z=z(x) para cada una de las raíces es

λ 1 = 12 11 { y=3 x 2 2x z=x λ 2 = 10 11 { y= 1 2 ( 5 x 2 +7x ) z=x

Integrando en el código las derivadas y1=6x-2 e y2=7/2-5x, obtenemos los resultados anteriores

El cálculo de variaciones en otras páginas del Curso de Física

Función de distribución de Boltzmann (II)

Distancia más corta, superficie mínima, forma de un cuerpo

La braquistócrona

Forma de la superficie de un líquido en rotación

El principio de Fermat

La catenaria

El viaje más rápido a través de un túnel por el interior de la Tierra

Braquistócrona en el campo gravitatorio no uniforme de la Tierra

Referencias

M. L. Krasnov, G. I. Makarenko, A. I. Kiseliov. Cálculo Variacional (ejemplos y problemas). Editorial Mir (1992)