Materiales paramagnéticos

Un átomo o un ión de momento magnético μ en un campo magnético B tiene una energía U=-µ·B. El momento magnético es proporcional al momento angular µ=BS. Donde μB=9.2732·10-24 J/T es el magnetón de Bohr y g es un factor del orden de dos.

Si B apunta en la dirección del eje Z, la energía del dipolo vale U=-µ·B=zB=-gµBSzB

En la descripción mecánico-cuántica los valores de m=Sz son discretos y van desde -S a +S, en total 2S+1 valores. Por tanto, las componentes del momento magnético a lo largo de la dirección del campo tienen 2S+1 valores.

Ión Momento angular S
Gd(3+) 7/2
Fe(3+) 5/2
Cr(3+) 3/2
Co(3+) 1/2

Utilizando la imagen de la descripción clásica, esta restricción nos viene a decir que no todas las orientaciones del momento magnético son posibles.

Tenemos un sistema de iones paramagnéticos a una temperatura T, que pueden ocupar 2S+1 niveles de energía. La estadística clásica nos dice que la probabilidad de que una partícula ocupe un nivel de energía U es proporcional a exp(-U/kT).

El valor medio de la componente del momento magnético a lo largo de la dirección del campo vale.

< μ z >= m=S S μ z exp(U/kT) m=S S exp( U/kT ) = g μ B m=S S mexp(mu) m=S S exp( mu ) u= g μ B B kT

donde la suma se extiende a los 2S+1 posibles valores de Sz.

< μ z >=g μ B 1 Z dZ du =g μ B dlnZ du Z= m=S S exp( mu )

Z es la suma de 2S+1 términos de una progresión geométrica cuyo primer término es exp(-S·u) y cuyo último término es exp(S·u) y cuya razón es r= exp(u). Véase el ejemplo más abajo para S=3/2

Z= exp(S·u)exp((S+1)u) 1exp(u) = exp((S+ 1 2 )·u)exp((S+ 1 2 )u) exp( 1 2 u)exp( 1 2 u) = sinh((S+ 1 2 )·u) sinh( 1 2 u) < μ z >=g μ B d du ( ln(sinh((S+ 1 2 )u)lnsinh( 1 2 u) )= g μ B ( (S+ 1 2 )cosh((S+ 1 2 )u) sinh((S+ 1 2 )u) 1 2 cosh( 1 2 u) sinh( 1 2 u) ) < μ z >=g μ B ( (S+ 1 2 )coth((S+ 1 2 )u) 1 2 coth( 1 2 u) )

Casos particulares:

Teniendo en cuenta las aproximaciones de

cothx= e x + e x e x e x

x=linspace(0.1,3,50);
y=1./tanh(x); %cotangente hiperbólica
y1=1./x+x/3;  %aproximación
plot(x,y,x,y1)
grid on
ylim([0.5,10])
legend('coth(x)','1/x+x/3')
xlabel('x')
title('coth(x)')

Actividades

Se elige el material paramagnético en el control titulado Iones.

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se representa el estado de cada ión mediante un número que indica su momento magnético en unidades de Bohr, en color azul sobre fondo amarillo, cuando el vector momento magnético apunta en el sentido del campo y en color inverso cuando apunta en sentido contrario al campo aplicado. El programa calcula el momento magnético medio en unidades del magnetón de Bohr de los iones, y lo muestra en el control del mismo nombre situado bajo los controles.

Se repite varias veces la experiencia, observando el comportamiento de cada una de los iones y de la muestra en su conjunto (el momento magnético medio) modificando solamente la temperatura, pero sin cambiar el valor del campo magnético ni la sustancia paramagnética.

Comprobar que se obtienen valores parecidos del momento magnético medio para valores iguales del cociente campo/temperatura. Por ejemplo, se obtienen valores parecidos introduciendo un campo de 1 y una temperatura de 1, que introduciendo un campo de 2 y una temperatura de 2.

Introduciendo valores iguales del cociente campo/temperatura, observaremos que no podemos predecir de antemano la orientación de ión individual, sin embargo, el comportamiento del conjunto está determinado.

Comprobar, que cuando la intensidad del campo magnético es grande y la temperatura es próxima a cero, casi todos los iones están orientadas en la dirección del campo, obteniéndose el valor máximo de la componente Z del momento magnético de la sustancia.

Comprobar, que cuando la intensidad del campo magnético es pequeña y la temperatura es grande, se obtiene el valor mínimo del momento magnético medio de la sustancia, un valor próximo a cero. Hay tantos iones orientados en el sentido del campo como en sentido contrario.

Ejemplo:

Calcular el momento magnético medio <μz> de una muestra de iones Cr(3+) cuyo momento angular S=3/2, cuando la muestra está bajo la acción de un campo magnético de B=1.0 T, y a una temperatura de T=10 K. Datos: constante de Boltzmann k=1.3805·10-23 J/K, magnetón de Bohr μB=9.2732·10-24 J/T

En la figura, se muestra los niveles de energía accesibles a los iones cuyo momento angular S=3/2. La energía de los niveles se indica en la columna de la derecha, y la componente del momento magnético μz de los iones que ocupan un nivel determinado, se indica en la columna izquierda. Se ha tomado el factor g=2.

u= g μ B B kT =0.1344 < μ z >=2 μ B 3 2 ·exp( 3 2 u) 1 2 exp( 1 2 u)+ 1 2 exp( 1 2 u)+ 3 2 ·exp( 3 2 u) exp( 3 2 ·u)+exp( 1 2 u)+exp( 1 2 u)+exp( 3 2 u) =0.334 μ B

Este es el momento magnético medio de la muestra en unidades del magnetón de Bohr μB

También podemos calcularlo por la fórmula simplificada final

< μ z >=2 μ B ( ( 3 2 + 1 2 )coth(( 3 2 + 1 2 )0.1344) 1 2 coth( 1 2 0.1344) )=0.334 μ B



Referencias

Reif F. Fundamentos de Física Estadística y Térmica. Ediciones del Castillo (1968), págs. 261-264.