Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo. La balanza de corriente

Intensidad de la corriente

La intensidad de la corriente eléctrica es la carga que atraviesa la sección normal S del conductor en la unidad de tiempo.

Sea n el número de partículas por unidad de volumen, v la velocidad media de dichas partículas, S la sección del haz y q la carga de cada partícula.

La carga Q que atraviesa la sección normal S en el tiempo t, es la contenida en un cilindro de sección S y longitud v·t.

Carga Q= (número de partículas por unidad de volumen, n)·(carga de cada partícula, q)· (volumen del cilindro, Svt)

Q=n·qS·v·t

Dividiendo Q entre el tiempo t obtenemos la intensidad de la corriente eléctrica.

i=nqvS

La intensidad es el flujo de carga o la carga que atraviesa la sección normal S en la unidad de tiempo, que es el producto de los siguientes términos:

Fuerza sobre una porción de conductor rectilíneo.

En el espectrómetro de masas o en el ciclotrón, ya hemos estudiado la fuerza que ejerce un campo magnético sobre un portador de carga y el movimiento que produce.

En la figura, se muestra la dirección y sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético B sobre un portador de carga positivo q, que se mueve hacia la derecha con velocidad v.

f m =qv×B

Calculemos la fuerza sobre todos los portadores (nSL) de carga contenidos en la longitud L del conductor.

F m =(nSL) f m =i u ^ t ×BL

El vector unitario ut=v/v tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad o el sentido en el que se mueven los portadores de carga positiva.

En el caso de que el conductor no sea rectilíneo, o el campo magnético no se constante, se ha de calcular la fuerza sobre un elemento de corriente dl

dF=i u ^ t ×Bdl

F=i ( u ^ t ×B)dl

La balanza de corriente

En esta sección, vamos a estudiar cómo funciona una balanza de corriente

Antes de conectar la corriente

Para que la varilla esté en equilibrio, la fuerza que ejerce el brazo de la balanza F1 deberá ser igual al peso de la varilla

F1=mg

Después de conectar la varilla a la batería

Por la varilla circula una corriente de intensidad i. La fuerza que ejerce el campo magnético es

F m =i u ^ t ×BL

donde B es la intensidad del campo magnético, L, la longitud del conductor y ut es un vector que nos indica el sentido de la corriente.

Si el campo y la porción de corriente son perpendiculares, el módulo de la fuerza es

Fm=iLB.

El sentido de la fuerza Fm se muestra en la figura para los distintos casos

Sobre la varilla en equilibrio actúan las siguientes fuerzas, el peso de la varilla, la fuerza que ejerce el campo magnético y la fuerza F2 que ejerce el brazo de la balanza, para que la varilla esté en equilibrio.

F2+Fm=mg

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre la corriente Fm se puede sumar o restar al peso dependiendo de cómo se disponga los polos del imán o del sentido de la corriente en la varilla.

Actividades

El programa interactivo genera un número aleatorio comprendido entre 700 y 900 que representa la masa de la varilla en miligramos.

Para pesar la varilla, movemos con el puntero del ratón los cursores de colores rojo, azul y negro

Ejemplo:

Hemos pesado la varilla resultando F1=862 mg

Se introduce

Estos valores pueden ser positivos o negativos.

Se pulsa el botón titulado y se conecta los extremos de la varilla a los polos de la batería.

Ejemplo:

Verificamos que la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la corriente rectilínea señalada por una flecha de color azul es hacia arriba. Por tanto, la balanza se desequilibra. Equilibramos la balanza moviendo los cursores a la posición que marca F2=780 mg. Por tanto,

Experimentamos con el programa, introduciendo otros valores del campo magnético (positivos o negativos) y de la corriente (positivos o negativos) en los intervalos especificados.

  1. Comprobar el sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la porción de corriente rectilínea
  2. Determinar el valor de dicha fuerza mediante la balanza.

Práctica de laboratorio

Sobre la varilla en equilibrio actúan las siguientes fuerzas, el peso de la varilla, la fuerza que ejerce el campo magnético y la fuerza F2 que ejerce la balanza, para que la varilla esté en equilibrio.

F2+Fm=mg

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre la corriente Fm se puede sumar o restar al peso dependiendo de cómo se disponga los polos del imán o del sentido de la corriente en la varilla

En el dispositivo experimental de PASCO, el campo magnético producido por los imanes ejerce una fuerza Fm sobre la porción de corriente rectilínea de longitud L. Los imanes están sobre la balanza y la corriente está fija. Por la tercera ley de Newton, la corriente ejerce una fuerza Fm igual y de sentido contrario sobre los imanes y esto se refleja en el indicador de la balanza. La fuerza Fm es la diferencia en gramos entre lo que indica la balanza cuando pasa corriente y cuando no pasa corriente.

Poniendo el imán sobre la balanza y tarando a cero, el indicador de la balanza mide directamente la fuerza Fm que ejerce el campo magnético sobre la porción de corriente rectilínea.

Para convertir la fuerza magnética medida en gramos a Newtons, se ha de multiplicar por el factor 0.0098 N/g

Fuerza en función de la intensidad

Longitud (cm) 1.2
Corriente (A) Fuerza magnética (N)
0 0
0.5 3.04·10-3
1 5.39·10-3
1.5 7.74·10-3
2 10.0·10-3
x=[0,0.5,1,1.5,2];
>> y=[0,3.04,5.39,7.74,10]/1000;
>> plot(x,y, 'o','markersize',3, 'markeredgecolor','r'
,'markerfacecolor','r')
>> xlabel('i(A)')
>> ylabel('F_m (mN)')
>> title('Fuerza en función de la intensidad')      

Aparece la ventana gráfica. En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, marcamos la casilla Show equations.

Fuerza en función de la longitud de la corriente

Intensidad (A) 1.2
Longitud (cm) Fuerza magnética (N)
1.2 0.98·10-3
2.2 1.37·10-3
3.2 1.76·10-3
4.2 2.06·10-3
6.4 2.65·10-3
8.4 3.43·10-3
>>x=[1.2,2.2,3.2,4.2,6.4,8.4];
>> y=[0.98,1.37,1.76,2.06,2.65,3.43];
>> plot(x,y, 'o','markersize',3, 'markeredgecolor','r',
'markerfacecolor','r')
>> xlabel('L(cm)')
>> ylabel('F_m (mN)')
>> title('Fuerza en función de la longitud')      

Fuerza en función del ángulo

Intensidad (A) 0.8
Angulo θ Fuerza magnética (N)
0 0.196·10-3
10 0.490·10-3
20 1.176·10-3
30 1.764·10-3
40 2.352·10-3
50 2.744·10-3
60 3.332·10-3
70 3.626·10-3
80 3.920·10-3
90 4.018·10-3

Ajustamos los datos a la función no lineal A·sin(θ+φ) mediante la función MATLAB nlinfit. A partir del ajuste se determina A y φ

x=[0,10,20,30,40,50,60,70,80,90]*pi/180;
y=[0.196,0.490,1.176,1.764,2.352,2.744,3.332,3.626,3.920,4.018]/1000;
hold on
plot(x,y, 'o','markersize',3, 'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
f_ajuste =@(a,x) a(1)*sin(x+a(2));          
a0=[0.3 0];  %valor inicial de los parámetros
af=nlinfit(x,y,f_ajuste,a0)
%representa la función 
x=linspace(0,90,40)*pi/180;
y=f_ajuste(af,x);
plot(x,y,'b')
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2'})
title('Fuerza magnética en función del ángulo')
xlabel('\theta (rad)')
ylabel('F_m (N)')
hold off   
af =    0.0039   -0.0302

El parámetro A es a(1)=3.9·10-3, y el parámetro φ es a(2)=-0.0302