Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico y en un campo magnético

Movimiento en un campo eléctrico

Una partícula cargada que está en una región donde hay un campo eléctrico, experimenta una fuerza igual al producto de su carga por la intensidad del campo eléctrico Fe=q·E.

Mov_1.gif (2972 bytes)

Si el campo es uniforme, la fuerza es constante y también lo es, la aceleración. Aplicando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, obtenemos la velocidad de la partícula en cualquier instante o después de haberse desplazado una determinada distancia

a= qE m v= v 0 +atx= v 0 t+ 1 2 a t 2

Aplicamos el principio de conservación de la energía, ya que el campo eléctrico es conservativo. La energía potencial q(V'-V) se transforma en energía cinética. Siendo V'-V la diferencia de potencial existente entre dos puntos distantes x. En un campo eléctrico uniforme V'-V=Ex.

q(V'V)= 1 2 m v 2 1 2 m v 0 2

El generador de Van de Graaff se emplea para acelerar partículas. En el terminal esférico del generador se producen iones positivos que son acelerados a lo largo de un tubo en el que se ha hecho el vacío, por la diferencia de potencial existente entre la esfera cargada y tierra.

Movimiento en un campo magnético

Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza Fm=q·v×B. El resultado de un producto vectorial es un vector de

Una partícula cargada describeuna trayectoria circular en un campo magnético uniforme. El radio, se obtiene a partir de la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme: fuerza igual a masa por aceleración normal.

F m =m v 2 r qvB=m v 2 r r= mv qB

Estudiaremos en esta página y las que siguen, varias situaciones en las que una partícula cargada positiva o negativa se mueve en una región donde existe un campo eléctrico, un campo magnético, o un campo eléctrico y magnéticos cruzados (perpendiculares entre sí).

Movimiento en un campo eléctrico y magnéticos cruzados

En este apartado, vamos a practicar con las fuerzas que ejercen un campo magnético y un campo eléctrico sobre partículas cargadas en movimiento.

El campo eléctrico está creado por las dos placas de un condensador plano-paralelo que distan d y tienen una longitud L, su sentido es de la placa positiva (color rojo) a la negativa (color azul).

El campo magnético es perpendicular al plano de la página, es positivo cuando apunta hacia dentro (color azul claro) y es negativo cuando apunta hacia fuera (color rosa).

  1. Desviación nula de la partícula

  2. Una carga eléctrica se mueve con velocidad v0 desconocida a lo largo del eje horizontal X. Buscaremos las intensidades y los sentidos de los campos eléctrico y magnético que hacen que la partícula se mueva a lo largo del eje X sin desviarse.

    Las partículas no se desvían si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario.

    F e = F m qE=qvBv= E B

    Por tanto, no se desviarán aquellas partículas cuya velocidad sea igual cociente E/B.

    En la figura, se muestran algunas configuraciones del campo eléctrico y magnético sobre cargas positivas o negativas que producen fuerzas en sentido contrario.

  3. Movimiento bajo la acción del campo eléctrico

  4. Cuando eliminamos el campo magnético, la partícula se mueve bajo la acción de la fuerza eléctrica en la región del condensador. Como la fuerza eléctrica constante tiene dirección del eje Y y la partícula se mueve inicialmente a lo largo del eje X, las ecuaciones del movimiento de la partícula serán las del tiro parabólico (movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad)

    a x =0 v x = v 0 x= v 0 t a y = qE m v y = a y ty= 1 2 a y t 2

    Si L es la longitud del condensador, la desviación vertical y de la partícula al salir de sus placas será

    y= 1 2 qE m ( L v 0 ) 2

    Puede ocurrir que la partícula choque con las placas del condensador. La posición x de impacto se calcula poniendo y=d/2, siendo d la distancia entre las placas del condensador.

    x= v 0 md qE

  5. Movimiento bajo la acción de un campo magnético

  6. En esta región, la partícula experimenta una fuerza debida al campo magnético, cuya dirección y sentido viene dada por el producto vectorial Fm=q·v×B y cuyo módulo es Fm=q·vB.

    Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, calculamos el radio de la circunferencia que describe.

     r= m v 0 qB

    La partícula cargada describe un arco de una circunferencia hasta que choca con alguna de las placas del condensador.

    Si d es la separación entre las placas. El punto de impacto x, tal como se aprecia en la figura, se calcula del siguiente modo

    r d 2 =rcosθx=rsinθ

    Si el radio r es suficientemente grande, la partícula saldría entre las placas del condensador. Su desviación y se calcularía del siguiente modo

    L=rsinθy=rrcosθ

Ejemplo:

Datos de la partícula

  1. Observamos que para B=-100 gauss=-100·10-4 T, la partícula no se desvía. Su velocidad es
  2. v 0 = 2000 100· 10 4 =2· 10 5 m/s

  3. Suprimimos el campo magnético, la desviación que experimenta la partícula debido a la acción del campo eléctrico al final del condensador es

  4. x= v 0 md qE x=2· 10 5 1.67· 10 27 ·0.1 1.6· 10 19 ·2000 =14.4cm

  5. Suprimimos el campo eléctrico y restauramos el campo magnético B=-100 gauss

  6. El radio de la órbita circular que describe la partícula es

     r= m v 0 qB r= 1.67· 10 27 ·2· 10 5 1.6· 10 19 ·100· 10 4 =20.87cm

    La posición x de la partícula al chocar con la placa inferior es

    20.87-5=20.87·cosθθ=40.5º
    x=
    20.87·sinθ=13.56 cm

Actividades

Se introduce

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Trayectoria helicoidal

Hasta ahora, hemos considerado que el campo magnético B es paralelo al eje Z, y la partícula cargada se mueve en el plano XY. La partícula describe un movimiento circular de radio r.

Si la partícula tiene además una componente vz de la velocidad (en color rojo, en la figura), describirá una hélice, cuyo paso es vzP, siendo P el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa.

r=1;
w=0.5;
vz=0.2;
t=0:0.01:30;
x=r*cos(w*t);
y=r*sin(w*t);
z=vz*t;
hold on
plot3(x,y,z);
 
tp=10;
h1=quiver3(r*cos(w*tp),r*sin(w*tp),vz*tp, -sin(w*tp),cos(w*tp),0);
set(h1,'Color',[0,0,0.7],'LineWidth',1.5)
h1=quiver3(r*cos(w*tp),r*sin(w*tp),vz*tp, 0,0,1);
set(h1,'Color',[0.7,0,0],'LineWidth',1.5)
hold off

view(60,46)
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento en un campo magnético') 

Un cañón emite electrones acelerados por una diferencia de potencial U, en el vacío en la dirección horizontal. El blanco M está a una distancia d, del cañón y en una dirección que forma un ángulo α con la horizontal, tal como se muestra en la figura.

Datos: U=1000 V, q=1.60·10-19 C, m=9.11·10-31 kg, α=60°, d=5.0 cm.

Campo perpendicular al plano

En primer lugar, consideramos que el campo magnético B es perpendicular a plano formado por el haz y el blanco M (el plano del dibujo)

Los electrones describirán una trayectoria circular de radio r, ya que la fuerza que ejerce el campo magnético es perpendicular a la velocidad y al campo fm=qv×B

La ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme se escribe

qvB=m v 2 r B= mv qr

Como vemos en la figura, d=2rsinα

Por otra parte, el cañón acelera los electrones, de modo que la energía potencial qU se convierte en energía cinética

qU= 1 2 m v 2

El módulo del campo magnético B vale

B=2 2 m q U sinα d

Con los datos del problema, B=0.0037 T

Campo paralelo al plano

Consideremos que el campo B es paralelo a la dirección del blanco M, vamos a comprobar que el haz de electrones impacta en el blanco M siguiendo una trayectoria helicoidal

Descomponemos la velocidad horizontal v del haz de electrones en dos componentes v1=v·sinα y v2=v·cosα, tal como se muestra en la figura. El haz de electrones describirá una trayectoria circular de radio r en un plano perpendicular a la direccción del blanco

q v 1 B=m v 1 2 r

El periodo P, es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa

P= 2πr v 1 = 2πm qB

La componente v2=v·cosα hace que la partícula se desplace a lo largo de la dirección del blanco M, tardando un tiempo t=d/v2

Cuando t=n·P el haz impactará en el blanco M

d vcosα =n 2πm qB B=n 2πmvcosα qd

Con los datos del problema, B=n·0.0067 T. Dando valores enteros a n=1,2,3... obtenemos los posibles valores de B que hacen que el haz de electrones impacte en el blanco M siguiendo una trayectoria helicoidal, como se ve en la figura. El segmento de color rojo indica la dirección del campo magnético

r=1;
w=0.5;
vz=0.2;
t=0:0.01:30;
zp=r*sin(w*t);
y=r*cos(w*t);
x=vz*t;

xp=x*cos(pi/3)-y*sin(pi/3);
yp=x*sin(pi/3)+y*cos(pi/3);
hold on
plot3(xp,yp,zp);
h1=quiver3(0,0,0, 2*cos(pi/3),2*sin(pi/3),0);
set(h1,'Color',[0.7,0,0],'LineWidth',1.5)
hold off
%axis equal
view(25,20)
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento en un campo magnético') 

Referencias

Problema propuesto en la X Olimpiada Internacional de Física. Hradec Králové, Checoslovaquia, 1977