Sea un muelle de constante k suspendido verticalmente. Se cuelga de su extremo libre inferior un potente imán de momento magnético μ. A una distancia z=z₀ por debajo del imán se coloca una bobina formada por un conjunto de N espiras apretadas del mismo radio a conectada a una batería. Una corriente constante i circula por la bobina

El campo magnético producido por el imán ejerce una fuerza sobre la corriente circular, por la tercera ley de Newton, la corriente circular ejerce una fuerza F sobre el imán que depende de su separación z.

Campo magnético producido por el imán

En la página, Campo magnético producido por una imán hemos supuesto que un imán se comporta como un dipolo magnético de momento μ. Las componentes del campo son

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_{\rho }=\frac{{\mu }_0\mu }{4\pi }\frac{3\rho z}{{\left(\sqrt{z^2+{\rho }^2}\right)}^5}\\ B_z=\frac{{\mu }_0\mu }{4\pi }\frac{2z^2-{\rho }^2}{{\left(\sqrt{z^2+{\rho }^2}\right)}^5}\end{array}}$

La fuerza que ejerce el campo magnético producido por el imán sobre la corriente i en la bobina es

${\displaystyle \overrightarrow{F}=i({\widehat{u}}_t\times \overrightarrow{B})N(2\pi a)}$

La componente B_ρ del campo magnético ejerce una fuerza a lo largo del eje Z y la componente B_z ejerce una fuerza a lo largo de la dirección radial que no tiene efecto alguno sobre la bobina. El módulo de la fuerza a lo largo del eje Z es

${\displaystyle \begin{array}{l}F=iN\left(2\pi a\right)B_{\rho }=iN\left(2\pi a\right)\left(\frac{{\mu }_0\mu }{4\pi }\frac{3az}{{\left(\sqrt{z^2+a^2}\right)}^5}\right)=\\ Ni\frac{3{\mu }_0\mu a^2}{2}\frac{z}{{\left(\sqrt{z^2+a^2}\right)}^5}\end{array}}$

Aplicando la tercera ley de Newton, esta es la fuerza que la corriente ejerce sobre el imán.

La fuerza es proporcional a

${\displaystyle y=\frac{z}{{\left(\sqrt{z^2+a^2}\right)}^5}}$

La fuerza es máxima para z=a/2, y mínima para z=-a/2, tal como vemos en la figura

>> syms a z;
>> y=z/sqrt(a^2+z^2)^5;
>> yy=diff(y,z);
>> solve(yy)
ans =
    0
  a/2
 -a/2
>> y=subs(y,a,1);
>> ezplot(y,[-3,3])
>> grid on
>> xlabel('z')
>> ylabel('F')

Ecuación del movimiento

Sea z₀ la altura inicial del imán sobre la bobina. Cuando el imán se desplaza x=z-z₀ de la posición de equilibrio las fuerzas que actúan sobre el imán son:

• La fuerza que ejerce el muelle deformado kx, siendo k es la constante del muelle
• La fuerza F que ejercen la corriente i en la bobina sobre el imán, que es una función de la sepración z entre la bobina y el imán

La ecuación del movimiento del imán es

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=F(z)-kx\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}x=Ni\frac{3{\mu }_0\mu a^2}{2m}\frac{(z_0+x)}{{\left(\sqrt{{(z_0+x)}^2+a^2}\right)}^5}\end{array}}$

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial es x=x₀ y la velocidad inicial es v=0. Se han tomado del artículo mencionado en las referencias, los siguientes valores de los parámetros:

• Constante elástica del muelle, k=3.17 N/m
• Masa del imán, m=52 g
• Momento magnético del imán, μ=2.6 Am²
• Número de espiras que forman la bobina, N=10
• Radio de las espiras, a=15 mm
• Separación inicial entre el imán en equilibrio y la bobina, z₀=15 mm
• El imán se separa x₀=10 mm de la posición de equilibrio y se suelta
• Velocidad inicial del imán, v₀=0, parte del reposo

m=52/1000; %masa del imán
k=3.17; %constante elástica
mu=2.6; %Am2, momento magnético
z0=15/10; %separación inicial en cm
a=15/10; %radio de la espira en cm
N=10; %número de espiras
i0=0.2; %intensidad en la bobina
w0=sqrt(k/m); %frecuencia angular propia
cte=1e6*N*3*(4*pi*1e-7)*mu*a^2*i0/(2*m);
x0=[10/10,0];  % [posición inical en cm, velocidad inicial]
tspan=[0 10*2*pi/w0;];  %diez periodos

%solución numérica
f=@(t,x) [x(2);-cte*(z0+x(1))/(sqrt(a^2+(z0+x(1))^2))^5-w0*w0*x(1)]; 
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);

plot(t,x(:,1), 'b')
xlabel('t')
ylabel('z');
title('Oscilador anarmónico')
grid on

Actividades

Se introduce

• El desplazamiento inicial del imán x₀ en mm, en el control titulado Desplazamiento inicial del imán
• La separación inicial entre el imán y la bobina z₀ en mm, en el control titulado Separación inicial imán-bobina.
• la intensidad constante i que circula por la bobina, en el control tituado Intensidad

El programa ha fijado los siguientes parámetros:

• Masa del imán, m=52 g
• Momento magnético del imán, μ=2.6 Am²
• Radio de las espiras, a=15 mm
• Número de las espiras, N=10
• Constante elástica del muelle, k=3.17 N/m
• Velocidad inicial del imán, v₀=0, parte del reposo

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

La flecha situada a la izquierda del imán, representa la fuerza que ejerce las corriente en la bobina sobre el imán.

Referencias

Celso L Ladera, Guillermo Donoso. Anharmonic oscillations of a spring-magnet system inside a magnetic coil. Eur. J. Phys. 33(2012) 1259-1270