Oscilaciones de un imán colgado de un muelle

Sea un muelle de constante k suspendido verticalmente. Se cuelga de su extremo libre inferior un potente imán de momento magnético μ. A una distancia z=z0 por debajo del imán se coloca una bobina formada por un conjunto de N espiras apretadas del mismo radio a conectada a una batería. Una corriente constante i circula por la bobina

El campo magnético producido por el imán ejerce una fuerza sobre la corriente circular, por la tercera ley de Newton, la corriente circular ejerce una fuerza F sobre el imán que depende de su separación z.

Campo magnético producido por el imán

En la página, Campo magnético producido por una imán hemos supuesto que un imán se comporta como un dipolo magnético de momento μ. Las componentes del campo son

B ρ = μ 0 μ 4π 3ρz ( z 2 + ρ 2 ) 5 B z = μ 0 μ 4π 2 z 2 ρ 2 ( z 2 + ρ 2 ) 5

La fuerza que ejerce el campo magnético producido por el imán sobre la corriente i en la bobina es

F=i( u ^ t ×B )N(2πa)

La componente Bρ del campo magnético ejerce una fuerza a lo largo del eje Z y la componente Bz ejerce una fuerza a lo largo de la dirección radial que no tiene efecto alguno sobre la bobina. El módulo de la fuerza a lo largo del eje Z es

F=iN( 2πa ) B ρ =iN( 2πa )( μ 0 μ 4π 3az ( z 2 + a 2 ) 5 )= Ni 3 μ 0 μ a 2 2 z ( z 2 + a 2 ) 5

Aplicando la tercera ley de Newton, esta es la fuerza que la corriente inducida ejerce sobre el imán.

La fuerza es proporcional a

y= z ( z 2 + a 2 ) 5

La fuerza es máxima para z=a/2, y mínima para z=-a/2, tal como vemos en la figura

>> syms a z;
>> y=z/sqrt(a^2+z^2)^5;
>> yy=diff(y,z);
>> solve(yy)
ans =
    0
  a/2
 -a/2
>> y=subs(y,a,1);
>> ezplot(y,[-3,3])
>> grid on
>> xlabel('z')
>> ylabel('F')

Ecuación del movimiento

Sea z0 la altura inicial del imán sobre la bobina. Cuando el imán se desplaza x=z-z0 de la posición de equilibrio las fuerzas que actúan sobre el imán son:

La ecuación del movimiento del imán es

m d 2 x d t 2 =F(z)kx d 2 x d t 2 + ω 0 2 x=Ni 3 μ 0 μ a 2 2m ( z 0 +x) ( ( z 0 +x) 2 + a 2 ) 5

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial es x=x0 y la velocidad inicial es v=0. Se han tomado del artículo mencionado en las referencias, los siguientes valores de los parámetros:

m=52/1000; %masa del imán
k=3.17; %constante elástica
mu=2.6; %Am2, momento magnético
z0=15/10; %separación inicial en cm
a=15/10; %radio de la espira en cm
N=10; %número de espiras
i0=0.2; %intensidad en la bobina
w0=sqrt(k/m); %frecuencia angular propia
cte=1e6*N*3*(4*pi*1e-7)*mu*a^2*i0/(2*m);
x0=[10/10,0];  % [posición inical en cm, velocidad inicial]
tspan=[0 10*2*pi/w0;];  %diez periodos

%solución numérica
f=@(t,x) [x(2);-cte*(z0+x(1))/(sqrt(a^2+(z0+x(1))^2))^5-w0*w0*x(1)]; 
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);

plot(t,x(:,1), 'b')
xlabel('t')
ylabel('z');
title('Oscilador anarmónico')
grid on

Actividades

Se introduce

El programa ha fijado los siguientes parámetros:

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

La flecha situada a la izquierda del imán, representa la fuerza que ejerce las corriente en la bobina sobre el imán.



Referencias

Celso L Ladera, Guillermo Donoso. Anharmonic oscillations of a spring-magnet system inside a magnetic coil. Eur. J. Phys. 33(2012) 1259-1270