Campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida

El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo magnético B creado por un circuito de forma cualesquiera recorrido por una corriente de intensidad i.

B= μ 0 i 4π u t × u r r 2 dl

B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, ut es un vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl. ur es un vector unitario que señala la posición del punto P respecto del elemento de corriente, μ0/(4π)=10-7 en el Sistema Internacional de Unidades.

Corriente rectilínea perpendicular al plano de la fotografía

Campo magnético producido por una corriente rectilínea

Utilizamos la ley de Biot para calcular el campo magnético B producido por un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad i.

El campo magnético B producido por el hilo rectilíneo en el punto P tiene una dirección que es perpendicular al plano formado por la corriente rectilínea y el punto P, y sentido el que resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos al producto vectorial ut×urPara calcular el módulo de dicho campo es necesario realizar una integración.

B= μ 0 i 4π + sinθ r 2 dy = μ 0 i 4πR 0 π sinθdθ = μ 0 i 2πR

Se integra sobre la variable θ, expresando las variables x y r en función del ángulo θ .

R=r·sinθ , R=-y·tanθ .

En la figura, se muestra la dirección y sentido del campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida en el punto P. Cuando se dibuja en un papel, las corrientes perpendiculares al plano del papel y hacia el lector se simbolizan con un punto • en el interior de una pequeña circunferencia, y las corrientes en sentido contrario con una cruz × en el interior de una circunferencia tal como se muestra en la parte derecha de la figura.

La dirección del campo magnético se dibuja perpendicular al plano determinado por la corriente rectilínea y el punto y el sentido se determina por la regla del sacacorchos o la denominada de la mano derecha.

La ley de Ampère

Bdl = μ 0 i

La ley de Gauss nos permitía calcular el campo eléctrico producido por una distribución de cargas cuando estas tienen simetría (esférica, cilíndrica o un plano cargado).

Del mismo modo, la ley de Ampère nos permitirá calcular el campo magnético producido por una distribución de corrientes cuando tienen cierta simetría.

Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son similares a los de la ley de Gauss.

  1. Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del campo magnético
  2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulación del campo magnético.
  3. Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado
  4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético.

Campo magnético producido por una corriente rectilínea

  1. La dirección del campo en un punto P, es perpendicular al plano determinado por la corriente y el punto.
  2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, centrada en la corriente rectilínea y situada en una plano perpendicular a la misma.
  3. La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale

    Bdl = B·dlcos0º =B dl =B·2πR

  4. La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r
  5. Despejamos el módulo del campo magnético B.
  6. B·2πR= μ 0 iB= μ 0 i 2πR

Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot.

Fuerza entre dos corrientes rectilíneas

Sean dos corrientes rectilíneas indefinidas de intensidades Ia e Ib paralelas y distantes d.

El campo magnético producido por la primera corriente rectilínea en la posición de la otra corriente es

B a = μ 0 I a 2πd

De acuerdo con la regla de la mano derecha tiene el sentido indicado en la figura, en forma vectorial Ba=-Bai

La fuerza sobre una porción L, de la segunda corriente rectilínea por la que circula una corriente Ib en el mismo sentido es

F= I b ( u t × B a )L F= I b (k× B a i)L= μ 0 I a I b 2πd Lj

La fuerza que ejerce el campo magnético producido por la corriente de intensidad Ib sobre la una porción de longitud L de corriente rectilínea de intensidad Ia, es igual pero de sentido contrario.

La fuerza por unidad de longitud ente dos corrientes rectilíneas indefinidas y paralelas, distantes d es

F L = μ 0 I a I b 2πd

La unidad de medida de la intensidad de la corriente eléctrica, el ampere, se fundamenta en esta expresión:

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud.

Si las corrientes tienen sentido opuesto, la fuerza tiene el mismo módulo pero de sentido contrario, las corrientes se atraen, tal como se aprecia en la figura

F= I b ( u t × B a )L= I b (k× B a i)L= μ 0 I a I b 2πd Lj

Dos corrientes rectilíneas indefinidas, paralelas, separadas una distancia d

Nota: Fotografía tomada en VIII Edición del Concurso Ciencia en Acción Zaragoza (2007): Albert Agraz Sánchez, Santiago Clúa. Detector de movimiento por inducción magnética. Universidad de Lérida.