Oscilaciones longitudinales de un imán

En una primera aproximación, ignoraremos el efecto del tamaño finito del imán.

Consideremos una bobina muy estrecha de N espiras del mismo radio R. El campo producido por dicha bobina en un punto P del eje de la bobina situado a una distancia x de su centro es

B(x)=N μ 0 R 2 I 2 ( R 2 + x 2 ) 3

Supongamos que un imán de momento magnético μ está situado en dicho punto P, de modo que el vector B y el vector μ son paralelos.

La energía potencial del imán será

E p (x)=μ·B(x)=N μ 0 R 2 I 2 ( R 2 + x 2 ) 3 μ

Si la oscilación tiene lugar en las proximidades del centro de la bobina, de modo que x<<R, el movimiento del imán es aproximadamente armónico.

Desarrollando Ep(x) en serie alrededor de x=0, obtenemos

E p (x)= μ 0 INμ 2R + 3 μ 0 INμ 4R x 2 R 2 15 μ 0 INμ 16R x 4 R 4 +...

El primer término, no tiene influencia en el movimiento, ya que la energía potencial está definida salvo una constante aditiva que nos sirve para establecer el origen de la energía potencial.

El segundo término, corresponde a la energía potencial de un oscilador armónico. Para una partícula de masa m que describe un M.A.S. de frecuencia angular ω, la energía potencial se escribe

E p (x)= 1 2 m ω 2 x 2 +cte

Despreciando los términos de orden superior a x2 en el desarrollo en serie, obtenemos la frecuencia angular ω,

ω 2 = 3 μ 0 μ IN 2m R 3

La ecuación de un M.A.S se escribe

x=A·sin(ωt+φ)
v=Aω·
cos(ωt+φ)

Si en el instante inicial la partícula parte de la posición x=A con velocidad v=0. La ecuación del movimiento será

x=A·sin(ωt+π/2)=A·cos(ωt)

Movimiento oscilatorio del imán

En una segunda aproximación, consideraremos el efecto de la longitud del imán, suponiendo que las otras dimensiones (ancho y alto si el imán tiene forma de paralepípedo, radio si tiene forma cilíndrica) son pequeñas para considerar el campo magnético aproximadamente uniforme en la sección trasversal del imán.

Si la amplitud de la oscilación no es pequeña comparada con el radio R de la bobina (como hemos supuesto en el apartado anterior), el movimiento del imán deja de ser armónico simple (M.A.S.).

Consideraremos que el imán está formado por una distribución continua de dipolos (en color oscuro en la figura) de momento dipolar magnético dμ=(μ/L)ds.

Calculamos la energía de esta distribución continua en el campo magnético B producido por una bobina formada por N espiras apretadas del mismo radio R, por la que circula una corriente de intensidad I.

dEp=-B(x+s)·dμ

donde B(x+s) es el campo producido por la bobina en la posición x+s que ocupa el dipolo puntual de longitud ds. Tal como se ve en la figura

La energía potencial total del imán será

E p (x)= μ L L/2 L/2 B(x+s)ds

Dada la energía potencial, calculamos la fuerza que ejerce el campo magnético sobre el imán

F(x)= d E p (x) dx = μ L L/2 L/2 dB(x+s) dx ds= μ L L/2 L/2 dB(x+s) ds ds F(x)= μ L ( B(x+ L 2 )B(x L 2 ) )

Conocida la fuerza F(x) y la masa m del imán. La ecuación del movimiento se escribe

m d 2 x d t 2 = μ L ( B(x+ L 2 )B(x L 2 ) ) B(x)=N μ 0 R 2 I 2 ( R 2 + x 2 ) 3

L=0.07; %longitud del imán en m
N=150; %número de espiras
m=0.25; %masa 
I=2.0; %intensidad
R=0.5; %radio espiras
mu=3.5; %momento magnético

w0=sqrt(3*4*pi*1e-7*I*N*mu/(2*m*R^3));	%frecuencia angular	
B=@(x) N*(4*pi*1e-7)*R^2*I/(2*sqrt(R^2+x^2)^3); %campo magnético
x0=[0.3,0];  %[posición inical en cm, velocidad inicial]
tspan=[0 10*2*pi/w0;];  %diez periodos

%solución numérica
f=@(t,x) [x(2);mu*(B(x(1)+L/2)-B(x(1)-L/2))/(m*L)]; 
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);

plot(t,x(:,1), 'b')
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Oscilaciones longitudinales del imán')
grid on

Actividades

Se introducen

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En la parte izquierda, observamos el movimiento del imán a lo largo del eje de la bobina.

En la parte derecha, observamos la representación gráfica de la energía potencial del imán Ep(x). La ordenada de la recta horizontal de color negro representa la energía total, la energía potencial (en color azul) y la diferencia, en color rojo, es la energía cinética. Mediante una flecha horizontal, se señala la fuerza F(x) sobre el imán. La fuerza es nula en el mínimo de la curva de la energía potencial. Es positiva para x<0 (la pendiente de la curva es negativa) y es negativa para x>0 (la pendiente es positiva).

Se trata de un ejemplo más de oscilación no armónica, que se puede aproximar a un M.A.S. cuando la amplitud de la oscilación es pequeña, es decir, en las proximidades del mínimo de la energía potencial.

Ejemplo:

La frecuencia angular y el periodo P de las oscilaciones armónicas es

ω 2 = 3 μ 0 INμ 2m R 3 = 3·4π· 10 7 ·2·150·3.5 2·0.25· 0.5 3 P= 2π ω =24.97s

Medimos el tiempo de varias oscilaciones completas y determinamos el periodo P o la frecuencia angular ω de la oscilación. Para medir el periodo utilizamos los botones pausa || y paso a paso >|



Referencias

Bisquert J. Hurtado E., Mafé S., Pina J. Oscillations of a dipole in a magnetic field: An experiment. Am. J. Phys. 58 (9) September 1990, pp. 838-843.