Campo magnético producido por una corriente circular en un punto de su eje

En muchos dispositivos que utilizan una corriente para crear un campo magnético, tales como un electroimán o un transformador, el hilo que transporta la corriente está arrollado en forma de bobina formada por muchas espiras. Estudiaremos, en primer lugar, el campo creado por una espira.

En la figura, se muestra una espira circular de radio a, recorrida por una corriente de intensidad i. El punto P está sobre el eje de la espira a una distancia z de su centro.

Sea r la distancia entre el elemento de corriente y el punto P. La ley de Biot nos permite calcular el campo magnético creado por dicho elemento de corriente.

dB= μ 0 i 4π u t × u r r 2 dldB= μ 0 i 4π dl r 2

Los vectores unitarios ut y ur forman 90º

El vector campo magnético dB tiene dos componentes

Por razón de simetría, las componentes perpendiculares al eje creadas por elementos diametralmente opuestos se anulan entre sí. Por tanto, el campo magnético resultante está dirigido a lo largo del eje y puede calcularse mediante una integración sencilla ya que r es constante y θ es constante

B= dB·cos(90θ) = μ 0 i 4π r 2 sinθ dl = μ 0 i 4π r 2 2πasinθ·= μ 0 i a 2 2 ( z 2 + a 2 ) 3

En el centro de la espira z=0, tenemos

B= μ 0 i 2a

El sentido del campo magnético viene determinado por la regla de la mano derecha.

Las bobinas de Helmholtz

Considremos el campo producido por dos bobinas iguales de radio a de N espiras apretadas recorridas por una corriente eléctrica de intensidad i y separadas una distancia d, tal como se aprecia en la figura.

Situamos el origen en el punto medio O entre las dos bobinas y calculamos el campo magnético en un punto z del eje común de las dos bobinas

B= B 1 + B 2 = μ 0 Ni a 2 2 ( ( z+ d 2 ) 2 + a 2 ) 3/2 + μ 0 Ni a 2 2 ( ( z d 2 ) 2 + a 2 ) 3/2 = μ 0 Ni 2a ( 1 ( ( z a + d 2a ) 2 +1 ) 3/2 + 1 ( ( z a d 2a ) 2 +1 ) 3/2 )

Representamos el campo magnético B en función de z/a en unidades de B0=μ0Ni/2a, para tres valores de d/a: 0.5, 1, 2. Como vemos cuando z=0, el campo magnético presenta un máximo si d<a, un mínimo, si d>a y es casi uniforme en el intervalo -a/2<z<a/2 si d=a. Este último, es el caso que nos interesa

B= 8 μ 0 Ni 5 5 a = 32πNi 5 5 a · 10 7 T

hold on
d=0.5;
B=@(z) 1/sqrt((z+d/2)^2+1)^3+1/sqrt((z-d/2)^2+1)^3;
fplot(B,[-1.5,1.5])
d=1;
B=@(z) 1/sqrt((z+d/2)^2+1)^3+1/sqrt((z-d/2)^2+1)^3;
fplot(B,[-1.5,1.5])
d=2;
B=@(z) 1/sqrt((z+d/2)^2+1)^3+1/sqrt((z-d/2)^2+1)^3;
fplot(B,[-1.5,1.5])
hold off
grid on
legend('d=0.5','d=1','d=2')
xlabel('z/a')
ylabel('B/B_0')

Medidas tomadas en el laboratorio

Disponemos de dos bobinas paralelas de radio a=10 cm y las separamos d=a para comprobar que el campo magnético es casi constante en el intervalo -a/2<z<a/2 y luego, disminuye rápidamente cuando nos alejamos del centro de las bobinas.

z (cm) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B (gauss) 7.7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.5 7.3 7.2 6.7 6.1 5.2 4.7 4.3 3.9 3.7 3.3 2.9 2.5 2.4 2.2

z se mide en cm desde el centro de las dos bobinas

x=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19];
y=[7.7, 7.7, 7.7, 7.7, 7.7, 7.5, 7.3, 7.2, 6.7, 6.1, 
5.2, 4.7, 4.3, 3.9, 3.7, 3.3, 2.9, 2.5, 2.4, 2.2];
hold on
plot(x,y,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
plot(x,y)
hold off
grid on
xlabel('z(cm)')
ylabel('B(gauss)')
title('Bobinas de Helmholtz')