Vamos a calcular el campo magnético producido por una espira circular en un punto fuera del eje de la espira. La ley de Biot afirma que el campo $\overrightarrow{B}$ producido por una corriente i se obtiene

${\displaystyle \overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}i}{4\pi }{{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\frac{{\widehat{u}}_t\times {\widehat{u}}_r}{r^2}dl}$

Donde dl es un elemento de corriente, ${\widehat{u}}_t$ es un vector unitario que señala la dirección y sentido de la corriente y ${\widehat{u}}_r$ es un vector unitario que señala el punto P donde se calcula el campo magnético.

El campo producido por una espira de radio a tiene simetría axial, bastará calcular las componentes B_y y B_z del campo magnético en un punto P (0, y, z) del plano YZ.

Como vemos en la figura, la distancia r entre el elemento de corriente dl=a·dφ que está situado en el punto (a·cosφ, a·sinφ, 0) y el punto P (0, y, z) considerado es

${\displaystyle \begin{array}{l}r=\sqrt{a^2+y^2+z^2-2ay\sin \phi }\hfill \\ {\widehat{u}}_r=\frac{-a·\cos \phi ·\widehat{i}+(y-a·\sin \phi )·\widehat{j}+z·\widehat{k}}{r}\hfill \\ {\widehat{u}}_t=-\sin \phi ·\widehat{i}+\cos \phi ·\widehat{j}\hfill \end{array}}$

Efectuando el producto vectorial ${\widehat{u}}_t\times {\widehat{u}}_r$ , obtenemos las componentes del campo

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_x=\frac{{\mu }_0}{4\pi }i·a·z{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\cos \phi }{r^3}d\phi }\\ B_y=\frac{{\mu }_0}{4\pi }i·a·z{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\sin \phi }{r^3}d\phi }\\ B_z=\frac{{\mu }_0}{4\pi }i·a{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{a-y·\sin \phi }{r^3}d\phi }\end{array}}$

La primera integral es inmediata y vale cero B_x=0, ya que para cada elemento de corriente dl existe otro simétrico al plano OYZ cuyo efecto es el de anular la componente X del campo magnético

Las componentes del campo $\overrightarrow{B}$ son

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_y=\frac{{\mu }_0}{2\pi }i·a·z{\displaystyle \underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\sin \phi }{{\left(a^2+z^2+y^2-2ay\sin \phi \right)}^{3/2}}}d\phi \\ B_z=\frac{{\mu }_0}{2\pi }i·a{\displaystyle \underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{a-y·\sin \phi }{{\left(a^2+z^2+y^2-2ay\sin \phi \right)}^{3/2}}}d\phi \end{array}}$

Debido a la simetría cilíndrica del problema, solamente tenemos dos componentes del campo una a lo largo del eje de simetría Z, B_z y la otra B_y en la dirección radial, que a partir de ahora denominaremos B_ρ (coordenadas cilíndricas) sustituyendo y por ρ.

Campo magnético en el eje de la espira

Cuando y=0, un punto del eje de la espira, B_ρ=0. La dirección del campo magnético es el eje de la espira,

${\displaystyle B_z=\frac{{\mu }_{0}i}{2}\frac{a^2}{{\left(z^2+a^2\right)}^{3/2}}}$

En el centro de la espira, z=0, el valor del campo es, B₀=μ₀i/2a

Campo magnético en el interior de la espira

En el plano de la espira z=0, B_ρ=0, el campo magnético tiene dirección perpendicular al plano de la espira

${\displaystyle B_z=\frac{B_0}{\pi }{\displaystyle \underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{1-x\sin \phi }{{(1+x^2-2x\sin \phi )}^{3/2}}d\phi },x=\frac{\rho }{a}}$

Representamos el campo B_z/B₀ en términos de ρ/a

xx=0:0.01:0.95;
B=zeros(1,length(xx));
i=1;
for x=xx
    f=@(phi) (1-x*sin(phi))./(1+x^2-2*x*sin(phi)).^(3/2);
    B(i)=integral(f,-pi/2,pi/2)/pi;
    i=i+1;
end
plot(xx,B)
grid on
xlabel('\rho/a')
ylabel('B/B_0')
title('Campo magnético en el interior de la espira')

Las componentes del campo en términos de integrales elípticas

Para expresar las componentes B_ρ y B_z en términos de las integrales elípticas completas de primera y segunda especie hacemos el cambio de variable, θ=π/2-φ

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_{\rho }=\frac{{\mu }_0}{2\pi }i·a·z{\displaystyle \underset{\pi }{\overset{0}{\int }}\frac{\cos \theta }{{\left(a^2+z^2+{\rho }^2-2a\rho \cos \theta \right)}^{3/2}}}(-d\theta )=-\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi }\frac{a}{{(2a\rho )}^{3/2}}z{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{-\cos \theta ·d\theta }{{(b-\cos \theta )}^{3/2}}}\\ B_z=\frac{{\mu }_0}{2\pi }i·a{\displaystyle \underset{\pi }{\overset{0}{\int }}\frac{a-\rho ·\cos \theta }{{\left(\sqrt{a^2+z^2+{\rho }^2-2a\rho \cos \theta }\right)}^3}}(-d\theta )=\\ \frac{{\mu }_{0}i}{2\pi }\frac{a}{{(2a\rho )}^{3/2}}\left(a{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\theta }{{(b-\cos \theta )}^{3/2}}}+\rho {\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{-\cos \theta ·d\theta }{{(b-\cos \theta )}^{3/2}}}\right)\\ b=\frac{a^2+z^2+{\rho }^2}{2a\rho }\end{array}}$

Las tablas de integrales elípticas (Good) nos dan las siguientes equivalencias

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\theta }{{(b-\cos \theta )}^{3/2}}}=\frac{m}{2-2m}\sqrt{2m}E(m)E(m)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-m{\sin }^2\phi }d\phi }m=\frac{2}{1+b}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{-\cos \theta ·d\theta }{{(b-\cos \theta )}^{3/2}}}=\sqrt{2m}K(m)-\frac{2-m}{2-2m}\sqrt{2m}E(m)K(m)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-m{\sin }^2\phi }}}\end{array}}$

Las componentes del campo magnético se expresan en términos de las integrales elípticas completas de primera K(m) y segunda especie E(m) de la siguiente forma.

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_{\rho }=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi }\frac{a}{{(2a\rho )}^{3/2}}z\left(-\sqrt{2m}K(m)+\frac{2-m}{2-2m}\sqrt{2m}E(m)\right)\\ B_z=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi }\frac{a}{{(2a\rho )}^{3/2}}\left(a\frac{m}{2-2m}\sqrt{2m}E(m)+\rho \sqrt{2m}K(m)-\rho \frac{2-m}{2-2m}\sqrt{2m}E(m)\right)\\ m=\frac{2}{1+b}=\frac{4a\rho }{a^2+z^2+{\rho }^2+2a\rho }\end{array}}$

En la figura, se muestra la dirección del campo magnético mediante flechas, en el plano YZ, con ρ>0 y z>0. El módulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un punto cercano al anillo a otro algo más alejado. El radio de la espira es a=1.0

Estudiamos el campo a lo largo del eje del anillo, y →0,

${\displaystyle m\to \frac{4a\rho }{z^2+a^2}}$

las integrales elípticas tienden ambas a K(0)=E(0)=π/2

Como comprobamos fácilmente B_ρ→0, fijarse que los dos términos entre paréntesis se cancelan. En cuanto a la componente Z. Los dos últimos términos ente paréntesis proporcionales a y se cancelan

${\displaystyle B_z\to \frac{{\mu }_{0}i}{2\pi }\frac{a}{{(2a\rho )}^{3/2}}\left(a\frac{\frac{4a\rho }{z^2+a^2}}{2}\sqrt{2\frac{4a\rho }{z^2+a^2}}\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\mu }_{0}i}{2}\frac{a^2}{{(z^2+a^2)}^{3/2}}}$

Resultado que hemos obtenido previamente.

Como el campo tiene simetría cilíndrica, las expresiones de las componentes del campo a lo largo del eje Z, B_z y en la dirección radial, B_ρ, en términos de ρ y z son

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_{\rho }=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi }\frac{z}{\rho \sqrt{{\left(a+\rho \right)}^2+z^2}}\left(\frac{a^2+{\rho }^2+z^2}{{\left(a-\rho \right)}^2+z^2}E(m)-K(m)\right)\\ B_z=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi }\frac{1}{\sqrt{{\left(a+\rho \right)}^2+z^2}}\left(\frac{a^2-{\rho }^2-z^2}{{\left(a-\rho \right)}^2+z^2}E(m)+K(m)\right)\\ m=\frac{4a\rho }{{\left(a+\rho \right)}^2+z^2}\end{array}}$

Bobinas de Helmholtz

Las bobinas de Helmholtz tienen radio a, N espiras apretadas recorridas por una intensidad i. Son paralelas al plano XY y están situadas en z=a/2 y z=-a/2

El campo magnético producido por las dos bobinas en el punto P (ρ, z) es

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_{\rho }=\frac{{\mu }_{0}Ni}{2\pi \rho }\left\{\frac{\left(z-\frac{a}{2}\right)}{\sqrt{{\left(a+\rho \right)}^2+{\left(z-\frac{a}{2}\right)}^2}}\left(\frac{a^2+{\rho }^2+{\left(z-\frac{a}{2}\right)}^2}{{\left(a-\rho \right)}^2+{\left(z-\frac{a}{2}\right)}^2}E(m_{-})-K(m_{-})\right)+\frac{\left(z+\frac{a}{2}\right)}{\sqrt{{\left(a+\rho \right)}^2+{\left(z+\frac{a}{2}\right)}^2}}\left(\frac{a^2+{\rho }^2+{\left(z+\frac{a}{2}\right)}^2}{{\left(a-\rho \right)}^2+{\left(z+\frac{a}{2}\right)}^2}E(m_{+})-K(m_{+})\right)\right\}\\ B_z=\frac{{\mu }_{0}Ni}{2\pi }\left\{\frac{1}{\sqrt{{\left(a+\rho \right)}^2+{\left(z-\frac{a}{2}\right)}^2}}\left(\frac{a^2-{\rho }^2-{\left(z-\frac{a}{2}\right)}^2}{{\left(a-\rho \right)}^2+{\left(z-\frac{a}{2}\right)}^2}E(m_{-})+K(m_{-})\right)+\frac{1}{\sqrt{{\left(a+\rho \right)}^2+{\left(z+\frac{a}{2}\right)}^2}}\left(\frac{a^2-{\rho }^2-{\left(z+\frac{a}{2}\right)}^2}{{\left(a-\rho \right)}^2+{\left(z+\frac{a}{2}\right)}^2}E(m_{+})+K(m_{+})\right)\right\}\\ m_{-}=\frac{4a\rho }{{\left(a+\rho \right)}^2+{\left(z-\frac{a}{2}\right)}^2},m_{+}=\frac{4a\rho }{{\left(a+\rho \right)}^2+{\left(z+\frac{a}{2}\right)}^2}\end{array}}$

El campo magnético en el origen z=0, ρ=0 es

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_0=\frac{{\mu }_{0}Ni}{2\pi }\left\{\frac{1}{\sqrt{a^2+{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2}}\left(\frac{a^2-{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2}{a^2+{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2}\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)+\frac{1}{\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}}\left(\frac{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)\right\}\\ B_0=\frac{{\mu }_{0}Ni}{2\pi }\left\{\frac{2}{\sqrt{5}a}\left(\frac{3}{5}\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)+\frac{2}{\sqrt{5}a}\left(\frac{3}{5}\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)\right\}=\frac{8}{5\sqrt{5}}\frac{{\mu }_{0}Ni}{a}\end{array}}$

Valor que ya hemos obtenido al estudiar el campo magnético producido por una corriente circular en un punto de su eje

Representamos la componente, B_z/B₀ en función de z/a, (-a/2<z<a/2) para varios valores de la distancia radial ρ/a=0, 0.25, 0.5, 0.75

a=1; %radio espira
hold on
for r=[0,0.25,0.5,0.75]
    z=linspace(-0.5,0.5,50);
    m1=4*a*r./((a+r).^2+(z-a/2).^2);
    m2=4*a*r./((a+r).^2+(z+a/2).^2);
    [K1,E1]=ellipke(m1);
    [K2,E2]=ellipke(m2);
    B_z=(5*sqrt(5)*a/(16*pi))*(((a^2-r^2-(z-a/2).^2).*E1./((a-r)^2+
(z-a/2).^2)+K1)./sqrt((a+r)^2+(z-a/2).^2)+((a^2-r^2-(z+a/2).^2).*E2./
((a-r).^2+(z+a/2).^2)+K2)./sqrt((a+r)^2+(z+a/2).^2));
    plot(z, B_z,'displayName',num2str(r))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','best')
ylabel('B_z/B_0')
xlabel('z/a')
title('Componente B_z')

Representamos la componente, B_ρ/B₀ en función de z/a, (-a/2<z<a/2) para varios valores de la distancia radial ρ/a= 0.25, 0.5, 0.75. Para ρ=0, B_ρ=0

a=1; %radio espira
hold on
for r=[0.25,0.5,0.75]
    z=linspace(-0.5,0.5,50);
    m1=4*a*r./((a+r).^2+(z-a/2).^2);
    m2=4*a*r./((a+r).^2+(z+a/2).^2);
    [K1,E1]=ellipke(m1);
    [K2,E2]=ellipke(m2);
    B_r=(5*sqrt(5)*a/(16*pi*r)).*((z-a/2).*((a^2+r^2+(z-a/2).^2).*E1.
/((a-r)^2+(z-a/2).^2)-K1)./sqrt((a+r)^2+(z-a/2).^2)+(z+a/2).*
((a^2+r^2+(z+a/2).^2).*E2./((a-r)^2+(z+a/2).^2)-K2)./sqrt((a+r)^2+(z+a/2).^2));
    plot(z, B_r,'displayName',num2str(r))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','best')
ylabel('B_\rho/B_0')
xlabel('z/a')
title('Componente B_\rho')

Puntos alejados de la espira. Dipolo magnético

Partimos de nuevo de las ecuaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_{\rho }=\frac{{\mu }_0}{2\pi }i·a·z{\displaystyle \underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\sin \phi }{{\left(a^2+z^2+{\rho }^2-2a\rho \sin \phi \right)}^{3/2}}}d\phi \\ B_z=\frac{{\mu }_0}{2\pi }i·a{\displaystyle \underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{a-\rho ·\sin \phi }{{\left(a^2+z^2+{\rho }^2-2a\rho \sin \phi \right)}^{3/2}}}d\phi \end{array}}$

Si el punto P está lejos de la espira, es decir, si se cumple que

${\displaystyle \sqrt{z^2+{\rho }^2}>>a}$

Aproximamos el denominador de las dos integrales que nos calculan el campo B_ρ y B_z.

${\displaystyle {\left(r^2+a^2-2a\rho \sin \phi \right)}^{-3/2}\approx r^{-3}{\left(1-\frac{2a\rho ·\sin \phi }{r^2}\right)}^{-3/2}\approx r^{-3}\left(1+\frac{3a\rho ·\sin \phi }{r^2}\right)}$

Donde hemos llamado ahora r a

${\displaystyle \begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+{\rho }^2}\hfill \\ \begin{array}{l}{B}_{\rho }\approx \frac{{\mu }_0}{2\pi }i·a·z\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{{\displaystyle \int }}}\frac{1}{r^3}\left(1+\frac{3a\rho ·\sin \phi }{r^2}\right)\sin \phi ·d\phi =\\ \text{}\frac{{\mu }_{0}iaz}{2\pi r^3}\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{{\displaystyle \int }}}\left(\sin \phi +\frac{3a\rho ·{\sin }^2\phi }{r^2}\right)·d\phi =\end{array}\hfill \\ =\frac{{\mu }_{0}iaz}{2\pi r^3}{\left(-\cos \phi +\frac{3a\rho }{2r^2}\left(\phi -\frac{1}{2}\sin (2\phi )\right)\right)|}_{-\pi /2}^{\pi /2}=\frac{{\mu }_{0}i{a}^2}{4r^3}\frac{3\rho z}{r^2}\hfill \\ B_z\approx \frac{{\mu }_0}{2\pi }i·a\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{{\displaystyle \int }}}(a-\rho ·\sin \phi )\frac{1}{r^3}\left(1+\frac{3a\rho ·\sin \phi }{r^2}\right)d\phi \hfill \\ =\frac{{\mu }_{0}ia}{2\pi r^3}\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{{\displaystyle \int }}}\left(a-\rho ·\sin \phi -\frac{3a{\rho }^2·{\sin }^2\phi }{r^2}+\frac{3a^2\rho ·\sin \phi }{r^2}\right)d\phi =\hfill \\ \begin{array}{l}\frac{{\mu }_{0}ia}{2\pi r^3}{\left(a\phi -\frac{3a^2\rho ·\cos \phi }{r^2}+\rho ·\cos \phi -\frac{3a{\rho }^2}{2r^2}\left(\phi -\frac{1}{2}\sin (2\phi )\right)\right)|}_{-\pi /2}^{\pi /2}=\\ \text{}\frac{{\mu }_{0}i{a}^2}{2r^3}\left(1-\frac{3{\rho }^2}{2r^2}\right)=\frac{{\mu }_{0}i{a}^2}{4r^3}\left(\frac{3z^2}{r^2}-1\right)\end{array}\hfill \end{array}}$

Las componentes del campo para r>>a, son aproximadamente

${\displaystyle \begin{array}{l}r=\sqrt{z^2+{\rho }^2}>>a\\ B_{\rho }=\frac{{\mu }_{0}i{a}^2}{4r^3}\left(\frac{3\rho z}{r^2}\right)\\ B_z=\frac{{\mu }_{0}i{a}^2}{4r^3}\left(\frac{3z^2}{r^2}-1\right)\end{array}}$

El campo creado por una bobina de N espiras apretadas es N veces el campo producido por una de las espiras.

Expresamos las dos componentes del campo, B_ρ y B_z en el punto P (ρ, z) en una única fórmula.

${\displaystyle \overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{3(\overrightarrow{m}·\overrightarrow{r})\overrightarrow{r}-r^2\overrightarrow{m}}{r^5}}$

Donde $\overrightarrow{m}=i·\pi a^2\widehat{k}$ es el momento dipolar magnético, señalado mediante una flecha de color rojo.

Líneas de campo magnético

Vamos a dibujar las líneas de campo magnético producido por un dipolo en el plano YZ, siendo el eje Y la dirección radial

Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es

${\displaystyle \frac{dz}{dy}=\frac{B_z}{B_y}}$

tal como se muestra en la figura.

La ecuación diferencial de las líneas de fuerza para el dipolo magnético es

${\displaystyle \frac{dz}{dy}=\frac{2z^2-y^2}{3yz}}$

Haciendo el cambio de variable

Z=z², Y=lny

${\displaystyle \frac{dZ}{dY}=\frac{4}{3}Z-\frac{2}{3}\exp (2Y)}$

Para integrar esta ecuación diferencial de primer orden escribimos Z=u·v

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{du}{dY}v+\frac{dv}{dY}u=\frac{4}{3}uv-\frac{2}{3}\exp (2Y)\\ v\left(\frac{du}{dY}-\frac{4}{3}u\right)+\frac{dv}{dY}u=-\frac{2}{3}\exp (2Y)\end{array}}$

Igualamos a cero el paréntesis

${\displaystyle \frac{du}{dY}=\frac{4}{3}u\ln u=\frac{4}{3}Yu=\exp \left(\frac{4}{3}Y\right)}$

La ecuación queda

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dv}{dY}\exp \left(\frac{4}{3}Y\right)=-\frac{2}{3}\exp (2Y)\\ \frac{dv}{dY}=-\frac{2}{3}\exp \left(\frac{2}{3}Y\right)v=-\exp \left(\frac{2}{3}Y\right)+C\end{array}}$

La solución de la ecuación diferencial es,

${\displaystyle Z=\exp \left(\frac{4}{3}Y\right)\left(-\exp \left(\frac{2}{3}Y\right)+C\right)=C\exp \left(\frac{4}{3}Y\right)-\exp \left(2Y\right)}$

donde C es una constante de integración

Deshaciendo el cambio de variable

${\displaystyle z^2+y^2=C{y}^{4/3}}$

Escribiendo la constante C=D^2/3, D tiene dimensiones de longitud

${\displaystyle {\left(\frac{z}{D}\right)}^2+{\left(\frac{y}{D}\right)}^2={\left(\frac{y}{D}\right)}^{4/3}}$

En la figura, se muestra las líneas del campo magnético para D=-1, -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 y 1.0

hold on
for D=-1:0.25:1
    if D==0 
        continue;
    end
    y=linspace(0,D,100);
    z=D*sqrt((y/D).^(4/3)-(y/D).^2);
    plot(y,z, 'r')
    plot(y,-z,'r')
end
hold off
grid on
axis equal
xlabel('y')
ylabel('z')
title('Dipolo magnético')

Resultados

La aproximación dipolar del campo magnético producido por una espira, se utiliza ampliamente. Vamos a comparar el valor de las componentes del campo magnético B_ρ y B_z exactos producido por una espira con las componentes del campo magnético producido por un dipolo en dos situaciones:

• Fijando la distancia ρ al eje de la espira y variando la distancia z a la espira
• Fijando la distancia z a la espira y variando la distancia radial ρ a su eje

Cálculo exacto

Los scripts calculan el valor de B_ρ y de B_z en unidades del campo en el centro de la espira μ₀i/(2a), cuando se proporciona la

• La distancia radial al eje Z, ξ=ρ/a
• La distancia a la espira ζ=z/a

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_{\rho }=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi a}\frac{\varsigma }{\xi \sqrt{({(1+\xi )}^2+{\varsigma }^2)}}\left(-K(m)+\frac{2-m}{2-2m}E(m)\right)\\ B_z=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi a}\frac{1}{\xi \sqrt{{\left(1+\xi \right)}^2+{\varsigma }^2}}\left(\frac{m-2\xi +m\xi }{2-2m}E(m)+\xi K(m)\right)\\ m=\frac{4\xi }{{\left(1+\xi \right)}^2+{\varsigma }^2}\end{array}}$

Aproximación dipolar

Del mismo modo, los scripts calculan el valor de B_ρ y de B_z en unidades del campo en el centro de la espira μ₀i/(2a), cuando se proporciona la

• La distancia radial al eje Z, ξ=ρ/a
• La distancia a la espira ζ=z/a

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_{\rho }=\frac{{\mu }_{0}i}{2a}\frac{3\xi \varsigma }{2{\left(\sqrt{{\varsigma }^2+{\xi }^2}\right)}^5}\\ B_z=\frac{{\mu }_{0}i}{2a}\frac{1}{2{\left(\sqrt{{\varsigma }^2+{\xi }^2}\right)}^3}\left(\frac{3{\varsigma }^2}{{\varsigma }^2+{\xi }^2}-1\right)\end{array}}$

• Componente B_z del campo magnético
1. Se mantiene fija la distancia ξ al eje de la espira, se cambia la distancia ζ a la espira

y=2;
z=linspace(2,5,100);
m=4*y./((1+y)^2+z.^2);
[K,E]=ellipke(m);
Bz=(y*K+((m-2*y+y*m).*E)./(2-2*m))./(pi*y*sqrt((1+y)^2+z.^2));
hold on
plot(z,Bz)
plot(z,(1./(2*sqrt(z.^2+y^2).^3)).*((3*z.^2)./(z.^2+y^2)-1))
hold off
grid on
legend('B_z, exacta','B_z dipolo')
xlabel('z')
ylabel('B_z')
title('Campo magnético producido por una espira')



2. Se mantiene fija la distancia ζ a la espira, se cambia la distancia ξ al eje de la espira

z=2;
y=linspace(0,5,100);
m=4*y./((1+y).^2+z^2);
[K,E]=ellipke(m);
Bz=(y.*K+((m-2*y+y.*m).*E)./(2-2*m))./(pi*y.*sqrt((1+y).^2+z^2));
hold on
plot(y,Bz)
plot(y,(1./(2*sqrt(z^2+y.^2).^3)).*((3*z^2)./(z^2+y.^2)-1))
hold off
grid on
legend('B_z, exacta','B_z dipolo')
xlabel('\rho')
ylabel('B_z')
title('Campo magnético producido por una espira')



• Componente B_ρ del campo magnético
1. Se mantiene fija la distancia ξ al eje de la espira, se cambia la distancia ζ a la espira

y=2;
z=linspace(1,5,100);
m=4*y./((1+y)^2+z.^2);
[K,E]=ellipke(m);
By=(-K+((2-m).*E)./(2-2*m)).*z./(pi*y*sqrt((1+y)^2+z.^2));
hold on
plot(z,By)
plot(z,3*y*z./(2*sqrt(z.^2+y^2).^5))
hold off
grid on
legend('B_\rho, exacta','B_\rho dipolo')
xlabel('z')
ylabel('B_\rho')
title('Campo magnético producido por una espira')



2. Se mantiene fija la distancia ζ a la espira, se cambia la distancia ξ al eje de la espira

z=2;
y=linspace(1,5,100);
m=4*y./((1+y).^2+z^2);
[K,E]=ellipke(m);
By=(-K+((2-m).*E)./(2-2*m))*z./(pi*y.*sqrt((1+y).^2+z^2));
hold on
plot(y,Bz)
plot(y,3*y*z./(2*sqrt(z^2+y.^2).^5))
hold off
grid on
legend('B_\rho, exacta','B_\rho dipolo')
xlabel('\rho')
ylabel('B_\rho')
title('Campo magnético producido por una espira')

Referencias

Good R. H. Elliptic integrals, the forgotten functions.Eur. J. Phys. 22 (2001) pp. 119-126.

Mc Tavish J. P., Field pattern of a magnetic dipole. Am. J. Phys. 68 (6) June 2000, pp. 577-578
Erratum: 'Field pattern of a magnetic dipole'. Am. J. Phys. 69 (10) October 2001, pp. 1112

Fotografía tomada en la VIII Edición del Concurso Ciencia en Acción Zaragoza (2007): Albert Agraz Sánchez, Santiago Clúa. Detector de movimiento por inducción magnética. Universidad de Lérida.