Campo magnético producido por una corriente circular en un punto fuera de su eje
Vamos a calcular el campo magnético producido por una espira circular en un punto fuera del eje de la espira. La ley de Biot afirma que el campo producido por una corriente i se obtiene
Donde dl es un elemento de corriente, es un vector unitario que señala la dirección y sentido de la corriente y es un vector unitario que señala el punto P donde se calcula el campo magnético.
El campo producido por una espira de radio a tiene simetría axial, bastará calcular las componentes By y Bz del campo magnético en un punto P (0, y, z) del plano YZ.
Como vemos en la figura, la distancia r entre el elemento de corriente dl=a·dφ que está situado en el punto (a·cosφ, a·sinφ, 0) y el punto P (0, y, z) considerado es
Efectuando el producto vectorial , obtenemos las componentes del campo
La primera integral es inmediata y vale cero Bx=0, ya que para cada elemento de corriente dl existe otro simétrico al plano OYZ cuyo efecto es el de anular la componente X del campo magnético
Las componentes del campo son
Debido a la simetría cilíndrica del problema, solamente tenemos dos componentes del campo una a lo largo del eje de simetría Z, Bz y la otra By en la dirección radial, que a partir de ahora denominaremos Bρ (coordenadas cilíndricas) sustituyendo y por ρ.
Campo magnético en el eje de la espira
Cuando y=0, un punto del eje de la espira, Bρ=0. La dirección del campo magnético es el eje de la espira,
En el centro de la espira, z=0, el valor del campo es, B0=μ0i/2a
Campo magnético en el interior de la espira
En el plano de la espira z=0, Bρ=0, el campo magnético tiene dirección perpendicular al plano de la espira
Representamos el campo Bz/B0 en términos de ρ/a
xx=0:0.01:0.95; B=zeros(1,length(xx)); i=1; for x=xx f=@(phi) (1-x*sin(phi))./(1+x^2-2*x*sin(phi)).^(3/2); B(i)=integral(f,-pi/2,pi/2)/pi; i=i+1; end plot(xx,B) grid on xlabel('\rho/a') ylabel('B/B_0') title('Campo magnético en el interior de la espira')
Las componentes del campo en términos de integrales elípticas
Para expresar las componentes Bρ y Bz en términos de las integrales elípticas completas de primera y segunda especie hacemos el cambio de variable, θ=π/2-φ
Las tablas de integrales elípticas (Good) nos dan las siguientes equivalencias
Las componentes del campo magnético se expresan en términos de las integrales elípticas completas de primera K(m) y segunda especie E(m) de la siguiente forma.
En la figura, se muestra la dirección del campo magnético mediante flechas, en el plano YZ, con ρ>0 y z>0. El módulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un punto cercano al anillo a otro algo más alejado. El radio de la espira es a=1.0
Estudiamos el campo a lo largo del eje del anillo, y →0,
las integrales elípticas tienden ambas a K(0)=E(0)=π/2
Como comprobamos fácilmente Bρ→0, fijarse que los dos términos entre paréntesis se cancelan. En cuanto a la componente Z. Los dos últimos términos ente paréntesis proporcionales a y se cancelan
Resultado que hemos obtenido previamente.
Como el campo tiene simetría cilíndrica, las expresiones de las componentes del campo a lo largo del eje Z, Bz y en la dirección radial, Bρ, en términos de ρ y z son
Bobinas de Helmholtz
Las bobinas de Helmholtz tienen radio a, N espiras apretadas recorridas por una intensidad i. Son paralelas al plano XY y están situadas en z=a/2 y z=-a/2
El campo magnético producido por las dos bobinas en el punto P (ρ, z) es
El campo magnético en el origen z=0, ρ=0 es
Valor que ya hemos obtenido al estudiar el campo magnético producido por una corriente circular en un punto de su eje
Representamos la componente, Bz/B0 en función de z/a, (-a/2<z<a/2) para varios valores de la distancia radial ρ/a=0, 0.25, 0.5, 0.75
a=1; %radio espira hold on for r=[0,0.25,0.5,0.75] z=linspace(-0.5,0.5,50); m1=4*a*r./((a+r).^2+(z-a/2).^2); m2=4*a*r./((a+r).^2+(z+a/2).^2); [K1,E1]=ellipke(m1); [K2,E2]=ellipke(m2); B_z=(5*sqrt(5)*a/(16*pi))*(((a^2-r^2-(z-a/2).^2).*E1./((a-r)^2+ (z-a/2).^2)+K1)./sqrt((a+r)^2+(z-a/2).^2)+((a^2-r^2-(z+a/2).^2).*E2./ ((a-r).^2+(z+a/2).^2)+K2)./sqrt((a+r)^2+(z+a/2).^2)); plot(z, B_z,'displayName',num2str(r)) end hold off grid on legend('-DynamicLegend','location','best') ylabel('B_z/B_0') xlabel('z/a') title('Componente B_z')
Representamos la componente, Bρ/B0 en función de z/a, (-a/2<z<a/2) para varios valores de la distancia radial ρ/a= 0.25, 0.5, 0.75. Para ρ=0, Bρ=0
a=1; %radio espira hold on for r=[0.25,0.5,0.75] z=linspace(-0.5,0.5,50); m1=4*a*r./((a+r).^2+(z-a/2).^2); m2=4*a*r./((a+r).^2+(z+a/2).^2); [K1,E1]=ellipke(m1); [K2,E2]=ellipke(m2); B_r=(5*sqrt(5)*a/(16*pi*r)).*((z-a/2).*((a^2+r^2+(z-a/2).^2).*E1. /((a-r)^2+(z-a/2).^2)-K1)./sqrt((a+r)^2+(z-a/2).^2)+(z+a/2).* ((a^2+r^2+(z+a/2).^2).*E2./((a-r)^2+(z+a/2).^2)-K2)./sqrt((a+r)^2+(z+a/2).^2)); plot(z, B_r,'displayName',num2str(r)) end hold off grid on legend('-DynamicLegend','location','best') ylabel('B_\rho/B_0') xlabel('z/a') title('Componente B_\rho')
Puntos alejados de la espira. Dipolo magnético
Partimos de nuevo de las ecuaciones
Si el punto P está lejos de la espira, es decir, si se cumple que
Aproximamos el denominador de las dos integrales que nos calculan el campo Bρ y Bz.
Donde hemos llamado ahora r a
Las componentes del campo para r>>a, son aproximadamente
El campo creado por una bobina de N espiras apretadas es N veces el campo producido por una de las espiras.

Expresamos las dos componentes del campo, Bρ y Bz en el punto P (ρ, z) en una única fórmula.
Donde es el momento dipolar magnético, señalado mediante una flecha de color rojo.
Líneas de campo magnético
Vamos a dibujar las líneas de campo magnético producido por un dipolo en el plano YZ, siendo el eje Y la dirección radial

Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es
tal como se muestra en la figura.
La ecuación diferencial de las líneas de fuerza para el dipolo magnético es
Haciendo el cambio de variable
Z=z2, Y=lny
Para integrar esta ecuación diferencial de primer orden escribimos Z=u·v
Igualamos a cero el paréntesis
La ecuación queda
La solución de la ecuación diferencial es,
donde C es una constante de integración
Deshaciendo el cambio de variable
Escribiendo la constante C=D2/3, D tiene dimensiones de longitud
En la figura, se muestra las líneas del campo magnético para D=-1, -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 y 1.0
hold on for D=-1:0.25:1 if D==0 continue; end y=linspace(0,D,100); z=D*sqrt((y/D).^(4/3)-(y/D).^2); plot(y,z, 'r') plot(y,-z,'r') end hold off grid on axis equal xlabel('y') ylabel('z') title('Dipolo magnético')
Resultados
La aproximación dipolar del campo magnético producido por una espira, se utiliza ampliamente. Vamos a comparar el valor de las componentes del campo magnético Bρ y Bz exactos producido por una espira con las componentes del campo magnético producido por un dipolo en dos situaciones:
- Fijando la distancia ρ al eje de la espira y variando la distancia z a la espira
- Fijando la distancia z a la espira y variando la distancia radial ρ a su eje
Cálculo exacto
Los scripts calculan el valor de Bρ y de Bz en unidades del campo en el centro de la espira μ0i/(2a), cuando se proporciona la
- La distancia radial al eje Z, ξ=ρ/a
- La distancia a la espira ζ=z/a
Aproximación dipolar
Del mismo modo, los scripts calculan el valor de Bρ y de Bz en unidades del campo en el centro de la espira μ0i/(2a), cuando se proporciona la
- La distancia radial al eje Z, ξ=ρ/a
- La distancia a la espira ζ=z/a
- Componente Bz del campo magnético
- Se mantiene fija la distancia ξ al eje de la espira, se cambia la distancia ζ a la espira
- Se mantiene fija la distancia ζ a la espira, se cambia la distancia ξ al eje de la espira
- Componente Bρ del campo magnético
- Se mantiene fija la distancia ξ al eje de la espira, se cambia la distancia ζ a la espira
- Se mantiene fija la distancia ζ a la espira, se cambia la distancia ξ al eje de la espira
y=2; z=linspace(2,5,100); m=4*y./((1+y)^2+z.^2); [K,E]=ellipke(m); Bz=(y*K+((m-2*y+y*m).*E)./(2-2*m))./(pi*y*sqrt((1+y)^2+z.^2)); hold on plot(z,Bz) plot(z,(1./(2*sqrt(z.^2+y^2).^3)).*((3*z.^2)./(z.^2+y^2)-1)) hold off grid on legend('B_z, exacta','B_z dipolo') xlabel('z') ylabel('B_z') title('Campo magnético producido por una espira')
z=2; y=linspace(0,5,100); m=4*y./((1+y).^2+z^2); [K,E]=ellipke(m); Bz=(y.*K+((m-2*y+y.*m).*E)./(2-2*m))./(pi*y.*sqrt((1+y).^2+z^2)); hold on plot(y,Bz) plot(y,(1./(2*sqrt(z^2+y.^2).^3)).*((3*z^2)./(z^2+y.^2)-1)) hold off grid on legend('B_z, exacta','B_z dipolo') xlabel('\rho') ylabel('B_z') title('Campo magnético producido por una espira')
y=2; z=linspace(1,5,100); m=4*y./((1+y)^2+z.^2); [K,E]=ellipke(m); By=(-K+((2-m).*E)./(2-2*m)).*z./(pi*y*sqrt((1+y)^2+z.^2)); hold on plot(z,By) plot(z,3*y*z./(2*sqrt(z.^2+y^2).^5)) hold off grid on legend('B_\rho, exacta','B_\rho dipolo') xlabel('z') ylabel('B_\rho') title('Campo magnético producido por una espira')
z=2; y=linspace(1,5,100); m=4*y./((1+y).^2+z^2); [K,E]=ellipke(m); By=(-K+((2-m).*E)./(2-2*m))*z./(pi*y.*sqrt((1+y).^2+z^2)); hold on plot(y,Bz) plot(y,3*y*z./(2*sqrt(z^2+y.^2).^5)) hold off grid on legend('B_\rho, exacta','B_\rho dipolo') xlabel('\rho') ylabel('B_\rho') title('Campo magnético producido por una espira')
Referencias
Good R. H. Elliptic integrals, the forgotten functions.Eur. J. Phys. 22 (2001) pp. 119-126.
Mc Tavish J. P., Field pattern of a magnetic dipole. Am. J. Phys. 68 (6) June 2000, pp. 577-578
Erratum: 'Field pattern of a magnetic dipole'. Am. J. Phys. 69 (10) October 2001, pp. 1112
Fotografía tomada en la VIII Edición del Concurso Ciencia en Acción Zaragoza (2007): Albert Agraz Sánchez, Santiago Clúa. Detector de movimiento por inducción magnética. Universidad de Lérida.