Campo magnético producido por una corriente circular en un punto fuera de su eje

Vamos a calcular el campo magnético producido por una espira circular en un punto fuera del eje de la espira. La ley de Biot afirma que el campo B producido por una corriente i se obtiene

B= μ 0 i 4π u t × u r r 2 dl

Donde dl es un elemento de corriente, ut es un vector unitario que señala la dirección y sentido de la corriente y ur es un vector unitario que señala el punto P donde se calcula el campo magnético.

El campo producido por una espira de radio a tiene simetría axial, bastará calcular las componentes By y Bz del campo magnético en un punto P (0, y, z) del plano YZ.

Como vemos en la figura la distancia r entre el elemento de corriente dl=a·dφ que está situado en el punto (a·cosφ , a·sinφ , 0) y el punto P (0, y, z) considerado es

r= a 2 + y 2 + z 2 2aysinφ u r = a·cosφ·i+(ya·sinφ)·j+z·k r u t =sinφ·i+cosφ·j

Efectuando el producto vectorial ut × ur, nos queda las componentes del campo

B x = μ 0 4π i·a·z 0 2π cosφ r 3 dφ B y = μ 0 4π i·a·z 0 2π sinφ r 3 dφ B z = μ 0 4π i·a 0 2π ay·sinφ r 3 dφ

La primera integral es inmediata y vale cero Bx=0, ya que para cada elemento de corriente dl existe otro simétrico al plano OYZ cuyo efecto es el de anular la componente X del campo magnético

Las componentes del campo B son

B y = μ 0 2π i·a·z π/2 π/2 sinφ ( a 2 + z 2 + y 2 2aysinφ ) 3/2 dφ B z = μ 0 2π i·a π/2 π/2 ay·sinφ ( a 2 + z 2 + y 2 2aysinφ ) 3/2 dφ

Debido a la simetría cilíndrica del problema, solamente tenemos dos componentes del campo una a lo largo del eje de simetría Z, Bz y la otra en la dirección radial By.

Cuando y=0, un punto del eje de la espira, comprobamos fácilmente que By=0, y que

B z = μ 0 i 2 a 2 ( z 2 + a 2 ) 3/2

Para expresar estas integrales en términos de las integrales elípticas completas de primera y segunda especie hacemos el cambio de variable

θ=π/2-φ

B y = μ 0 2π i·a·z π 0 cosθ ( a 2 + z 2 + y 2 2aycosθ ) 3/2 (dθ)= μ 0 i 2π a (2ay) 3/2 z 0 π cosθ·dθ (bcosθ) 3/2 B z = μ 0 2π i·a π 0 ay·cosθ ( a 2 + z 2 + y 2 2aycosθ ) 3 (dθ)= μ 0 i 2π a (2ay) 3/2 ( a 0 π dθ (bcosθ) 3/2 +y 0 π cosθ·dθ (bcosθ) 3/2 ) b= a 2 + z 2 + y 2 2ay

Las tablas de integrales elípticas (Good) nos dan las siguientes equivalencias

0 π dθ (bcosθ) 3/2 = m 22m 2m E(m)E(m)= 0 π/2 1m sin 2 φ dφ m= 2 1+b 0 π cosθ·dθ (bcosθ) 3/2 = 2m K(m) 2m 22m 2m E(m)K(m)= 0 π/2 dφ 1m sin 2 φ  

Las componentes del campo magnético se expresan en términos de las integrales elípticas completas de primera K(m) y segunda especie E(m) de la siguiente forma.

B y = μ 0 i 2π a (2ay) 3/2 z( 2m K(m)+ 2m 22m 2m E(m)   ) B z = μ 0 i 2π a (2ay) 3/2 ( a m 22m 2m E(m)+y 2m K(m)y 2m 22m 2m E(m) ) m= 2 1+b = 4ay a 2 + z 2 + y 2 +2ay

En la figura, se muestra la dirección del campo magnético mediante flechas, en el plano YZ, con y>0  y z>0. El módulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un punto cercano al anillo a otro algo más alejado. El radio de la espira es a=1.0

Estudiamos el campo a lo largo del eje del anillo, y →0,

m 4ay z 2 + a 2

las integrales elípticas tienden ambas a K(0)=E(0)=π/2

Como comprobamos fácilmente By→0, fijarse que los dos términos entre paréntesis se cancelan. En cuanto a la componente Z. Los dos últimos términos ente paréntesis proporcionales a y se cancelan

B z μ 0 i 2π a (2ay) 3/2 ( a 4ay z 2 + a 2 2 2 4ay z 2 + a 2 π 2 )= μ 0 i 2 a 2 ( z 2 + a 2 ) 3/2

Resultado que hemos obtenido previamente.

Componentes del campo magnético

Hemos calculado el campo magnético en un punto P(0,x,z) del plano YZ. Como el campo tiene simetría cilíndrica, las expresiones de las componentes del campo a lo largo del eje Z, Bz y en la dirección radial, Bρ, en términos de ρ y z son

B ρ = μ 0 i 2π a (2aρ) 3/2 z 2m ( K(m)+ 2m 22m E(m)   ) B z = μ 0 i 2π a (2aρ) 3/2 2m ( a m 22m E(m)+ρK(m)ρ 2m 22m E(m) ) m= 4aρ ( a+ρ ) 2 + z 2

Puntos alejados de la espira. Dipolo magnético

Partimos de nuevo de las ecuaciones

B ρ = μ 0 2π i·a·z π/2 π/2 sinφ ( a 2 + z 2 + ρ 2 2aρsinφ ) 3/2 dφ B z = μ 0 2π i·a π/2 π/2 aρ·sinφ ( a 2 + z 2 + ρ 2 2aρsinφ ) 3/2 dφ

Si el punto P está lejos de la espira, es decir, si se cumple que

z 2 + ρ 2 >>a

Aproximamos el denominador de las dos integrales que nos calculan el campo Bρ y Bz.

( r 2 + a 2 2aρsinφ ) 3/2 r 3 ( 1 2aρ·sinφ r 2 ) 3/2 r 3 ( 1+ 3aρ·sinφ r 2 )

Donde hemos llamado ahora r a

r= x 2 + ρ 2 B ρ μ 0 2π i·a·z π/2 π/2 1 r 3 ( 1+ 3aρ·sinφ r 2 ) sinφ·dφ= μ 0 iaz 2π r 3 π/2 π/2 ( sinφ+ 3aρ· sin 2 φ r 2 ) ·dφ= = μ 0 iaz 2π r 3 ( cosφ+ 3aρ 2 r 2 ( φ 1 2 sin(2φ) ) ) π/2 π/2 = μ 0 i a 2 4 r 3 ( 3ρz r 2 ) B z μ 0 2π i·a π/2 π/2 (aρ·sinφ) 1 r 3 ( 1+ 3aρ·sinφ r 2 ) dφ = μ 0 ia 2π r 3 π/2 π/2 ( aρ·sinφ 3a ρ 2 · sin 2 φ r 2 + 3 a 2 ρ·sinφ r 2 ) dφ= μ 0 ia 2π r 3 ( aφ 3 a 2 ρ·cosφ r 2 +ρ·cosφ 3a ρ 2 2 r 2 ( φ 1 2 sin(2φ) ) ) π/2 π/2 = μ 0 i a 2 2 r 3 ( 1 3 ρ 2 2 r 2 )= μ 0 i a 2 4 r 3 ( 3 z 2 r 2 1 )

Las componentes del campo para r>>a, son aproximadamente

r= z 2 + ρ 2 >>a B ρ = μ 0 i a 2 4 r 3 ( 3ρz r 2 ) B z = μ 0 i a 2 4 r 3 ( 3 z 2 r 2 1 )

El campo creado por una bobina de N espiras apretadas es N veces el campo producido por una de las espiras.

Expresamos las dos componentes del campo, Bρ y Bz en el punto P (ρ, z) en una única fórmula.

B= μ 0 4π 3(m·r)r r 2 m r 5

Donde m=i·πa2 k es el momento dipolar magnético, señalado mediante una flecha de color rojo.

Resultados

La aproximación dipolar del campo magnético producido por una espira, se utiliza ampliamente. Vamos a comparar el valor de las componentes del campo magnético Bρ y Bz exactos producido por una espira con las componentes del campo magnético producido por un dipolo en dos situaciones:

Cálculo exacto

Los scripts calculan el valor de Bρ y de Bz en unidades del campo en el centro de la espira μ0i/(2a), cuando se proporciona la

B ρ = μ 0 i 2a ς πξ ( (1+ξ) 2 + ς 2 ) ( K(m)+ 2m 22m E(m)   ) B z = μ 0 i 2a 1 πξ ( (1+ξ) 2 + ς 2 ) ( m2ξ+mξ 22m E(m)+ξK(m) ) m= 4ξ (1+ξ) 2 + ς 2

Aproximación dipolar

Del mismo modo, los scripts calculan el valor de Bρ y de Bz en unidades del campo en el centro de la espira μ0i/(2a), cuando se proporciona la

B ρ = μ 0 i 2a 3ξς 2 ( ς 2 + ξ 2 ) 5 B z = μ 0 i 2a 1 2 ( ς 2 + ξ 2 ) 3 ( 3 ς 2 ς 2 + ξ 2 1 )

Referencias

Good R. H. Elliptic integrals, the forgotten functions.Eur. J. Phys. 22 (2001) pp. 119-126.

Fotografía tomada en la VIII Edición del Concurso Ciencia en Acción Zaragoza (2007): Albert Agraz Sánchez, Santiago Clúa. Detector de movimiento por inducción magnética. Universidad de Lérida.