Campo magnético producido por una corriente circular en un punto fuera de su eje

Vamos a calcular el campo magnético producido por una espira circular en un punto fuera del eje de la espira. La ley de Biot afirma que el campo B producido por una corriente i se obtiene

B = μ 0 i 4π u ^ t × u ^ r r 2 dl

Donde dl es un elemento de corriente, u ^ t es un vector unitario que señala la dirección y sentido de la corriente y u ^ r es un vector unitario que señala el punto P donde se calcula el campo magnético.

El campo producido por una espira de radio a tiene simetría axial, bastará calcular las componentes By y Bz del campo magnético en un punto P (0, y, z) del plano YZ.

Como vemos en la figura, la distancia r entre el elemento de corriente dl=a·dφ que está situado en el punto (a·cosφ, a·sinφ, 0) y el punto P (0, y, z) considerado es

r= a 2 + y 2 + z 2 2aysinφ u ^ r = a·cosφ· i ^ +(ya·sinφ)· j ^ +z· k ^ r u ^ t =sinφ· i ^ +cosφ· j ^

Efectuando el producto vectorial u ^ t × u ^ r , obtenemos las componentes del campo

B x = μ 0 4π i·a·z 0 2π cosφ r 3 dφ B y = μ 0 4π i·a·z 0 2π sinφ r 3 dφ B z = μ 0 4π i·a 0 2π ay·sinφ r 3 dφ

La primera integral es inmediata y vale cero Bx=0, ya que para cada elemento de corriente dl existe otro simétrico al plano OYZ cuyo efecto es el de anular la componente X del campo magnético

Las componentes del campo B son

B y = μ 0 2π i·a·z π/2 π/2 sinφ ( a 2 + z 2 + y 2 2aysinφ ) 3/2 dφ B z = μ 0 2π i·a π/2 π/2 ay·sinφ ( a 2 + z 2 + y 2 2aysinφ ) 3/2 dφ

Debido a la simetría cilíndrica del problema, solamente tenemos dos componentes del campo una a lo largo del eje de simetría Z, Bz y la otra By en la dirección radial, que a partir de ahora denominaremos Bρ (coordenadas cilíndricas) sustituyendo y por ρ.

Campo magnético en el eje de la espira

Cuando y=0, un punto del eje de la espira, Bρ=0. La dirección del campo magnético es el eje de la espira,

B z = μ 0 i 2 a 2 ( z 2 + a 2 ) 3/2

En el centro de la espira, z=0, el valor del campo es, B0=μ0i/2a

Campo magnético en el interior de la espira

En el plano de la espira z=0, Bρ=0, el campo magnético tiene dirección perpendicular al plano de la espira

B z = B 0 π π/2 π/2 1xsinφ (1+ x 2 2xsinφ) 3/2 dφ ,x= ρ a

Representamos el campo Bz/B0 en términos de ρ/a

xx=0:0.01:0.95;
B=zeros(1,length(xx));
i=1;
for x=xx
    f=@(phi) (1-x*sin(phi))./(1+x^2-2*x*sin(phi)).^(3/2);
    B(i)=integral(f,-pi/2,pi/2)/pi;
    i=i+1;
end
plot(xx,B)
grid on
xlabel('\rho/a')
ylabel('B/B_0')
title('Campo magnético en el interior de la espira')

Las componentes del campo en términos de integrales elípticas

Para expresar las componentes Bρ y Bz en términos de las integrales elípticas completas de primera y segunda especie hacemos el cambio de variable, θ=π/2-φ

B ρ = μ 0 2π i·a·z π 0 cosθ ( a 2 + z 2 + ρ 2 2aρcosθ ) 3/2 (dθ)= μ 0 i 2π a (2aρ) 3/2 z 0 π cosθ·dθ (bcosθ) 3/2 B z = μ 0 2π i·a π 0 aρ·cosθ ( a 2 + z 2 + ρ 2 2aρcosθ ) 3 (dθ)= μ 0 i 2π a (2aρ) 3/2 ( a 0 π dθ (bcosθ) 3/2 +ρ 0 π cosθ·dθ (bcosθ) 3/2 ) b= a 2 + z 2 + ρ 2 2aρ

Las tablas de integrales elípticas (Good) nos dan las siguientes equivalencias

0 π dθ (bcosθ) 3/2 = m 22m 2m E(m)E(m)= 0 π/2 1m sin 2 φ dφ m= 2 1+b 0 π cosθ·dθ (bcosθ) 3/2 = 2m K(m) 2m 22m 2m E(m)K(m)= 0 π/2 dφ 1m sin 2 φ  

Las componentes del campo magnético se expresan en términos de las integrales elípticas completas de primera K(m) y segunda especie E(m) de la siguiente forma.

B ρ = μ 0 i 2π a (2aρ) 3/2 z( 2m K(m)+ 2m 22m 2m E(m)   ) B z = μ 0 i 2π a (2aρ) 3/2 ( a m 22m 2m E(m)+ρ 2m K(m)ρ 2m 22m 2m E(m) ) m= 2 1+b = 4aρ a 2 + z 2 + ρ 2 +2aρ

En la figura, se muestra la dirección del campo magnético mediante flechas, en el plano YZ, con ρ>0 y z>0. El módulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un punto cercano al anillo a otro algo más alejado. El radio de la espira es a=1.0

Estudiamos el campo a lo largo del eje del anillo, y →0,

m 4aρ z 2 + a 2

las integrales elípticas tienden ambas a K(0)=E(0)=π/2

Como comprobamos fácilmente Bρ→0, fijarse que los dos términos entre paréntesis se cancelan. En cuanto a la componente Z. Los dos últimos términos ente paréntesis proporcionales a y se cancelan

B z μ 0 i 2π a (2aρ) 3/2 ( a 4aρ z 2 + a 2 2 2 4aρ z 2 + a 2 π 2 )= μ 0 i 2 a 2 ( z 2 + a 2 ) 3/2

Resultado que hemos obtenido previamente.

Como el campo tiene simetría cilíndrica, las expresiones de las componentes del campo a lo largo del eje Z, Bz y en la dirección radial, Bρ, en términos de ρ y z son

B ρ = μ 0 i 2π a (2aρ) 3/2 z 2m ( K(m)+ 2m 22m E(m)   ) B z = μ 0 i 2π a (2aρ) 3/2 2m ( a m 22m E(m)+ρK(m)ρ 2m 22m E(m) ) m= 4aρ ( a+ρ ) 2 + z 2

Puntos alejados de la espira. Dipolo magnético

Partimos de nuevo de las ecuaciones

B ρ = μ 0 2π i·a·z π/2 π/2 sinφ ( a 2 + z 2 + ρ 2 2aρsinφ ) 3/2 dφ B z = μ 0 2π i·a π/2 π/2 aρ·sinφ ( a 2 + z 2 + ρ 2 2aρsinφ ) 3/2 dφ

Si el punto P está lejos de la espira, es decir, si se cumple que

z 2 + ρ 2 >>a

Aproximamos el denominador de las dos integrales que nos calculan el campo Bρ y Bz.

( r 2 + a 2 2aρsinφ ) 3/2 r 3 ( 1 2aρ·sinφ r 2 ) 3/2 r 3 ( 1+ 3aρ·sinφ r 2 )

Donde hemos llamado ahora r a

r= x 2 + ρ 2 B ρ μ 0 2π i·a·z π/2 π/2 1 r 3 ( 1+ 3aρ·sinφ r 2 )sinφ·dφ= μ 0 iaz 2π r 3 π/2 π/2 ( sinφ+ 3aρ· sin 2 φ r 2 )·dφ= = μ 0 iaz 2π r 3 ( cosφ+ 3aρ 2 r 2 ( φ 1 2 sin(2φ) ) ) | π/2 π/2 = μ 0 i a 2 4 r 3 3ρz r 2 B z μ 0 2π i·a π/2 π/2 (aρ·sinφ) 1 r 3 ( 1+ 3aρ·sinφ r 2 )dφ = μ 0 ia 2π r 3 π/2 π/2 ( aρ·sinφ 3a ρ 2 · sin 2 φ r 2 + 3 a 2 ρ·sinφ r 2 )dφ= μ 0 ia 2π r 3 ( aφ 3 a 2 ρ·cosφ r 2 +ρ·cosφ 3a ρ 2 2 r 2 ( φ 1 2 sin(2φ) ) ) | π/2 π/2 = μ 0 i a 2 2 r 3 ( 1 3 ρ 2 2 r 2 )= μ 0 i a 2 4 r 3 ( 3 z 2 r 2 1 )

Las componentes del campo para r>>a, son aproximadamente

r= z 2 + ρ 2 >>a B ρ = μ 0 i a 2 4 r 3 ( 3ρz r 2 ) B z = μ 0 i a 2 4 r 3 ( 3 z 2 r 2 1 )

El campo creado por una bobina de N espiras apretadas es N veces el campo producido por una de las espiras.

Expresamos las dos componentes del campo, Bρ y Bz en el punto P (ρ, z) en una única fórmula.

B = μ 0 4π 3( m · r ) r r 2 m r 5

Donde m =i·π a 2 k ^ es el momento dipolar magnético, señalado mediante una flecha de color rojo.

Líneas de campo magnético

Vamos a dibujar las líneas de campo magnético producido por un dipolo en el plano YZ, siendo el eje Y la dirección radial

Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es

dz dy = B z B y

tal como se muestra en la figura.

La ecuación diferencial de las líneas de fuerza para el dipolo magnético es

dz dy = 2 z 2 y 2 3yz

Haciendo el cambio de variable

Z=z2, Y=lny

dZ dY = 4 3 Z 2 3 exp(2Y)

Para integrar esta ecuación diferencial de primer orden escribimos Z=u·v

du dY v+ dv dY u= 4 3 uv 2 3 exp(2Y) v( du dY 4 3 u )+ dv dY u= 2 3 exp(2Y)

Igualamos a cero el paréntesis

du dY = 4 3 ulnu= 4 3 Yu=exp( 4 3 Y )

La ecuación queda

dv dY exp( 4 3 Y )= 2 3 exp(2Y) dv dY = 2 3 exp( 2 3 Y )v=exp( 2 3 Y )+C

La solución de la ecuación diferencial es,

Z=exp( 4 3 Y )( exp( 2 3 Y )+C )=Cexp( 4 3 Y )exp( 2Y )

donde C es una constante de integración

Deshaciendo el cambio de variable

z 2 + y 2 =C y 4/3

Escribiendo la constante C=D2/3, D tiene dimensiones de longitud

( z D ) 2 + ( y D ) 2 = ( y D ) 4/3

En la figura, se muestra las líneas del campo magnético para D=-1, -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 y 1.0

hold on
for D=-1:0.25:1
    if D==0 
        continue;
    end
    y=linspace(0,D,100);
    z=D*sqrt((y/D).^(4/3)-(y/D).^2);
    plot(y,z, 'r')
    plot(y,-z,'r')
end
hold off
grid on
axis equal
xlabel('y')
ylabel('z')
title('Dipolo magnético')

Resultados

La aproximación dipolar del campo magnético producido por una espira, se utiliza ampliamente. Vamos a comparar el valor de las componentes del campo magnético Bρ y Bz exactos producido por una espira con las componentes del campo magnético producido por un dipolo en dos situaciones:

Cálculo exacto

Los scripts calculan el valor de Bρ y de Bz en unidades del campo en el centro de la espira μ0i/(2a), cuando se proporciona la

B ρ = μ 0 i 2a ς πξ ( (1+ξ) 2 + ς 2 ) ( K(m)+ 2m 22m E(m)   ) B z = μ 0 i 2a 1 πξ ( (1+ξ) 2 + ς 2 ) ( m2ξ+mξ 22m E(m)+ξK(m) ) m= 4ξ (1+ξ) 2 + ς 2

Aproximación dipolar

Del mismo modo, los scripts calculan el valor de Bρ y de Bz en unidades del campo en el centro de la espira μ0i/(2a), cuando se proporciona la

B ρ = μ 0 i 2a 3ξς 2 ( ς 2 + ξ 2 ) 5 B z = μ 0 i 2a 1 2 ( ς 2 + ξ 2 ) 3 ( 3 ς 2 ς 2 + ξ 2 1 )

Referencias

Good R. H. Elliptic integrals, the forgotten functions.Eur. J. Phys. 22 (2001) pp. 119-126.

Mc Tavish J. P., Field pattern of a magnetic dipole. Am. J. Phys. 68 (6) June 2000, pp. 577-578
Erratum: 'Field pattern of a magnetic dipole'. Am. J. Phys. 69 (10) October 2001, pp. 1112

Fotografía tomada en la VIII Edición del Concurso Ciencia en Acción Zaragoza (2007): Albert Agraz Sánchez, Santiago Clúa. Detector de movimiento por inducción magnética. Universidad de Lérida.