Fuerza entre dos espiras

En la figura, se muestran dos espiras contenidas en planos paralelos de radio a y radio b separadas una distancia z. Las espiras conducen corrientes Ia e Ib, respectivamente.

Si las corrientes tienen el mismo sentido, la fuerza es atractiva y si tienen sentido contrario, la fuerza es repulsiva.

El campo magnético producido por la espira de radio a, tiene dos componentes, uno radial Bρ y la otra axial Bz.

La fuerza que ejerce el campo magnético producido por la espira inferior de radio a, sobre la corriente que circula por la espira superior de radio b es

F= I b ( u t × B a )·d l b

Como apreciamos en la figura, la componente Bz del campo magnético produce sobre un elemento de corriente una fuerza Fρ cuya dirección es radial. La fuerza neta sobre la espira es cero.

La componente radial Bρ del campo produce sobre un elemento de corriente dlb=b·dθ una fuerza cuya dirección es a lo largo del eje Z

F z = I b (1· B ρ ·sin90º)·b·dθ =2π B ρ I b b

Introduciendo el valor de la componente radial Bρ del campo magnético producido por la espira de radio a para ρ=b.

F z = μ 0 I a I b m 2 ab z( K(m)+ 2m 22m E(m)   ) m= 4ab ( a+b ) 2 + z 2

Cuando la segunda espira está alejada de la primera, aproximamos la primera a un dipolo magnético. La fuerza de atracción entre las espiras Fz se escribe

F z =2π( μ 0 I a a 2 3bz 4 ( z 2 + b 2 ) 5 ) I b b= μ 0 I a I b a 2 b 2 3πz 2 ( z 2 + b 2 ) 5

Supongamos que las espiras tienen el mismo radio a. Expresamos Fz en términos del cociente ζ=z/a

F z = μ 0 I a I b ς 4+ ς 2 ( K(m)+ 2m 22m E(m)   ) m= 4 4+ ς 2

En la aproximación de dipolo magnético, esta expresión se reduce a

F z = μ 0 I a I b 3π 2 ς ( ς 2 +1 ) 5

Representamos ambas expresiones de la fuerza entre dos espiras, la exacta y la aproximada, considerando la primera espira como un dipolo magnético

z=linspace(2,10,100);
m=4./(4+z.^2);
[K,E]=ellipke(m);
Fz=(-K+((2-m).*E)./(2-2*m)).*z./sqrt(z.^2+4);
hold on
plot(z,Fz)
plot(z,(3*pi/2)*z./sqrt(z.^2+1).^5)
hold off
grid on
legend('exacta','dipolo')
xlabel('z')
ylabel('F_z')
title('Fuerzas entre dos espiras')