Campo magnético producido por un imán

Para calcular el campo magnético producido por un imán a lo largo de su eje, consideraremos la equivalencia existente entre corrientes e imanes. Sea un imán cilíndrico de radio a y longitud L. Si el momento magnético del imán es μ, la corriente equivalente Ieq que produce este momento magnético es

I eq = μ π a 2

La corriente di que circula por la espira de anchura dx comprendida entre x y x+dx es

di= I eq L dx= μ π a 2 L dx

La corriente di que circula por esta espira de radio a produce en el punto P un campo magnético dB cuya dirección y sentido se señalan en la figura

dB= μ 0 a 2 di 2 ( a 2 + x 2 ) 3 = μ 0 ·μ 2πL ( a 2 + x 2 ) 3 dx

Todas las espiras elementales producen en P un campo que tiene la misma dirección y sentido pero distinto módulo, dependiendo de su distancia x al punto P.

Para integrar, tenemos que hacer el cambio de variable a=x·tanθ y teniendo en cuenta que, 1+tan2θ =1/cos2θ , simplificamos la integral

B= μ 0 μ 2πL a 2 θ 1 θ 2 sinθ·dθ = μ 0 μ 2πL a 2 (cos θ 2 cos θ 1 )

Donde

cos θ 1 = z z 2 + a 2 cos θ 2 = z+L (z+L) 2 + a 2

Conocidas las dimensiones del imán, su radio a y su longitud L, se puede medir el campo magnético B producido por el imán a una distancia z a lo largo de su eje y así, determinar mediante la fórmula anterior el momento magnético μ del imán.

Aproximaciones

La longitud L del imán es grande comparada con su radio a

B= μ 0 μ 2πL a 2 ( z+L ( z+L ) 2 + a 2 z z 2 + a 2 )= = μ 0 μ 2πL a 2 ( 1 1+ ( a z+L ) 2 1 1+ ( a z ) 2 ) μ 0 μ 2πL a 2 ( 1 1 2 ( a z+L ) 2 1+ 1 2 ( a z ) 2 )= μ 0 μ 4πL ( 1 z 2 1 ( z+L ) 2 )

La longitud L del imán es pequeña comparada con la distancia z del imán al sensor

B= μ 0 μ 4π 2+L/z z 3 ( 1+L/z ) 2 μ 0 μ 2π 1 z 3

El campo magnético producido por el imán es inversamente proporcional al cubo de la distancia z entre el imán y el sensor

Medidas efectuadas en el laboratorio

z (cm) 5 6 7 8 9 10 11
B (gauss) 27 15 9.7 6.2 4.4 3.3 2.6

El campo producido por una carga puntual en un punto P distante z de la carga es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia z, E=k/z2.

x=[5,6,7,8,9,10,11];
y=[27,15,9.7,6.2,4.4,3.3,2.6];
plot(x,y,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('z')
ylabel('B')
title('Campo magnético producido por un imán')

Un imán es un dipolo magnético y el campo producido en P es de la forma B=k/zn. Queremos determinar el exponente n, para ello medimos con el sensor de campo magnético el campo B producido por el imán en varias posiciones z.

La posición z del sensor deberá estar suficientemente alejada del imán para que se cumpla la aproximación L<<z y por otra parte, el sensor no debería alejarse demasiado, para evitar que el campo magnético terrestre del orden de 10-5 T, influya suficientemente en la medida

B= k z n log(B)=log(k)nlog(z)

La recta de ajuste a los pares de datos (log(z), log(B)) tiene pendiente -n. El exponente cambiado de signo de la ley con la que varía el campo magnético con la distancia z al imán

 x=[5,6,7,8,9,10,11];
 y=[27,15,9.7,6.2,4.4,3.3,2.6];
 plot(log(x),log(y),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
 grid on
 xlabel('log(z)')
 ylabel('log(B)')
 title('Campo magnético producido por un imán')

Corremos el script y aparece la ventana gráfica con la representación de los datos como puntos de color rojo. En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1·x+p2 de ajuste. El coeficente p1=-2.9892, que es un valor próximo a -3.

El imán como dipolo magnético

En la página, Campo magnético producido por una corriente circular obtuvimos la expresión de las componentes del campo producido por un dipolo magnético de momento μ

B ρ = μ 0 μ 4π 3ρz ( z 2 + ρ 2 ) 5 B z = μ 0 μ 4π 2 z 2 ρ 2 ( z 2 + ρ 2 ) 5

Vamos a dibujar las líneas de campo magnético producido por un dipolo en el plano YZ, siendo el eje Y la dirección radial

Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es

dz dy = B z B y

tal como se muestra en la figura.

La ecuación diferencial de las líneas de fuerza para el dipolo magnético es

dz dy = 2 z 2 y 2 3yz

Haciendo el cambio de variable

Z=z2, Y=lny

dZ dY = 4 3 Z 2 3 exp(2Y)

Para integrar esta ecuación diferencial de primer orden escribimos Z=u·v

du dY v+ dv dY u= 4 3 uv 2 3 exp(2Y) v( du dY 4 3 u )+ dv dY u= 2 3 exp(2Y)

Igualamos a cero el paréntesis

du dY = 4 3 ulnu= 4 3 Yu=exp( 4 3 Y )

La ecuación queda

dv dY exp( 4 3 Y )= 2 3 exp(2Y) dv dY = 2 3 exp( 2 3 Y )v=exp( 2 3 Y )+C

La solución de la ecuación diferencial es,

Z=exp( 4 3 Y )( exp( 2 3 Y )+C )=Cexp( 4 3 Y )exp( 2Y )

donde C es una constante de integración

Deshaciendo el cambio de variable

z 2 + y 2 =C y 4/3

Escribiendo la constante C=D2/3, D tiene dimensiones de longitud

( z D ) 2 + ( y D ) 2 = ( y D ) 4/3

En la figura, se muestra las líneas del campo magnético para D=-1, -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 y 1.0

hold on
for D=-1:0.25:1
    if D==0 
        continue;
    end
    y=linspace(0,D,100);
    z=D*sqrt((y/D).^(4/3)-(y/D).^2);
    plot(y,z, 'r')
    plot(y,-z,'r')
end
hold off
grid on
axis equal
xlabel('y')
ylabel('z')
title('Dipolo magnético')

Interacción entre dos imanes

En esta práctica de laboratorio, medimos la fuerza entre dos imanes permanentes. Colocamos dos imanes iguales uno sujeto por una pinza y el otro sobre una báscula. No lo ponemos directamente en el plato de la balanza electrónica, para que el potente campo magnético del imán no altere las medidas. El imán está sobre la balanza pero lejos de la balanza

Inicialmente, ponemos los dos imanes lejos uno del otro y taramos la balanza a cero

Se ha de tener cuidado de que las caras de los imanes sean paralelas y que estén alineados verticalmente. Sería conveniente, que se enfrentasen polos iguales de modo, que la fuerza fuese repulsiva. Con una regla medimos la distancia x entre las dos caras más próximas de los dos imanes y anotamos la medida de la fuerza F de interaccción en gramos que marca la balanza

Supondremos que la ley que mide la interacción entre los dos imanes responde a la fórmula.

F= k x n

x (cm) 3.5 5 7 9.5 11 13
F (g) 50.7 29.2 7.3 2.5 1.2 0.4
x=[3.5,5,7,9.5,11,13];
y=[50.7,29.2,7.3,2.5,1.2,0.4];
hold on
plot(x,y,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
fplot(@(x) exp(8.9405)./x.^4,[3.5,13])
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('F')
title('Fuerza entre dos imanes')

Comprobaremos que el exponente n de la ley de fuerza es próximo a cuatro.

x=[3.5,5,7,9.5,11,13];
y=[50.7,29.2,7.3,2.5,1.2,0.4];
plot(log(x),log(y),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('log(x)')
ylabel('log(F)')
title('Fuerza entre dos imanes')

Corremos el script y aparece la ventana gráfica con la representación de los datos como puntos de color rojo. En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1·x+p2 de ajuste. El coeficente p1=-3.6743, que es un valor próximo a -4.

La distancia entre los dos imanes hay que medirlas con más precisión cuando se encuentran uno cerca del otro.

Referencias

Mc Tavish J. P., Field pattern of a magnetic dipole. Am. J. Phys. 68 (6) June 2000, pp. 577-57