Campo magnético producido por un imán

Para calcular el campo magnético producido por un imán a lo largo de su eje, consideraremos la equivalencia existente entre corrientes e imanes. Sea un imán cilíndrico de radio a y longitud L. Si el momento magnético del imán es μ, la corriente equivalente Ieq que produce este momento magnético es

I eq = μ π a 2

La corriente di que circula por la espira de anchura dx comprendida entre x y x+dx es

di= I eq L dx= μ π a 2 L dx

La corriente di que circula por esta espira de radio a produce en el punto P un campo magnético dB cuya dirección y sentido se señalan en la figura

dB= μ 0 a 2 di 2 ( a 2 + x 2 ) 3 = μ 0 ·μ 2πL ( a 2 + x 2 ) 3 dx

Todas las espiras elementales producen en P un campo que tiene la misma dirección y sentido pero distinto módulo, dependiendo de su distancia x al punto P.

Para integrar, tenemos que hacer el cambio de variable a=x·tanθ y teniendo en cuenta que, 1+tan2θ =1/cos2θ , simplificamos la integral

B= μ 0 μ 2πL a 2 θ 1 θ 2 sinθ·dθ = μ 0 μ 2πL a 2 (cos θ 2 cos θ 1 )

Donde

cos θ 1 = z z 2 + a 2 cos θ 2 = z+L (z+L) 2 + a 2

Conocidas las dimensiones del imán, su radio a y su longitud L, se puede medir el campo magnético B producido por el imán a una distancia z a lo largo de su eje y así, determinar mediante la fórmula anterior el momento magnético μ del imán.

Aproximaciones

La longitud L del imán es grande comparada con su radio a

B= μ 0 μ 2πL a 2 ( z+L ( z+L ) 2 + a 2 z z 2 + a 2 )= = μ 0 μ 2πL a 2 ( 1 1+ ( a z+L ) 2 1 1+ ( a z ) 2 ) μ 0 μ 2πL a 2 ( 1 1 2 ( a z+L ) 2 1+ 1 2 ( a z ) 2 )= μ 0 μ 4πL ( 1 z 2 1 ( z+L ) 2 )

La longitud L del imán es pequeña comparada con la distancia z del imán al sensor

B= μ 0 μ 4π 2+L/z z 3 ( 1+L/z ) 2 μ 0 μ 2π 1 z 3

El campo magnético producido por el imán es inversamente proporcional al cubo de la distancia z entre el imán y el sensor

Medidas efectuadas en el laboratorio

z (cm) 5 6 7 8 9 10 11
B (gauss) 27 15 9.7 6.2 4.4 3.3 2.6

El campo producido por una carga puntual en un punto P distante z de la carga es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia z, E=k/z2.

Un imán es un dipolo magnético y el campo producido en P es de la forma B=k/zn. Queremos determinar el exponente n, para ello medimos con el sensor de campo magnético el campo B producido por el imán en varias posiciones z.

B= k z n log(B)=log(k)nlog(z)

La recta de ajuste a los pares de datos (log(z), log(B)) tiene pendiente -n. El exponente cambiado de signo de la ley con la que varía el campo magnético con la distancia z al imán

 x=[5,6,7,8,9,10,11];
 y=[27,15,9.7,6.2,4.4,3.3,2.6];
 plot(log(x),log(y),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
 grid on
 xlabel('log(z)')
 ylabel('log(B)')
 title('Ley inversa del cubo de la distancia')

Corremos el script y aparece la ventana gráfica con la representación de los datos como puntos de color rojo. En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1·x+p2 de ajuste. El coeficente p1=-2.9892, que es un valor próximo a -3.

El imán como dipolo magnético

En la página, Campo magnético producido por una corriente circular obtuvimos la expresión de las componentes del campo producido por un dipolo magnético de momento μ

B ρ = μ 0 μ 4π 3ρz ( z 2 + ρ 2 ) 5 B z = μ 0 μ 4π 2 z 2 ρ 2 ( z 2 + ρ 2 ) 5

Vamos a dibujar las líneas de campo magnético producido por un dipolo en el plano YZ, siendo el eje Y la dirección radial

Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es

dz dy = B z B y

tal como se muestra en la figura.

La ecuación diferencial de las líneas de fuerza para el dipolo magnético es

dz dy = 2 z 2 y 2 3yz

Haciendo el cambio de variable

Z=z2, Y=lny

dZ dY = 4 3 Z 2 3 exp(2Y)

Para integrar esta ecuación diferencial de primer orden escribimos Z=u·v

du dY v+ dv dY u= 4 3 uv 2 3 exp(2Y) v( du dY 4 3 u )+ dv dY u= 2 3 exp(2Y)

Igualamos a cero el paréntesis

du dY = 4 3 ulnu= 4 3 Yu=exp( 4 3 Y )

La ecuación queda

dv dY exp( 4 3 Y )= 2 3 exp(2Y) dv dY = 2 3 exp( 2 3 Y )v=exp( 2 3 Y )+C

La solución de la ecuación diferencial es,

Z=exp( 4 3 Y )( exp( 2 3 Y )+C )=Cexp( 4 3 Y )exp( 2Y )

donde C es una constante de integración

Deshaciendo el cambio de variable

z 2 + y 2 =C y 4/3

Escribiendo la constante C=D2/3, D tiene dimensiones de longitud

( z D ) 2 + ( y D ) 2 = ( y D ) 4/3

En la figura, se muestra las líneas del campo magnético para D=-1, -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 y 1.0

hold on
for D=-1:0.25:1
    if D==0 
        continue;
    end
    y=linspace(0,D,100);
    z=D*sqrt((y/D).^(4/3)-(y/D).^2);
    plot(y,z, 'r')
    plot(y,-z,'r')
end
hold off
grid on
axis equal
xlabel('y')
ylabel('z')
title('Dipolo magnético')

Referencias

Mc Tavish J. P., Field pattern of a magnetic dipole. Am. J. Phys. 68 (6) June 2000, pp. 577-57