Fuerza entre corrientes rectilíneas de sección no nula

Campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida de sección circular

Apliquemos la ley de Ampère a una corriente rectilínea indefinida uniformemente distribuida en su sección y que circula a lo largo de un cilindro radio interior a.

Β · dl = μ 0 i

  1. La dirección del campo magnético en el punto P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P.
     
  2. La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r, centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo. La circulación del campo magnético B a lo largo de dicha circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea
  3. r

  1. Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) en los dos casos siguientes.

Fuerza entre corrientes rectilíneas de sección no nula

Hemos estudiado la fuerza entre dos corrientes rectilíneas indefinidas, paralelas separadas una distancia d. Cuando las corrientes circulan en el mismo sentido, la fuerza es atractiva y cuando las corrientes circulan en sentido contrario la fuerza es repulsiva. Hemos supuesto que el radio de la sección de las corrientes es muy pequeña comparada con la distancia d de separación entre las mismas.

En este apartado, vamos a considerar dos casos:

y que las dimensiones de la sección son comparables con la separación d entre las mismas.

Corriente de sección rectangular

El campo producido por una corriente rectilínea indefinida i, para distancias mayores que el radio de la sección circular, es.

B= μ 0 i 2πr

Vamos a calcular la fuerza que ejerce dicho campo sobre una corriente rectilínea indefinida de sección rectangular de dimensiones 2l (largo)y 2w (ancho), distante d.

Primero calculamos la fuerza que dicho campo ejerce sobre un elemento de corriente de dimensiones dx y dy.

Suponiendo que la intensidad i está uniformemente distribuida en toda la sección rectangular, la corriente que circula por dicha sección infinitesimal (en color azul) es

i dx·dy 2l·2w

La fuerza sobre una porción de corriente rectilínea indefinida de longitud L

dF=i dx·dy 2l·2w ( u t ×B )L

Las componentes de dicha fuerza son:

dFx=dFcosθ
dFy=dF
sinθ

Por simetría, las componentes dFy se anulan de dos en dos, la fuerza resultante tiene la dirección del eje X

d F x =i dx·dy 2l·2w μ 0 i 2πr Lcosθ=( μ 0 L i 2 2π ) 1 2l·2w dx·dy x 2 + y 2 x x 2 + y 2 = ( μ 0 L i 2 2πd ) d 2l·2w x·dx·dy x 2 + y 2

El término ente paréntesis corresponde a la fuerza entre dos corrientes rectilíneas indefinidas paralelas que distan d.

Para calcular la fuerza resultante Fx tendremos que calcular una integral doble

F x =( μ 0 L i 2 2πd ) d 2l·2w w w dy dl d+l x·dx x 2 + y 2

La integral con respecto a x es inmediata

dl d+l x·dx x 2 + y 2 = 1 2 ln( x 2 + y 2 ) | dl d+l = 1 2 ln( (d+l) 2 + y 2 (dl) 2 + y 2 )

Ahora, tenemos que resolver la integral

1 2 w w ln( (d+l) 2 + y 2 (dl) 2 + y 2 ) dy

Integramos por partes

u=ln( a 2 + y 2 b 2 + y 2 )du= 2y( b 2 a 2 ) ( b 2 + y 2 )( a 2 + y 2 ) dv=dxv=x ln( a 2 + y 2 b 2 + y 2 ) dy= yln( a 2 + y 2 b 2 + y 2 ) 2 y 2 ( b 2 a 2 ) ( b 2 + y 2 )( a 2 + y 2 ) dx

Descomponemos la integral racional en la suma de dos integrales, del siguiente modo

2 y 2 ( b 2 a 2 ) ( b 2 + y 2 )( a 2 + y 2 ) = Ay+B ( a 2 + y 2 ) + Cy+D ( b 2 + y 2 )

Resolvemos el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

A=0, C=0, B=-2a2, D=2b2

ln( a 2 + y 2 b 2 + y 2 ) dy= yln( a 2 + y 2 b 2 + y 2 )+ 2 a 2 ( a 2 + y 2 ) dy 2 b 2 ( b 2 + y 2 ) dy= yln( a 2 + y 2 b 2 + y 2 )+2a·arctan( y a )2barctan( y b )

Una vez que tenemos la función integrando calculamos el valor de la integral definida.

1 2 w w ln( (d+l) 2 + y 2 (dl) 2 + y 2 ) dy= 1 2 ( yln( (d+l) 2 + y 2 (dl) 2 + y 2 )+2(d+l)·arctan( y d+l )2(dl)arctan( y dl ) ) | w w = =wln( d 2 + l 2 + w 2 +2dl d 2 + l 2 + w 2 2dl )+2(d+l)·arctan( w d+l )2(dl)arctan( w dl )

La fuerza resultante es

F x =( μ 0 L i 2 2πd )·f f= d 4lw { wln( d 2 + l 2 + w 2 +2dl d 2 + l 2 + w 2 2dl )+2(d+l)·arctan( w d+l )2(dl)arctan( w dl ) }

La fuerza de atracción entre dos corrientes rectilíneas indefinidas, se ve afectada por un factor multiplicativo f que depende de las dimensiones (w, l) de sección rectangular de la corriente y de su separación d de la corriente rectilínea que produce el campo magnético.

Corriente de sección circular

Calculamos ahora, la fuerza sobre una corriente indefinida de sección circular de radio R, que dista d de la corriente rectilínea indefinida que produce el campo magnético, ambas conducen la misma intensidad i pero en sentidos contrarios.

El campo producido por una corriente rectilínea indefinida i, es.

B= μ 0 i 2πr

Vamos a calcular la fuerza que ejerce dicho campo sobre la corriente de sección circular de radio R, que dista d de la corriente rectilínea.

Primero calculamos la fuerza que dicho campo ejerce sobre un elemento de corriente de dimensiones dx y dy.

Suponiendo que la intensidad i está uniformemente distribuida en toda la sección circular, la corriente que circula por dicha sección infinitesimal es

i dx·dy π R 2

La fuerza sobre una porción de corriente rectilínea indefinida de longitud L

dF=i dx·dy π R 2 ( u t ×B )L

Las componentes de dicha fuerza son:

dFx=dFcosθ
dFy=dF
sinθ

Por simetría, las componentes dFy se anulan de dos en dos, la fuerza resultante tiene la dirección del eje X

d F x =i dx·dy π R 2 μ 0 i 2πr Lcosθ=( μ 0 L i 2 2π ) 1 π R 2 dx·dy x 2 + y 2 x x 2 + y 2 = ( μ 0 L i 2 2πd ) d π R 2 x·dx·dy x 2 + y 2

El término ente paréntesis, corresponde a la fuerza entre dos corrientes rectilíneas indefinidas paralelas que distan d.

Para calcular la fuerza resultante Fx tendremos que calcular una integral doble

F x =( μ 0 L i 2 2πd ) d π R 2 R R dy x 1 x 2 x·dx x 2 + y 2

Manteniendo y constante, como en la figura, los límites de integración de x son x1 y x2

x 1 =d R 2 y 2 x 2 =d+ R 2 y 2

La integral con respecto a x es inmediata

x 1 x 2 x·dx x 2 + y 2 = 1 2 ln( x 2 + y 2 ) | x 1 x 2 = 1 2 ln( ( d+ R 2 y 2 ) 2 + y 2 ( d R 2 y 2 )+ y 2 )= 1 2 ln( d 2 + R 2 +2d R 2 y 2 d 2 + R 2 2d R 2 y 2 )

Ahora tenemos que resolver la integral

1 2 R R ln( d 2 + R 2 +2d R 2 y 2 d 2 + R 2 2d R 2 y 2 ) dy

Hacemos el cambio de variable y=Rsinθ, dy=Rcosθ·dθ

R 2 π/2 π/2 ln( a+bcosθ abcosθ ) cosθ·dθ

con a=d2+R2 y b=2dR

Los nuevos límites de integración son –π/2 y π/2 que emplearemos para calcular la integral definida una vez conocida la función integrando. Integramos por partes

u=ln( a+bcosθ abcosθ )du= 2absinθ (abcosθ)(a+bcosθ) dθ dv=cosθ·dθv=sinθ

El resultado es

R 2 ln( a+bcosθ abcosθ ) cosθ·dθ= R 2 { sinθ·ln( a+bcosθ abcosθ )+ 2ab sin 2 θ a 2 b 2 cos 2 θ dθ }

Para calcular la segunda integral, empleamos las relaciones trigonométricas

cos 2 θ= 1 1+ tan 2 θ sin 2 θ= tan 2 θ 1+ tan 2 θ R 2 { senθ·ln( a+bcosθ abcosθ )+ 2ab tan 2 θ a 2 b 2 + a 2 tan 2 θ dθ }

Para calcular la segunda integral, hacemos el cambio de variable, tanθ=t, dθ=dt/(1+t2)

2ab tan 2 θ a 2 b 2 + a 2 tan 2 θ dθ = 2ab t 2 ( a 2 b 2 + a 2 t 2 )(1+ t 2 ) dt

Es una integral racional que descomponemos en la suma de dos integrales, del siguiente modo

2ab t 2 ( a 2 b 2 + a 2 t 2 )(1+ t 2 ) = At+B ( a 2 b 2 + a 2 t 2 ) + Ct+D (1+ t 2 )

En este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

A=0C=0B=2a a 2 b 2 b D= 2a b 2ab t 2 ( a 2 b 2 + a 2 t 2 )(1+ t 2 ) dt= 2a b ( a 2 b 2 ) dt ( a 2 b 2 + a 2 t 2 ) + 2a b dt 1+ t 2 = 2 a 2 b 2 b arctan( a a 2 b 2 t )+ 2a b arctan(t)

Deshacemos los cambios

2ab tan 2 θ a 2 b 2 + a 2 tan 2 θ dθ = 2 a 2 b 2 b arctan( a a 2 b 2 tanθ )+ 2a b θ

Finalmente, la integral queda

R 2 π/2 π/2 ln( a+bcosθ abcosθ ) cosθ·dθ= R 2 { sinθ·ln( a+bcosθ abcosθ ) 2 a 2 b 2 b arctan( a a 2 b 2 tanθ )+ 2a b θ | π/2 π/2 }= R 2 { 2 a 2 b 2 b π+ 2a b π }

Teniendo en cuenta que  a=d2+R2 y b=2dR. La integral vale

R 2 { 2( d 2 R 2 ) 2dR π+ 2( d 2 + R 2 ) 2dR }= π R 2 d

La resultante de las fuerzas que ejerce el campo magnético producido por la corriente rectilínea sobre los elementos diferenciales de la corriente de sección R es

F x =( μ 0 L i 2 2πd ) d π R 2 R R dy x 1 x 2 x·dx x 2 + y 2 =( μ 0 L i 2 2πd ) d π R 2 π R 2 d = μ 0 L i 2 2πd

La fuerza de atracción es la misma que la deducida para conductores rectilíneos indefinidos de pequeña sección  comparada con la separación d entre las corrientes paralelas.

Referencias

Fletcher K. A., Lyer S. V., Kinsey K. F. Some pivotal thoughts on the current balance. The Physics Teacher, Vol 41, May 2003, pp. 280-284