Campo magnético producido por una espira de forma cualesquiera
El campo magnético creado por un circuito de forma cualesquiera recorrido por una corriente de intensidad i.
es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, es un vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl. es un vector unitario que señala la posición del punto P respecto del elemento de corriente, la distancia entre ambos es r.
Sea una corriente plana de ecuación r=r(θ) en coordenadas polares
El campo magnético producido en el origen O es perpendicular al producto vectorial, (ejeZ), es decir, plano de la corriente
Como apreciamos en la figura de la derecha, el vector, , véase también la página titulada Ecuación de la trayectoria
El numerador es el producto vectorial
La dirección del campo magnético es el eje Z, sentido positivo, si la corriente circula en sentido contario a las agujas del reloj. Su módulo es
Los ejemplos más sencillos son la corriente circular, rectilínea y la producida por una corriente en forma de sección cónica en uno de sus focos
Corriente circular

El campo magnético producido por una corriente circular de radio R en su centro, se obtiene fácilmente.
Corriente rectilínea
El campo magnético producido en el origen O por una corriente rectilínea finita paralela al eje X, a una distancia d del mismo
Como vemos en la figura de la derecha, la ecuación de la recta y=d es r=d/sinθ
Para una corriente rectilínea indefinida, α→0, β→π
En esa misma página, hemos calculado, el campo magnético producido por una porción de corriente de longitud finita
Corriente en forma de elipse

La ecuación de una cónica en coordenadas polares es
Donde r es la distancia al foco F
Para una corriente en forma de elipse, el módulo del campo magnético en el foco F es
Corriente en forma de parábola

La excentricidad ε=1 y el resultado es idéntico a la elipse
Para θ=0, la distancia f entre el foco y el vértice, f=d/2
Corriente en forma de hipérbola
La corriente de forma hiperbólica tiene dos ramas, por lo que hemos de calcular el campo magnético producido por cada una de ellas en el foco F, tal como se muestra en la figura
Para dibujar parte de la figura, se ha creado el script
d=1; e=1.2; %excentricidad hold on r=@(th) d./(1+e*cos(th)); fplot(@(th) r(th).*cos(th),@(th) r(th).*sin(th),[-acos(-1/e)+0.2, acos(-1/e)-0.2] ,'color','b') plot(0,0,'o','markersize',3,'markeredgecolor','k','markerfacecolor','k') r=@(th) d./(-1+e*cos(th)); fplot(@(th) r(th).*cos(th),@(th) r(th).*sin(th),[-acos(1/e)+0.15,acos(1/e)-0.15] ,'color','r') hold off axis equal axis off
La ecuación de la rama izquierda es
La ecuación de la rama derecha es
El ángulo de la asíntota (r→∞) es θi=arccos(-1/ε)
El campo magnético producido por la corriente en el foco F es por simetría, el doble
El ángulo de la asíntota (r→∞) es θd=arccos(1/ε)
El campo magnético producido por la corriente en el foco F es de sentido contrario
Como θi=π-θd
La suma de los dos campos en el foco F vale
Campo magnético en el origen de una corriente en forma de sección cónica
Corriente elíptica
Calculamos el campo magnético producido en el origen O por una corriente de forma elíptica de semiejes a y b

La ecuación de la elipse en coordendas rectangulares es
Alternativamente, de la forma r=r(θ)
Despejando la distancia r
El módulo del campo magnético en O producido por la espira elíptica es cuatro veces el producido por el arco comprendido en el primer cuadrante, 0≤θ<π/2
En terminos de la integral elíptica completa de segunda especie
ya que 0≤k≤1
Casos particulares
Cuando a→b, k→0, E(0)=π/2.
>> [K,E]=ellipke(0) K = 1.5708 E = 1.5708 %es pi/2

Es el campo magnético producido en el centro de una espira circular de radio a
Cuando b→∞ para un valor de a fijado, k=1
Es el campo magnético producido en el origen O por dos hilos indefinidos paralelos que conducen corrientes en sentido contrario y que distan a del eje Y
Corriente en forma de hipérbola

Calculamos el módulo del campo magnético en el origen O de una corriente en forma de hipérbola.
Partimos de la ecuación de la hipérbola en coordenadas rectangulares. Seguimos los mismos pasos que para una corriente en forma de elipse
Cuando θ=0, r=a es la distancia del vértice de la hipérbola al origen O.
Sea θl el ángulo de la asíntota (línea a trazos) a la hipérbola. Cuando r→∞, bcosθ=asinθ, tanθl=b/a
En este caso k>1, el resultado no es una integral elíptica incompleta. Buscamos en las tablas de integrales (Referencia 3), 2.595, n°2
El módulo del campo magnético es
Evaluamos la integral para el límite superior θl
Para el límite inferior, α=0, E(0,1/k)=0 y K(0,1/k)=0. El resultado es
Donde E(1/k) y K(1/k) son integrales elípticas completas ya que α=π/2
Casos particulares
Cuando b→∞, k→1, θl→π/2. Obtenemos el campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida distante a del origen
Corriente en forma de estrella de n puntas

Consideremos la corriente descrita por la función r=r(θ)
Para dibujar parte de la figura, se ha creado el script
n=5; R=1; ex=0.5; hold on fplot(@(x) R*cos(x), @(x) R*sin(x),[0,2*pi],'lineStyle','--','color','k') fplot(@(x) R*(1+ex*cos(n*x)).*cos(x), @(x) R*(1+ex*cos(n*x)).*sin(x),[0,2*pi]) fplot(@(x) R*(1+ex*cos(n*x)).*cos(x), @(x) R*(1+ex*cos(n*x)).*sin(x), [0,pi/n],'color','r','lineWidth',1.5) plot(0,0,'ok', 'markersize',3,'markerfacecolor','k') hold off axis equal axis off
Vamos a calcular el módulo del campo magnético en el origen O
Por simetría, solamente tenemos que calcular el campo magnético producido por la porción de corriente comprendida entre θ=0 y θ=π/n y multiplicar el resultado por 2n porciones
Donde se ha hecho el cambio de variable x=nθ. Buscamos la integral, 2.553, n° 3 (primera solución) a2>b2
El resultado es
Corriente en forma de espiral
Vamos a calcular el módulo del campo magnético en O producido por una corriente en forma de espiral, r=aexp(pθ)
Para dibujar parte de la figura, se ha creado el script
p=0.1; a=1; hold on fplot(@(x) a*exp(p*x).*cos(x), @(x) a*exp(p*x).*sin(x),[0,2*pi],'color','r') line([a,a*exp(p*2*pi)],[0,0],'color','r') plot(0,0,'ok', 'markersize',3,'markerfacecolor','k') hold off axis equal axis off
El campo magnético producido en el origen O por el segmento recto es nulo, ya que los vectores unitarios tienen la misma dirección, el producto vectorial es nulo,
Casos particulares
Cuando p→0, aplicando la regla de L'Hôpital
>> syms p; >> limit((1-exp(-2*pi*p))/p,p,0) ans =2*pi
El módulo del campo magnético en O es el de una corriente circular de radio a en su centro
Corriente en forma de epicicloide o hipocicloide
En la página titulada 'Curvas cicloidales' se representan hipocicloides y epicicloides para distintos valores del cociente m/n
En esta sección, nos limitaremos a las curvas cicloidales para las que n=1 y h=b. Las ecuaciones paramétricas de dichas curvas serán entonces
Representamos dos de estas curvas, para m=5 y a=1.
a=1; m=5; hold on delta=1; x=@(t) a*(1+delta/m)*cos(t)-delta*a*cos((m+delta)*t)/m; y=@(t) a*(1+delta/m)*sin(t)-a*sin((m+delta)*t)/m; fplot(x,y,[0,2*pi]) fplot(x,y,[0,pi/m], 'lineWidth',1.5, 'color','b') delta=-1; x=@(t) a*(1+delta/m)*cos(t)-delta*a*cos((m+delta)*t)/m; y=@(t) a*(1+delta/m)*sin(t)-a*sin((m+delta)*t)/m; fplot(x,y,[0,2*pi]) fplot(x,y,[0,pi/m], 'lineWidth',1.5, 'color','r') hold off axis equal xlabel('x') ylabel('y') grid on title('Curvas cicloidales')
Supongamos un conductor plano que lleva una corriente i y cuya forma es una curva hipocicloide o epicicloide. El campo magnético producido en el origen por dicha corriente es, por simetría, m veces el campo magnético producido por el segmento de curva comprendido entre 0 y 2π/m. A su vez, por razón de simetría, éste es el doble del producido por el segmento comprendido entre 0 y π/m señalado mediante una línea gruesa en la figura
Nos daremos cuenta, que el campo magnético producido por el hipocicloide (curva de color amarillo) será mayor que el producido por el epicicloide (curva de color azul claro) al estar esta corriente más alejada en promedio del origen.
Haciendo el cambio de variable x=m·θ, dx=m·dθ
Buscamos una integral similar en el libro titulado Table of Integrals, Series, and Products, véase las referencias. La encontramos en el apartado 2.571, n° 5 y 4 (primera solución, pág. 179
Epicicloide, δ=1
Hipocicloide, δ=-1
Le corresponde la integral, n° 5
Evaluamos la integral para el límite superior x=π, γ=π/2 y para el límite inferior x=0, γ=0
El campo magnético producido en el origen por una corriente en forma de epicicloide es perpendicular al plano de la corriente y su módulo es
Le corresponde la integral, n° 4, primera solución
Evaluamos la integral para el límite superior x=π y para el límite inferior x=0
El campo magnético producido en el origen por una corriente en forma de hipocicloide es perpendicular al plano de la corriente y su módulo es
El campo magnético producido por una corriente circular de radio a, en su centro es B0=μ0i/(2a). Vamos a comprobar que cuando m se hace grande, el campo magnético producido por las corrientes cicloidades tienden al campo producido por una corriente circular, B/B0→1. Representamos B/B0 en función de m
m=2:2:200; B1=2*m.*ellipke(2*(m+1)./(m+2).^2)./(pi*(m+2));%Epicicloide B2=2*ellipke(4*(m-1)./m.^2)/pi; %Hipocicloide hold on plot(m,B1) plot(m,B2) hold off grid on legend('Epicicloide', 'Hipocicloide','location', 'best') xlabel('m') ylabel('B/B_0') title('Campo magnético')
Como apreciamos, el campo producido por el hipocicloide es mayor, al estar más cerca del origen los distintos tramos de la corriente
Campo magnético producido por una espira de forma elíptica en un punto de su eje
Por simetría, el campo producido por una espira elíptica de semiejes a y b en un punto de su eje P(0, 0, z) solamente tiene componente a lo largo del eje Z, como en el caso de la espira circular.
Aplicamos la ley de Biot
Como vemos en la figura, la distancia r entre el elemento de corriente dl que está situado en el punto (x=acosθ, y=bsinθ, 0) y el punto P(0, 0, z) considerado es
Por otra parte
El producto vectorial
Las componentes del campo magnético en P son
Solamente tenemos que calcular la componente Bz, por simetría las otras dos se anulan
Por otra parte, basta calcular el campo producido por el arco comprendido entre θ=0 y θ=π/2 y multiplicar el resultado por cuatro
Buscamos la solución a la integral, 2.598, n° 2
Cuando θ=x=0, entonces α=0. Cuando θ=π/2, sinα=1, α=π/2. Obtenemos una integral elíptica completa
La componente Bz del campo magnético producido por la espira de forma elíptica en P
Cuando z=0, obtenemos el campo magnético B0 en el centro de la espira de forma elíptica
Representamos el cociente Bz/B0 en función de z. Como la curva es simétrica, calculamos solamente para z≥0
b=8; %semiejes a=3; z=linspace(0,15,100); [~,Ez]=ellipke((b^2-a^2)./(b^2+z.^2)); [~,E0]=ellipke((b^2-a^2)./b^2); B=a^2*b*Ez./((a^2+z.^2).*sqrt(b^2+z.^2)*E0); plot([-fliplr(z),z],[fliplr(B),B]) xlabel('z') ylabel('B/B_0') grid on title('Campo magnético en el eje de la elipse')
Referencias
José A. Miranda. Magnetic field calculation for arbitrarily shaped planar wires. Am. J. Phys. 68 (3), March 2000. pp. 254-258
C. Christodoulides. The magnetic field produced at a focus of a current-carrying conductor in the shape of a conic section. Am. J. Phys.77 (12), December 2009. pp. 1195-1196
David Romero-Abad. The magnetic field in the axis of an elliptic loop current. Phys. Educ. 56 (2021) 025014
I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series, and Products. Seventh Edition. Elsevier (2007). Integrales: 2.595, n°2. pág. 202. 2.553, n°3 (primera solución) pág. 172. 2.598, n°2, pág. 205. 2.571, n° 5 y 4 (primera solución), pág. 179
David Romero Abad. The Magnetic field for an n-cusped Epi and Hypo-Cycloids loop current. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 43, e20200482 (2021) https://www.scielo.br/j/rbef/i/2021.v43/