El espejo de Lloyd

Una fuente S emite ondas de longitud de onda λ. En un punto P de la pantalla situada a una distancia d de la fuente se observa la interferencia de de las ondas que llegan directamente a P y de las que se reflejan en un espejo de longitud l.

Como vemos en la figura, tenemos en P la interferencia de las ondas producidas por una fuente S y su imagen S', que vibran con la misma frecuencia y en fase

La diferencia de caminos Δ=(SMP)-(SP)=(S'P)-(SP)=r₂-r₁. Como apreciamos en la figura

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta \approx 2h\sin \theta \\ \tan \theta =\frac{x}{d}\approx \sin \theta \\ \Delta \approx 2\frac{h}{d}x\end{array}}$

De otra forma, utilizando la aproximación, $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$

>> syms x;
>> taylor(sqrt(1+x),x)
ans =(7*x^5)/256 - (5*x^4)/128 + x^3/16 - x^2/8 + x/2 + 1

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}_1=\sqrt{d^2+{\left(h-x\right)}^2}=d\sqrt{1+\frac{{\left(h-x\right)}^2}{d^2}}\approx d\left(1+\frac{1}{2}\frac{{\left(h-x\right)}^2}{d^2}\right)\\ r_2=\sqrt{d^2+{\left(h+x\right)}^2}=d\sqrt{1+\frac{{\left(h+x\right)}^2}{d^2}}\approx d\left(1+\frac{1}{2}\frac{{\left(h+x\right)}^2}{d^2}\right)\\ \Delta =r_2-r_1\approx \frac{1}{2}\frac{{\left(h+x\right)}^2-{\left(h-x\right)}^2}{d}=2\frac{h}{d}x\end{array}}$

Teniendo en cuenta que el rayos que se refleja en el espejo, experimentan un cambio de fase π, la diferencia de fase, de los dos rayos que llegan a P es

${\displaystyle \delta =k\Delta +\pi =\frac{2\pi }{\lambda }\Delta +\pi =2\pi \left(\frac{2h}{\lambda d}x+\frac{1}{2}\right)}$

La amplitud resultante en P es

${\displaystyle A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \delta }}$

• La interferencia es constructiva (amplitud máxima) cuando cosδ=1, δ=2nπ

• es destructiva cuando cosδ=-1, δ=(2n+1)π, con n=0, 1,2,3,...

Si la separación d de las fuentes S y S' es pequeña comparada con la distancia d desde las fuentes hasta la pantalla, podemos despreciar la pequeña diferencia entre r₁ y r₂ y suponer que las amplitudes A₁ y A₂ son prácticamente iguales.

${\displaystyle A\approx 2A_1\cos \left(\frac{\delta }{2}\right)}$

La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud

${\displaystyle I\approx 4I_0{\cos }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)=2I_0\left(1+\cos \delta \right)}$

• Interferencia constructiva, I=4I₀, intensidad máxima

La posición del centro de las franjas brillantes es

${\displaystyle \begin{array}{l}\delta =2n\pi \\ 2\pi \left(\frac{2h}{\lambda d}{x}_b+\frac{1}{2}\right)=2n\pi \\ x_b=\left(n-\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda d}{2h}\end{array}}$

• Interferencia destructiva, I=0, intensidad mínima

La posición del centro de las franjas oscuras es

${\displaystyle \begin{array}{l}\delta =\left(2n+1\right)\pi \\ 2\pi \left(\frac{2h}{\lambda d}{x}_o+\frac{1}{2}\right)=\left(2n+1\right)\pi \\ x_0=n\frac{\lambda d}{2h}\end{array}}$

x_m es la distancia máxima a lo largo de la pantalla en la que se produce interferencia

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \alpha =\frac{h}{d-l}\\ x_m=l\tan \alpha =\frac{hl}{d-l}\end{array}}$

Ejemplo

• Distancia entre las fuente y las pantalla, d=80 cm
• Distancia entre la fuente y el espejo, h=1.5 mm
• Longitud del espejo, l=30 cm
• Longitud de onda, λ=0.6·10^-6 m

La posición de la quinta franja brillante, n=5 es x_b=0.72 mm

El número de franjas brillantes que hay en el intervalo es 0<x_b<x_m es

${\displaystyle \left(n-\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda d}{2h}<\frac{hl}{d-l}}$

Obtenemos n<6.1250. Es decir, 6 franjas brillantes

Biprisma de Fresnel

En la figura, se muestra el biprisma de ángulo α hecho con un material transparente de índice de refracción n. Dista b de la fuente de luz S y c de la pantalla. El vértice del biprisma dista h del eje de simetría X

Dibujamos el camino seguido por un rayo que parte de S y llega a la superficie de separación a la altura y del biprisma

Para dibujar parte de la figura, se ha empleado el código

alfa=pi/6; %ángulo del prisma
n=1.5; %índice dee refracción
h=1; %altura del prisma
b=1; %distancia a la fuente
xx=[b, b+h*tan(alfa),b, b];
yy=[h, 0,-h, h];
hold on
fill(xx,yy,'y')
plot(xx,yy,'r')
plot(0,0,'ro','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
y=0.5;
th=atan(y/b);
line([0,b],[0,y])
r=asin(sin(th)/n);
z=(h-y)*tan(alfa)*tan(r)/(1+tan(r)*tan(alfa));
line([b,b+(h-y-z)*tan(alfa)],[y,y+z])
phi=asin(n*sin(alfa-r));
line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)+1.5*cos(alfa-phi)],
[y+z, y+z+1.5*sin(alfa-phi)])
hold off
axis equal
axis off

El ángulo de incidencia en la superficie plana es

${\displaystyle \tan \theta =\frac{y}{b}}$

El ángulo de refracción r es más pequeño. Aplicamos la ley de Snell

${\displaystyle \sin \theta =n\sin r}$

El índice de refracción de primer medio, el aire, es n=1

El ángulo de incidencia i en la segunda superficie de separación es

${\displaystyle i+r=\alpha }$

El ángulo de refracción φ es

${\displaystyle \begin{array}{l}n\sin i=\sin \phi \\ n\sin \left(\alpha -r\right)=\sin \phi \end{array}}$

El rayo que emerge del prisma forma un ángulo δ=α-φ con la horizontal.

Situamos el origen en la fuente S, el eje X es el eje de simetría. Las coordenadas del punto A son (b, y)

La parte inferior derecha de la figura, nos sugiere las siguientes relaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}CD=z\tan \alpha \\ AD=\left(h-y\right)\tan \alpha \\ AC=AD-CD=\left(h-y-z\right)\tan \alpha \\ z=AC\tan r\\ z=\left(h-y-z\right)\tan \alpha \tan r\\ \left(1+\tan \alpha \tan r\right)z=\left(h-y\right)\tan \alpha \tan r\\ z=\frac{\left(h-y\right)\tan \alpha \tan r}{1+\tan \alpha \tan r}\end{array}}$

Las coordenadas del punto B son (b+AC, y+z) o (b+(h-y-z)tanα, y+z)

Dibujamos las trayectorias seguidas por los rayos de luz que inciden en en el prisma a las alturas y: 0.15, 0.25, 0.5 y 0.75. Los datos son

• Indice de refracción, n=1.5
• Angulo del prisma, α=π/6 (30°)
• Altura del vértice del biprisma, h=1
• Distancia a la fuente, b=1

alfa=pi/6; %ángulo del prisma
n=1.5; %índice de refracción
h=1; %altura del prisma
b=1; %distancia a la fuente
xx=[b, b+h*tan(alfa),b, b];
yy=[h, 0,-h, h];
hold on
fill(xx,yy,'y')
plot(xx,yy,'r')
plot(0,0,'ro','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
for y=[0.15, 0.25, 0.5, 0.75]
    th=atan(y/b);
    line([0,b],[0,y])
    r=asin(sin(th)/n);
    z=(h-y)*tan(alfa)*tan(r)/(1+tan(r)*tan(alfa));
    line([b,b+(h-y-z)*tan(alfa)],[y,y+z])
    phi=asin(n*sin(alfa-r));
    line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)+1.5*cos(alfa-phi)],
[y+z, y+z+1.5*sin(-phi+alfa)])
    line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)+1.5*cos(alfa-phi)],
[y+z, y+z+1.5*sin(alfa-phi)])
end
hold off
grid on
axis equal

Cuando los ángulos de incidencia θ son pequeños

alfa=pi/6; %ángulo del prisma
n=1.5; %índice de refracción
h=1; %altura del prisma
b=1; %distancia a la fuente
xx=[b, b+h*tan(alfa),b, b];
yy=[h, 0,-h, h];
hold on
fill(xx,yy,'y')
plot(xx,yy,'r')
plot(0,0,'ro','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
y=b*tan((n-1)*alfa);
th=atan(y/b);
line([0,b],[0,y])
r=asin(sin(th)/n);
z=(h-y)*tan(alfa)*tan(r)/(1+tan(r)*tan(alfa));
line([b,b+(h-y-z)*tan(alfa)],[y,y+z])
phi=asin(n*sin(alfa-r));
line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)+1.5*cos(alfa-phi)],
[y+z, y+z+1.5*sin(alfa-phi)])
line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)+1.5*cos(alfa-phi)],
[y+z, y+z+1.5*sin(alfa-phi)])
line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)-1.5*cos(alfa-phi)],
[y+z, y+z-1.5*sin(alfa-phi)],'lineStyle','--','color','k')
plot(0,(n-1)*b*alfa,'bo','markersize',4,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
hold off
grid on
axis equal

Observamos, que la prolongación de los rayos casi intersecan en dos puntos. Los rayos parecen provenir de dos fuentes virtuales S₁ y S₂ situadas detrás del prisma

Aproximación para ángulos pequeños

Teniendo en cuenta la aproximación

${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta }$

Ley de Snell de la refracción en A y en B se expresa

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\theta \approx n·r\\ n\left(\alpha -r\right)\approx \phi \end{array}\\ \delta =\alpha -\phi =\theta -\left(n-1\right)\alpha \end{array}}$

δ es el ángulo que hace el rayo que emerge del prisma con la horizontal

Para un ángulo θ=(n-1)α, el ángulo δ=0, el rayo refractado por el prisma emerge en la dirección horizontal. La recta está a una altura bθ=b(n-1)α

Cambiamos el ángulo del prisma a otro más pequeño, α=π/12 (15°). Comprobamos que el rayo cuyo ángulo de incidencia es θ=(n-1)α emerge del prisma siguiendo una dirección casi horizontal

alfa=pi/12; %ángulo del prisma
n=1.5; %índice de refracción
h=1; %altura del prisma
b=1; %distancia a la fuente
xx=[b, b+h*tan(alfa),b, b];
yy=[h, 0,-h, h];
hold on
fill(xx,yy,'y')
plot(xx,yy,'r')
plot(0,0,'ro','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
y=b*tan((n-1)*alfa);
th=atan(y/b);
line([0,b],[0,y])
r=asin(sin(th)/n);
z=(h-y)*tan(alfa)*tan(r)/(1+tan(r)*tan(alfa));
line([b,b+(h-y-z)*tan(alfa)],[y,y+z])
phi=asin(n*sin(alfa-r));
line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)+1.5*cos(alfa-phi)],
[y+z, y+z+1.5*sin(alfa-phi)])
line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)+1.5*cos(alfa-phi)],
[y+z, y+z+1.5*sin(alfa-phi)])
line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)-1.5*cos(alfa-phi)],
[y+z, y+z-1.5*sin(alfa-phi)],'lineStyle','--','color','k')
plot(0,(n-1)*b*alfa,'bo','markersize',4,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
hold off
grid on
axis equal

Prolongamos es rayo refractado. La fuente virtual S₁ (en color azul) estará a una altura b(n-1)α por encima de S. Por simetría, la fuente S₂ estará a igual distancia por debajo de S.

El biprisma es equivalente a dos fuentes S₁ y S₂ que vibran con la misma frecuencia y en fase, separadas d=2b(n-1)α, que ya hemos estudiado en la página interferencia

La condición de interferencia constructiva es dsinθ=nλ, donde n es un entero y λ es la longitud de onda

Las posiciones de las franjas brillantes sobre la pantalla situada a una distancia c del briprisma es

${\displaystyle y=\left(b+c\right)\tan \theta \approx \left(b+c\right)\sin \theta =\left(b+c\right)\frac{n\lambda }{d},n=\mathrm{0,}\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,.}\pm \mathrm{3,...}}$

La separación entre dos franjas consecutivas es

${\displaystyle \Delta y=\left(b+c\right)\frac{\lambda }{d}=\frac{\left(b+c\right)\lambda }{2\left(n-1\right)b\alpha }}$

Posición de las fuentes virtuales

La posición de la fuente virtual S₁ (la fuente S₂ es simétrica) es la intersección de la prolongación de dos rayos:

• El primero, hace un ángulo θ con la horizontal y tiene una desviación δ=0
• El segundo, hace un ángulo θ=0, a lo largo el eje X y se desvía un ángulo φ por debajo de la horizontal

• Primer rayo

Calculamos el ángulo θ

Primera refracción en la superficie plana

${\displaystyle \sin \theta =n\sin r}$

El ángulo de incidencia i sobre la segunda cara inclinada es

${\displaystyle i+r=\alpha }$

La refracción en la segunda cara es

${\displaystyle n\sin i=\sin \alpha }$

Despejamos el ángulo θ

${\displaystyle \begin{array}{l}n\sin \left(\alpha -r\right)=\sin \alpha \\ n\left(\sin \alpha \cos r-\cos \alpha \sin r\right)=\sin \alpha \\ n\left(\sin \alpha \sqrt{1-{\left(\frac{\sin \theta }{n}\right)}^2}-\cos \alpha \frac{\sin \theta }{n}\right)=\sin \alpha \\ \sin \alpha \sqrt{n^2-{\sin }^2\theta }=\sin \alpha +\cos \alpha \sin \theta \\ {\sin }^2\alpha \left(n^2-{\sin }^2\theta \right)={\left(\sin \alpha +\cos \alpha \sin \theta \right)}^2\\ {\sin }^2\theta +\sin \left(2\alpha \right)\sin \theta -\left(n^2-1\right){\sin }^2\alpha =0\\ \sin \theta =\frac{-\sin \left(2\alpha \right)\pm \sqrt{{\sin }^2\left(2\alpha \right)+4\left(n^2-1\right){\sin }^2\alpha }}{2}\end{array}}$

Elegimos la raíz con signo +

${\displaystyle \sin \theta =\sin \alpha \left(\sqrt{n^2-{\sin }^2\alpha }-\cos \alpha \right)}$

• Segundo rayo

${\displaystyle \begin{array}{l}n\sin \alpha =\sin \left(\alpha +\phi \right)\\ \phi =\arcsin \left(n\sin \alpha \right)-\alpha \end{array}}$

En el apartado anterior, hemos deducido la altura y+z del punto B y de S₁

La distancia horizontal Δx entre S y S₁ es

${\displaystyle \Delta x=b+h\tan \alpha -\frac{y+z}{\tan \phi }}$

Para un ángulo del prisma α=π/6 (30°)

alfa=pi/6; %ángulo del prisma
n=1.5; %índice dee refracción
h=1; %altura del prisma
b=1; %distancia a la fuente
xx=[b, b+h*tan(alfa),b];
yy=[h, 0,0];
hold on
fill(xx,yy,'y')
plot(xx,yy,'r')
plot(0,0,'ro','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
th_h=asin(sin(alfa)*(sqrt(n^2-sin(alfa)^2)-cos(alfa)));
for th=[0,th_h]
    y=b*tan(th);
    line([0,b],[0,y])
    r=asin(sin(th)/n);
    z=(h-y)*tan(alfa)*tan(r)/(1+tan(r)*tan(alfa));
    line([b,b+(h-y-z)*tan(alfa)],[y,y+z])
    phi=asin(n*sin(alfa-r));
    line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)+1.0*cos(-phi+alfa)],
[y+z, y+z+1.0*sin(-phi+alfa)])
    line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)+1.0*cos(-phi+alfa)],
[y+z, y+z+1.0*sin(-phi+alfa)])
    line([b+(h-y-z)*tan(alfa), b+(h-y-z)*tan(alfa)-1.0*cos(-phi+alfa)],
[y+z, y+z-1.0*sin(-phi+alfa)],'lineStyle','--','color','k')
end
phi=asin(n*sin(alfa))-alfa;
d=b+h*tan(alfa)-(y+z)/tan(phi);
plot(d, y+z,'bo','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')
hold off
grid on
axis equal

La distancia Δx= 0.5240

>> d
d =    0.5240

Hacemos el ángulo α=π/12 (15°) pequeño

La distancia Δx= 0.1525

>> d
d =    0.1525

Que es muy pequeña respecto de la distancia b=1 entre la fuente S y el biprisma. Para ángulos pequeños, podemos considerar que la fuente S y las fuentes virtuales S₁ y S₂ están en el mismo plano

Referencias

Michel Henry - Université du Maine. Optique physique : InterférencesMiroir de Lloyd

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2015, Part-1, problem 4

HANG Jia-sheng, WANG Li-ying, JIN Chao. Discussion on the error caused by the position difference between virtual and real light sources in the double prism interference experiment. College Physics. 2025, 44(10): 117.