Interferencia modulada por la difracción

Consideremos dos rendijas iguales de anchura b, separadas una distancia a tal como se indica en la figura.

Queremos determinar la intensidad del movimiento ondulatorio en la dirección θ producida por la combinación de la interferencia de dos fuentes extensas de ondas (las rendijas) y la difracción de cada una de las rendijas.

Calculamos la amplitud debida a la difracción producida por cada una de las dos rendijas..

A 1 = A 0 sin( πbsinθ/λ ) πbsinθ/λ

Como vimos en al estudiar la interferencia de dos fuentes, el ángulo formado por los dos vectores A1 y A2 es igual al desfase δ=k(a·sinθ)=asinθ/λ. Si las rendijas son iguales los módulos de los vectores son iguales A1=A2.

La amplitud resultante vale

A= A 1 2 + A 2 2 +2 A 1 A 2 cosδ =2 A 1 cos( 1 2 δ )

o bien,

A=2 A 0 sin( πbsinθ/λ ) ( πbsinθ/λ ) cos( πasinθ λ )

La intensidad que medimos en la dirección correspondiente al ángulo θ, es proporcional al cuadrado de la amplitud

I= I 0 ( sin( πbsinθ/λ ) ( πbsinθ/λ ) ) 2 cos 2 ( πasinθ λ )

Si comparamos esta ecuación con la correspondiente a una rendija, vemos que ahora hay un factor adicional, un coseno cuadrado, el término que aparecía en el diagrama de interferencia de dos fuentes sincrónicas. Tenemos, por tanto, que la intensidad es el producto de dos términos

El resultado es un diagrama de interferencia modulado por el diagrama de difracción.

Como a>b, los ceros del diagrama de difracción están más espaciados que los máximos del diagrama de interferencia, tal como puede apreciarse en la figura.

Redes de difracción

El siguiente paso, es considerar el diagrama de difracción producido por varias rendijas paralelas de igual ancho b, espaciadas regularmente una distancia a.

La intensidad que medimos en la dirección correspondiente al ángulo θ es el producto de dos términos:

I= I 0 ( sin( πbsinθ/λ ) ( πbsinθ/λ ) ) 2 ( sin( Nπasinθ/λ ) sin( πasinθ/λ ) ) 2

El diagrama consistirá en una serie de franjas brillantes, correspondientes a los máximos principales de la interferencia de N fuentes dada por

a·sinθ/λ=n  con n=0, ±1, ±2,…

pero los valores de estos máximos estarán moduladas por el diagrama de difracción, tal como puede verse en la figura. Los mínimos de difracción están señalados en color rojo.

Actividades

Se introduce

  1. Si se activa el botón de radio titulado Interferencia, se representa el diagrama de interferencia producido por N fuentes separadas una distancia a.
  2. Si se activa el botón de radio titulado Difracción se representa el diagrama de difracción correspondiente a una rendija de anchura b.
  3. Si se activa el botón de radio titulado Interferencia + Difracción, se representa el diagrama de interferencia modulado por el diagrama de difracción.

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

En la parte inferior, se representa la intensidad codificada en colores pertenecientes a la escala de grises. El color blanco indica máxima intensidad y el negro intensidad nula.

En la parte superior, se traza el diagrama de intensidad en función de x=a·sinθ/λ, se marca sobre el diagrama en color rojo los mínimos de difracción.

Ejemplo:

Posición x=2.0, que corresponde a un máximo de interferencia

Si a·sinθ/λ=x entonces  b·sinθ/λ=xb/a

En la fórmula de la intensidad ponemos a·sinθ/λ=2.0, y b·sinθ/λ=0.4

El valor de la intensidad es

I I 0 = ( sin( π·0.4 ) ( π·0.4 ) ) 2 ( sin( 2π·2.0 ) sin( π·2.0 ) ) 2 = 0.76 2 · 1 2 =0.57

Si la longitud de onda λ=650 nm=650·10-9 m entonces la dirección de observación corresponde a un ángulo tal que sinθ=x·λ/a =0.001  es decir, θ=0.07º