Difracción de Fresnel

Las integrales de Fresnel

Las integrales de Fresnel se definen

C(u)= 0 u cos( π x 2 2 ) dx S(u)= 0 u sin( π x 2 2 ) dx

Estas integrales se pueden escribir de la forma

C(u)= 1 2 +f(u)sin( π u 2 2 )g(u)cos( π u 2 2 ) S(u)= 1 2 f(u)cos( π u 2 2 )g(u)sin( π u 2 2 )

donde las funciones auxiliares f(u) y g(u) tienen las siguientes aproximaciones racionales, véase el primer artículo citado en las referencias

f(u)= 1+0.926u 2+1.792u+3.104 u 2 g(u)= 1 2+4.142u+3.492 u 2 +6.670 u 3

La espiral de Cornu, es una curva que se obtiene dando valores al parámetro u. A continuación, se unen los puntos cuya abscisa es C(u) y cuya ordenada es S(u).

x=0.02:0.02:7;
plot(fresnelc(x),fresnels(x))
axis equal
grid on
xlabel('C(t)')
ylabel('S(t)')
title('La espiral de Cornu')

En los tres ejemplos, se indica el procedimiento geométrico para el cálculo de la intensidad debida a la difracción producida por

Difracción producida por una rendija

Se observa la evolución desde la difracción Fresnel a la difracción Fraunhofer a medida que se disminuye la anchura de la rendija.

dx=2; %ancho rendija
x=0:0.02:5;
s1=fresnels(x+dx/2);
s2=fresnels(x-dx/2);
c1=fresnelc(x+dx/2);
c2=fresnelc(x-dx/2);
y=((s2-s1).^2+(c2-c1).^2)/2;
plot(x,y)
grid on
xlabel('x')
ylabel('Intensidad')
title('difracción rendija')

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se mide la intensidad de la luz en una posición dada, que se puede cambiar en el control titulado Posición


Difracción producida por un borde de una placa

En el programa interactivo observamos que la intensidad no es nula en la zona de sombra de la placa y en las proximidades del borde.

Definimos una intensidad umbral como aquella I=0.01·I0. Moviendo el pequeño cuadrado de color rojo hacia la izquierda (véase la figura más abajo) vemos que corresponde a u=2.2. (en la parte superior izquierda, se proporcionan los datos de u y de la intensidad  I/I0.

Por ejemplo, en el caso del sonido si I0=10-4 W/m2 es decir, 80 decibeles, I=0.01·I0=10-6 W/m2, es 60 dB.

El parámetro u vale

u=x 2 λy

donde x e y son las coordenadas del punto de observación P.

En la figura, se muestra el lugar geométrico de los puntos tales que u=2.2 o los puntos (x, y) para los cuales la intensidad es el 1% de la intensidad del movimiento ondulatorio que se mediría sin la presencia del obstáculo.

En el caso del sonido, la velocidad de propagación es 340 m/s,

Como apreciamos en la figura, oiremos sonido detrás de un edificio, alrededor de la esquina.

En el caso de la luz visible, su longitud de onda es del orden de λ=5·10-7 m. La curva que se dibujaría sería indistinguible de la recta horizontal.

El sonido por tanto se difracta dentro de la región de sombra de la placa semiinfinita. En una situación real, el sonido escuchado detrás de un obstáculo puede provenir no solamente del efecto de la difracción, sino también de la  reflexión por otros obstáculos que puedan estar presentes.

x=-3:0.02:5;
s=fresnels(-x);
c=fresnelc(-x);
y=((0.5-s).^2+(0.5-c).^2)/2;
plot(x,y)
grid on
xlabel('x')
ylabel('Intensidad')
title('difracción borde')

Actividades

Se mide la intensidad de la luz en una posición dada, que se establece en el control titulado Posición

Difracción producida por un obstáculo en forma de placa rectangular

Observamos que siempre hay una región iluminada en el eje central del obstáculo

dx=2; %ancho obstáculo
x=0:0.02:5;
s1=fresnels(x+dx);
s2=fresnels(x-dx);
c1=fresnelc(x+dx);
c2=fresnelc(x-dx);
y=((1-s1+s2).^2+(1-c1+c2).^2)/4;
plot(x,y)
grid on
xlabel('x')
ylabel('Intensidad')
title('difracción obstáculo')

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se mide la intensidad de la luz en una posición dada, que se puede cambiar en el control titulado Posición


Referencias

Hecht E., Zajac A. Óptica. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana (1986), págs. 388-418

Klein, Martin. Fresnel integrals. Am. J. Phys. 45 (3) March 1977, pp. 298-299

Ferguson J. L., Why can we hear but not see around a corner?. Am. J. Phys. 54 (7) July 1986, pp. 661-662

Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes in C, Second edition, Special functions. Fresnel Integrals, Cosine and Sine Integrals Chapter 6º. Cambridge University Press. Código en C adaptado por el autor al lenguaje Javascript