Las ecuaciones que describen el modelo son

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\beta \frac{dx}{dt}+kx=mg}$

Esta ecuación, es similar a la de un oscilador amortiguado bajo la acción del peso mg de la gota de agua.

• x es el desplazamiento de la gota de agua
• m es la masa del gota de agua, que va creciendo con el tiempo
• k es la constante del muelle
• β es la constante de amortiguamiento

La masa de la gota  m no es constante sino que crece debido al flujo Φ de agua que circula por la tubería.

${\displaystyle \frac{dm}{dt}=\Phi }$

El amortiguamiento β, se debe al movimiento del agua en la gota y al flujo Φ de agua. Su expresión es

β= β₁+ β₂Φ

donde  β₁ y β₂ son constantes

La gota va descendiendo a medida que incrementa su tamaño, cuando alcanza una altura x₀, el hilo de agua que la sostiene ya no es capaz de soportar el peso de la gota y se rompe, desprendiéndose una masa Δm de agua que viene dada por la siguiente expresión

${\displaystyle \Delta m=\frac{v}{\alpha +v}mv=\frac{dx}{dt}}$

Cada vez que se desprende una gota, las condiciones iniciales que determinan la evolución de la siguiente son:

• Posición inicial x₀
• Velocidad inicial dx/dt=0
• Masa inicial m₀=m-Δm

Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con los siguientes valores de los parámetros, tomados del artículo citado en las referencias.

En la simulación, se mantienen fijos estos parámetros y se puede cambiar el flujo Φ supuesto constante, en el intervalo comprendido entre10·10^-6 y 100·10^-6 unidades arbitrarias.

La primera gota

Para resolver la ecuación diferencial tenemos que asignar unos valores iniciales, en el instante t=0, a la posición, velocidad y masa del sistema que va producir después de un cierto tiempo el desprendimiento de la primera gota.

• Posición inicial x=0.02
• Velocidad inicial dx/dt=0
• Masa inicial m₀=1.0·10^-6

La evolución de la primera gota, no debe ser tenida en cuenta, al haberse calculado con condiciones iniciales arbitrarias. Son las sucesivas gotas más allá de las iniciales, las que se deben de tener en consideración.

El diagrama de fases

En el diagrama de fases, se representa

• en el eje vertical, la posición x
• en el eje horizontal, la velocidad dx/dt en cada instante

Esta representación es muy útil en el estudio de los movimientos periódicos

Cuando un oscilador vuelve a la posición inicial x₀ con la velocidad de partida después de un tiempo P igual al periodo de la oscilación, describe una trayectoria cerrada en el espacio de las fases, tal como hemos observado en el estudio de las oscilaciones libres. Sin embargo, en las oscilaciones amortiguadas la trayectoria del móvil en el espacio de las fases es una curva abierta, una espiral que tiende hacia el origen, ya que el oscilador no regresa al estado inicial de partida.

Actividades

Se introduce

• El flujo Φ, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Flujo.

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Ejemplos:

Introducimos un valor del flujo Φ=35·10^-6, seleccionando el número 35. Observamos la evolución de las primeras gotas, que como se ha afirmado no se debe de tener en cuenta. Después de que se hayan desprendido varias gotas, observamos que la trayectoria en el espacio de las fases es una curva cerrada

Sea el flujo de Φ=20·10^-6, seleccionando el número 20. Observamos que aparecen dos curvas próximas que corresponden a dos oscilaciones de distinto periodo

Cambiamos el flujo a Φ=46·10^-6, seleccionando el número 46. Observamos que se dibujan varias curvas que corresponden a otros tantas oscilaciones de periodos distintos.

Referencias

Schmidt T., Marhl M. A simple mathematical model of a dripping tap. Eur. J. Phys. 18 (1997), 377-383