El péndulo simple

Conservación de la energía

Como hemos visto en la página anterior. El principio de conservación de la energía se expresa

E= 1 2 m ( l dθ dt ) 2 +mgl( 1cosθ )

El máximo desplazamiento angular del péndulo θ0 se obtiene para dθ/dt=0

E=mgl(1-cosθ0)

Alcanza la velocidad máxima vm cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria θ=0

E= 1 2 m v m 2

Curva de la energía potencial

Las curvas de energía potencial nos suministran información cualitativa acerca del comportamiento del sistema físico.

La energía potencial del péndulo es Ep=mgl(1-cosθ). La energía potencial máxima del péndulo es 2mgl, cuando está en posición invertida. Representamos en la parte superior derecha, el cociente de la energía potencial Ep entre la energía potencia máxima, en función del ángulo θ, es decir la función

e p = 1 2 ( 1cosθ )

En estas unidades, la energía potencial máxima es la unidad para θ=π, cuando el péndulo está invertido (posición de equilibrio inestable) y la mínima (cero) para θ=0, posición de equilibrio estable.

En dicho diagrama, representamos mediante una recta de color negro la energía total E, suma de la energía potencial y de la energía cinética. Un segmento vertical de color rojo, señala la energía potencial del péndulo para la posición θ, y un segmento de color azul, la energía cinética del péndulo en dicha posición. Los valores de la energía total, cinética y potencial se han dividido por la energía potencial máxima 2mgl.

El principio de conservación de la energía establece que la suma de la energía cinética y la energía potencial es constante. De modo que, la energía cinética es máxima cuando la energía potencial es mínima (cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio estable) y la energía cinética es mínima (cero) cuando el péndulo alcanza la desviación máxima.

El espacio de las fases

En el diagrama de fases, representamos la velocidad angular dθ/dt en función del desplazamiento angular θ.

Si el movimiento de un sistema físico es periódico el sistema vuelve al mismo estado después de un ciclo completo. La representación de su trayectoria en el espacio de las fases es una curva cerrada.

Observamos que la trayectoria en el espacio de las fases es simétrica respecto del eje vertical (de la velocidad angular). Esta simetría quiere decir, que el movimiento del péndulo es el mismo en el sentido de las agujas del reloj que en sentido contrario. Pueden ocurrir dos casos:

Oscilaciones

Que la energía total E del péndulo sea menor que el máximo valor de la energía potencia (E<2mgl) o bien (e<1). En el diagrama de la energía potencial vemos que la energía total es menor que la altura de la barrera de potencial. El péndulo oscila entre dos posiciones extremas θ0 y -θ0.

Si la amplitud es pequeña, el péndulo describe un Movimiento Armónico Simple y la trayectoria en el espacio de las fases se aproxima a una elipse.

A medida que se aumenta la energía, la trayectoria en el espacio de las fases se desvía de la forma elíptica y la oscilación deja de ser armónica. Como el péndulo pasa mucho más tiempo en las proximidades de su desviación máxima θ0, la trayectoria en el espacio de las fases se hace más aguda en los extremos izquierdo y derecho, y más plana en la parte superior e inferior.

Rotaciones

Cuando la energía total E del péndulo es mayor que el máximo valor de la energía potencial (E>2mgl) o bien (e>1), el péndulo da vueltas completas.

El movimiento de rotación no es uniforme, la velocidad es máxima cuando pasa por la posición de equilibrio estable y es mínima cuando pasa por la posición de péndulo invertido. La posición angular del péndulo se incrementa continuamente y la velocidad angular es siempre positiva (si la rotación es en sentido contrario a las agujas del reloj).

El péndulo repite el mismo movimiento cuando su posición angular θ se incrementa en 2π , 4π , etc. Para describir este movimiento en el espacio de las fases, es suficiente con considerar la parte de dicho espacio comprendida entre -π y π . El punto que representa la posición y la velocidad angular del péndulo en el espacio de las fases sale de dicha región por la derecha y entra por la izquierda.

Trayectoria separatriz

Cuando la energía total del péndulo E=2mgl, (e=1) estamos en el caso límite. La trayectoria del punto representativo en el espacio de las fases está señalada en color rojo y se denomina separatriz.

Poniendo E=2mgl en el principio de conservación de la energía, obtenemos la ecuación de la separatriz

2mgl= 1 2 m ( l dθ dt ) 2 +mgl( 1cosθ ) ( dθ dt )=2 g l cos( θ 2 )

La separatriz divide al espacio de las fases en regiones que corresponden a dos tipos distintos de movimiento.

Cuando el péndulo alcanza la posición θ=-π o θ=π, su velocidad angular dθ/dt=0, el péndulo se encuentra en un estado de equilibrio inestable, en la denominada posición invertida. Un pequeño desplazamiento en uno u otro sentido hace que el péndulo oscile con una amplitud muy próxima a π . Y un pequeño empuje hace que describa un movimiento de rotación.

Actividades

Se introduce el valor de la energía total e en el control de edición titulado Energía. Este valor es el cociente entre la energía total del péndulo E y la energía potencial máxima 2mgl.

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa el movimiento del punto representativo en el espacio de las fases y la forma de la trayectoria que describe.

En la parte superior derecha, observamos cómo cambia la energía cinética (línea gruesa de color azul) y la energía potencial (en color rojo) con la posición θ del péndulo.

En la parte superior izquierda, se proporciona el valor del tiempo t, la posición angular θ y la velocidad angular dθ/dt

Oscilaciones

En este apartado, vamos a examinar el comportamiento del péndulo cuando su energía E<2mgl y por tanto, describe oscilaciones de amplitud 0<θ0

Aplicamos el principio de conservación de la energía. Véase la primera figura de esta página

En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial.

E=mg(l-lcosθ)

En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

E= 1 2 m ( l dθ dt ) 2 +mgl( 1cosθ )

La conservación de la energía se escribe

mgl(1cos θ 0 )= 1 2 m ( l dθ dt ) 2 +mgl( 1cosθ ) ( dθ dt ) 2 = 4g l ( sin 2 θ 2 sin 2 θ 0 2 )

Despejando el tiempo dt en la ecuación diferencial

2 g l t= 0 θ dθ' sin 2 ( θ 0 2 ) sin 2 ( θ' 2 )

Se hace el cambio de variable

sin( θ 2 )=sinφ·sin( θ 0 2 ) 1 2 cos( θ 2 )dθ=sin( θ 0 2 )·cosφ·dφ

La integral se expresa

g l t= 0 φ dφ' 1 sin 2 ( θ 0 2 ) sin 2 φ' 2πτ= 0 φ dφ' 1 k 2 sinφ'

Donde τ=t/P0, siendo P0 el periodo del péndulo para pequeñas amplitudes. Con

sinφ= 1 k sin θ 2 k=sin θ 0 2

Despejamos la posición angular θ en función del tiempo τ del siguiente modo

snu=sinφ snu= 1 k sin θ 2 θ=2arcsin( k·sn(2πτ, k 2 ) )

sn es una función elíptica de Jacobi, definida del siguiente modo

u= 0 θ dφ 1 k 2 sinφ 0θ π 2 snu=sinθ

Representamos en color azul la posición angular θ en función del tiempo τ=t/P0 y la comparamos con la aproximación de las oscilaciones de pequeña amplitud θ=θ0·sin(2π·τ) en color rojo. La amplitud es θ0=π/6 (30°).

ang=pi/6; %30°
k=sin(ang/2);
t=0:0.01:3; 
x=2*asin(k*ellipj(2*pi*t,k^2));
xx=ang*sin(2*pi*t);
plot(t,x,'b',t,xx,'r');
xlabel('t/P_0')
ylabel('\theta')
title('Posición angular en función del tiempo')
grid on

Representamos el desplazamiento θ en función del tiempo τ=t/P0 para las siguientes amplitudes θ0=90°, θ0=160°, θ0=175°

hold on
for ang=[90,160, 175]
    k=sin(ang*pi/(2*180));
    t=0:0.01:3; 
    x=2*asin(k*ellipj(2*pi*t,k^2));
    plot(t,x, 'displayName',num2str(ang));
end
hold off
set(gca,'YTick',-pi:pi/4:pi)
set(gca,'YTickLabel',{'-\pi','-3*\pi/4','-\pi/2','-\pi/4',
'0', '\pi/4', '\pi/2', '3*\pi/4','\pi'})
legend('-DynamicLegend','location','southwest')
xlabel('t/P_0')
ylabel('\theta')
title('Posición angular en función del tiempo')
grid on

Periodo del péndulo

Cuando θ=θ0, entonces φ=π/2. El tiempo que tarda el péndulo en ir de θ=0, a θ=θ0 es un cuarto de periodo.

g l P 4 = 0 π/2 dφ' 1 sin 2 ( θ 0 2 ) sin 2 φ'

El periodo P/P0 de una oscilación es

P P 0 = 2 π 0 π/2 dφ' 1 k 2 sin 2 φ'

La integral se denomina elíptica completa de primera especie.

Representemos el periodo P/P0 de un péndulo en función de la amplitud θ0 expresada en grados

P=@(x) ellipke(sin(x*pi/(2*180))^2)*2/pi;
fplot(P,[0,179])
xlabel('\theta_0')
ylabel('P/P_0')
title('Periodo de un péndulo')
grid on

Aproximaciones

Desarrollamos en serie el denominador de la integral elíptica

(1 k 2 sin 2 φ) 1/2 =1+ 1 2 k 2 sin 2 φ+ 3 8 k 4 sin 4 φ+...

En el código, llamamos t al producto k2sin2φ. Obtenemos los tres primeros términos del desarrollo en serie (en orden inverso) con el comando series

>> syms t;
>> series('(1-t^2)^(-1/2)',t)
ans =(3*t^4)/8 + t^2/2 + 1

La integral se convierte en

0 π/2 ( 1+ 1 2 k 2 sin 2 φ+ 3 8 k 4 sin 4 φ+... ) dφ= π 2 + 1 2 k 2 π 4 + 3 8 k 4 3π 16 +...

>> syms t;
>> int('sin(t)^2',t,0,pi/2)
ans =pi/4 

>> int('sin(t)^4',t,0,pi/2)
ans =(3*pi)/16

>> int('sin(t)^6',t,0,pi/2)
ans =(5*pi)/32

El desarrollo en serie del periodo P es

P= P 0 ( 1+ 1 4 sin 2 θ 0 2 + 9 64 sin 4 θ 0 2 +... )          (2)

Si la amplitud es pequeña

sin 2 ( θ 0 2 ) θ 0 2 4

y el periodo es, aproximadamente

P P 0 ( 1+ θ 0 2 16 )

Esta es la primera aproximación a la fórmula del periodo de un péndulo. Se conocen varias fórmulas aproximadas del periodo del péndulo para cualquier amplitud.

La conclusión final, es que el periodo P crece con la amplitud θ0. Mientras que el periodo P0 es independiente de la amplitud siempre que la amplitud no sea muy grande y se pueda aplicar la aproximación sinθθ.

Rotaciones

En este caso, la energía E>2mgl. Siendo 2mgl la energía potencial en el punto más alto de la trayectoria circular

En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

E= 1 2 m ( l dθ dt ) 2 +mgl( 1cosθ )

Integrando, obtenemos el ángulo θ en función del tiempo t

( dθ dt ) 2 = 2E m l 2 ( 1 2mgl E sin 2 ( θ 2 ) ) 2E m l 2 t= 0 θ dθ' 1 2mgl E sin 2 ( θ' 2 )

Hacemos el cambio de variable φ=θ/2

E 2m l 2 t= 0 θ/2 dφ 1 k 2 sin 2 φ k 2 = 2mgl E

En términos de τ=t/P0

2π k τ= 0 θ/2 dφ 1 k 2 sin 2 φ

Despejamos la posición θ en función del tiempo t, utilizando la función sn de Jacobi

θ=2arcsin( sn( 2π k τ, k 2 ) )0t P 2 θ=2π2arcsin( sn( 2π k τ, k 2 ) ) P 2 <t<P

k=1/1.01;  %v0/vc
P=k*ellipke(k^2)/pi;
t1=0:0.01:P/2; 
x1=2*asin(ellipj(2*pi*t1/k,k^2));
t2=P/2+0.01:0.01:P-0.01;
x2=2*pi-2*asin(ellipj(2*pi*t2/k,k^2));
hold on
plot([t1,t2],[x1,x2])
plot([t1+P,t2+P],[x1,x2])
hold off
xlabel('t/P_0')
ylabel('\theta')
title('Posición angular en función del tiempo')
grid on

Periodo

El tiempo que tarda el péndulo en desplazarse desde θ=0 a θ=π es la mitad de un periodo P.

E 2m l 2 P 2 = 0 π/2 dφ 1 k 2 sin 2 φ P P 0 = k π 0 π/2 dφ 1 k 2 sin 2 φ k 2 = 2mgl E

La integral se denomina elíptica completa de primera especie.

Velocidad crítica.

Se denomina velocidad crítica vc a la velocidad en el punto más bajo de la trayectoria circular para que el péndulo llegue a la posición θ=π de equilibrio inestable (péndulo invertido).

2mgl= 1 2 m v c 2

Denominaremos v0 a la velocidad en el punto más bajo de la trayectoria cuando la energía de la partícula es E.

E= 1 2 m v 0 2

Representemos el periodo P/P0 de un péndulo en función del cociente v0/vc. Distinguiendo dos regiones: v0/vc<1 (oscilaciones) y v0/vc>1 (rotaciones)

P_1=@(k) ellipke(k^2)*2/pi;
P_2=@(k) ellipke(1/k^2)/(pi*k);
hold on
fplot(P_1,[0,0.98])
fplot(P_2,[1.001,1.5])
hold off
xlim([0,1.5])
xlabel('v_0/v_c')
ylabel('P/P_0')
title('Periodo de un péndulo')
grid on

Situación límite

Cuando la energía E del oscilador es igual crítico 2mgl, el péndulo alcanza una posición invertida que es una posición de equilibrio inestable. Si la energía E es un poco mayor que 2mgl, el péndulo experimenta rotaciones y si la energía E del péndulo es un poco menor de 2mgl el péndulo experimenta oscilaciones. Cuando el péndulo alcanza una posición próxima a θ=π, se mueve muy lentamente y tarda un tiempo infinito en alcanzar esta posición

El principio de conservación de la energía con E=2mgl se escribe

2mgl= 1 2 m ( l dθ dt ) 2 +mgl( 1cosθ ) ( dθ dt ) 2 =4 g l cos 2 θ 2

Integrando, obtenemos la posición θ en función del tiempo t.

2 g l t= 0 θ dθ cos θ 2

Para calcula la integral se hace el cambio x=θ/2 y se utilizan las siguientes relaciones, derivadas del seno y coseno del ángulo doble:

cosx= 1 z 2 1+ z 2 z=tan x 2 sinx= 2z 1+ z 2 dx= 2 1+ z 2 dz

El integrando es

2 dx cosx =2 2dz 1 z 2 =2log( 1+z 1z )=2log( 1+tan(x/2 ) 1tan(x/2 ) )= 2log( 1+tan(θ/4 ) 1tan(θ/4 ) )

>> syms t;
>> int('1/cos(t/2)',t)
ans =2*log((sin(t/2) + 1)/cos(t/2))

Evaluamos la integral para los límites 0 y θ

2 g l t=2log( 1+tan(θ/4 ) 1tan(θ/4 ) ) g l t=log( cos(θ/4 )+sin(θ/4 ) cos(θ/4 )sin(θ/4 ) ) 2πτ=log( tan( θ+π 4 ) )

Donde τ=t/P0, siendo P0 el periodo del péndulo para pequeñas amplitudes.

Despejamos el desplazamiento θ en función del tiempo τ.

θ=4arctan( exp(2πτ) )π

theta_1=@(t) pi-4*atan(exp(-2*pi*t));
theta_2=@(t) 4*atan(exp(2*pi*t))-pi;
hold on
fplot(theta_1,[-3,0])
fplot(theta_2,[0,3])
hold off
xlim([-3,3])
set(gca,'YTick',-pi:pi/4:pi)
set(gca,'YTickLabel',{'-\pi','-3*\pi/4','-\pi/2','-\pi/4',
'0', '\pi/4', '\pi/2', '3*\pi/4','\pi'})
grid on
xlabel('t/P_0')
ylabel('\theta')
title('Posición en función del tiempo')

Derivamos con respecto del tiempo τ, para obtener la velocidad dθ/dτ

dθ dτ = 8πexp(2πτ) 1+exp(4πτ) = 4π cosh(2πτ)

w_1=@(t) 4*pi/cosh(-2*pi*t);
w_2=@(t)  4*pi/cosh(2*pi*t);
hold on
fplot(w_1,[-3,0])
fplot(w_2,[0,3])
hold off
xlim([-3,3])
grid on
xlabel('t/P_0')
ylabel('d\theta/dt')
title('Velocidad en función del tiempo')

Referencias

F.M.S. Lima. Analytical study of the critical behavior of the nonlinear pendulum. Am. J. Phys. 78 (11), November 2010, pp. 1146-1151