Dos osciladores acoplados

Sea un sistema formado por dos osciladores acoplados, formado por dos partículas de masas m1 y m2 situadas en los extremos de dos muelles de constantes elásticas k1 y k3. El acoplamiento se efectúa uniendo las dos partículas mediante un muelle de constante k2, tal como se puede ver en la figura.

Llamemos x1 y x2 a los desplazamientos de cada una de las partículas a partir de su posición de equilibrio, medidos como positivos cuando están a la derecha. El muelle de la izquierda se ha estirado x1, el de la derecha se ha comprimido x2 y el central se ha deformado x2-x1. Las fuerzas sobre cada una de las partículas se indican en la figura.

El muelle central ejerce fuerzas iguales y de sentido contrario sobre cada una de las partículas.

Aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partículas, y escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuaciones diferenciales de segundo orden

m 1 d 2 x 1 d t 2 = k 1 x 1 + k 2 ( x 2 x 1 ) m 2 d 2 x 2 d t 2 = k 3 x 2 k 2 ( x 2 x 1 )

En forma matricial

( m 1 0 0 m 2 ) d 2 d t 2 ( x 1 x 2 )+( ( k 1 + k 2 ) k 2 k 2 ( k 2 + k 3 ) )( x 1 x 2 )=0 M d 2 x d t 2 +Kx=0

Buscamos una solución de la forma

x1=X1sin(ωt+φ), x2=X2sin(ωt+φ)

que representa MAS de amplitud X1, X2 y frecuencia angular ω.

{ ( k 1 + k 2 m 1 ω 2 ) X 1 k 2 X 2 =0 k 2 X 1 +( k 2 + k 3 m 2 ω 2 ) X 2 =0 ( k 1 + k 2 m 1 ω 2 k 2 m 1 k 2 m 2 k 2 + k 3 m 2 ω 2 )( X 1 X 2 )=0

Tenemos un sistema homogéneo, los cuadrados de las frecuencias de los modos normales de vibración se calculan haciendo que el determinante de los coeficientes sea igual a cero

| k 1 + k 2 m 1 ω 2 k 2 m 1 k 2 m 2 k 2 + k 3 m 2 ω 2 |=0

Obtenemos una ecuación de segundo grado en ω2 con dos raíces. Para cada una de las dos frecuencias angulares ω1 y ω2 el sistema homogéneo nos proporciona una relación entre X1 y X2 que denominaremos r1 y r2.

r 1 = X 2 (1) X 1 (1) = k 1 + k 2 m 1 ω 1 2 k 2 = k 2 k 2 + k 3 m 2 ω 1 2 r 2 = X 2 (2) X 1 (2) = k 1 + k 2 m 1 ω 2 2 k 2 = k 2 k 2 + k 3 m 2 ω 2 2

El movimiento resultante de cada una de las partículas x1 y x2 es la combinación lineal de los dos modos normales de vibración de frecuencias angulares ω1 y ω2

{ x 1 = X 1 (1) sin( ω 1 t+ φ 1 )+ X 1 (2) sin( ω 2 t+ φ 2 ) x 2 = X 2 (1) sin( ω 1 t+ φ 1 )+ X 2 (2) sin( ω 2 t+ φ 2 )= r 1 X 1 (1) sin( ω 1 t+ φ 1 )+ r 2 X 1 (2) sin( ω 2 t+ φ 2 )

A partir de las condiciones iniciales

t=0{ x 1 = x 01 x 2 = x 02 { d x 1 dt = v 01 d x 2 dt = v 02

determinamos las constantes desconocidas: φ 1 , φ 2 , X 1 (1) , X 1 (2)

{ x 01 = X 1 (1) sin( φ 1 )+ X 1 (2) sin( φ 2 ) x 02 = r 1 X 1 (1) sin( φ 1 )+ r 2 X 1 (2) sin( φ 2 ) v 01 = ω 1 X 1 (1) cos( φ 1 )+ ω 2 X 1 (2) cos( φ 2 ) v 02 = ω 1 r 1 X 1 (1) cos( φ 1 )+ ω 2 r 2 X 1 (2) cos( φ 2 ) X 1 (1) sin( φ 1 )= r 2 x 01 x 02 r 2 r 1 X 1 (1) cos( φ 1 )= r 2 v 01 v 02 ω 1 ( r 2 r 1 ) X 1 (2) sin( φ 2 )= r 1 x 01 x 02 r 1 r 2 X 1 (2) cos( φ 2 )= r 1 v 01 v 02 ω 2 ( r 1 r 2 )

Ejemplo

Vamos a determinar la respuesta del sistema formado por dos partículas de masas m1=10 y m2=1 unidas por muelles de constantes k1=30, k2=5 y k3=0. Las condiciones iniciales en el instante t=0, son las siguientes: posición inicial x01=1, x02=0, velocidad inicial v01=0, v02=0.

% dos osciladores acoplados
k1=30; k2=5; k3=0;
m1=10; m2=1;

%cuadrado de las frecuencias de los modos normales de oscilación
a=(k1+k2)/m1+(k2+k3)/m2;
b=((k1+k2)*(k2+k3)-k2^2)/(m1*m2);
w2=roots([1,-a,b])
r(1)=(k1+k2-m1*w2(1))/k2;
r(2)=(k1+k2-m1*w2(2))/k2;

%condiciones iniciales
X0=[1,0];
V0=[0,0];
X1_sin=(r(2)*X0(1)-X0(2))/(r(2)-r(1));
X1_cos=(r(2)*V0(1)-V0(2))/(sqrt(w2(1))*(r(2)-r(1)));
X2_sin=(r(1)*X0(1)-X0(2))/(r(1)-r(2));
X2_cos=(r(1)*V0(1)-V0(2))/(sqrt(w2(2))*(r(1)-r(2)));
X1=sqrt(X1_sin^2+X1_cos^2);
fi1=atan2(X1_sin,X1_cos);
X2=sqrt(X2_sin^2+X2_cos^2);
fi2=atan2(X2_sin,X2_cos);

%ecuación del movimiento de las partículas
t=linspace(0,20,400);
x1=X1*sin(sqrt(w2(1))*t+fi1)+X2*sin(sqrt(w2(2))*t+fi2);
x2=r(1)*X1*sin(sqrt(w2(1))*t+fi1)+r(2)*X2*sin(sqrt(w2(2))*t+fi2);

%representación gráfica
hold on
plot(t,x1,'b');
plot(t,x2,'r');
title('Dos osciladores acoplados')
ylabel('x_1,x_2')
xlabel('t')
grid on
hold off

En la ventana de comandos aparecen los cuadrados de las frecuencias de los modos normales de vibración

w2 =
    6.0000
    2.5000

Modos normales de vibración

El caso más sencillo es aquél en el que k1=k3=k y m1=m2=m.Las partículas tienen masa m y las constantes elásticas de sus muelles son iguales a k. El muelle que acopla a las dos partículas tiene constante k2.

Tenemos un sistema homogéneo del tipo (A-λI)X=0, donde I es la matriz unidad. Los cuadrados de las frecuencias de los modos normales de vibración son los valores propios λ=ω2 de la matriz A.

| k+ k 2 m ω 2 k 2 m k 2 m k+ k 2 m ω 2 |=0

Calculamos mediante la función eig de MATLAB los valores propios y vectores propios de la matriz A

( k + k 2 m k 2 m k 2 m k + k 2 m )

>> syms k k2 m;
>> A=[(k+k2)/m,-k2/m;-k2/m,(k+k2)/m];
>> [V,D]=eig(A)
V =
[ 1, -1]
[ 1,  1]
D =
[ k/m,            0]
[   0, (k + 2*k2)/m]

Los valores propios λ=ω2 (cuadrado de las frecuencias angulares) están en la diagonal de la matriz D.

ω 1 2 = k m ω 2 2 = k+2 k 2 m

Sus correspondientes vectores propios son los vectores columna de la matriz V.

D = ( ω 1 2 0 0 ω 2 2 ) V = ( X 1 ( 1 ) X 1 ( 2 ) X 2 ( 1 ) X 2 ( 2 ) )

La ecuación del movimiento de cada una de las partículas es la superposición de los modos normales de vibración

{ x 1 = X 1 (1) sin( ω 1 t+ φ 1 )+ X 1 (2) sin( ω 2 t+ φ 2 ) x 2 = X 2 (1) sin( ω 1 t+ φ 1 )+ X 2 (2) sin( ω 2 t+ φ 2 )

Teniendo en cuenta la relación entre amplitudes

{ x 1 = X 1 (1) sin( ω 1 t+ φ 1 )+ X 1 (2) sin( ω 2 t+ φ 2 ) x 2 = X 1 (1) sin( ω 1 t+ φ 1 ) X 1 (2) sin( ω 2 t+ φ 2 )

A partir de las condiciones iniciales

t=0{ x 1 = x 01 x 2 = x 02 { d x 1 dt = v 01 d x 2 dt = v 02

determinamos las constantes desconocidas φ 1 , φ 2 , X 1 (1) , X 1 (2)

{ x 01 = X 1 (1) sin( φ 1 )+ X 1 (2) sin( φ 2 ) x 02 = X 1 (1) sin( φ 1 ) X 1 (2) sin( φ 2 ) v 01 = ω 1 X 1 (1) cos( φ 1 )+ ω 2 X 1 (2) cos( φ 2 ) v 02 = ω 1 X 1 (1) cos( φ 1 ) ω 2 X 1 (2) cos( φ 2 )

Que para este caso son

X 1 (1) sin( φ 1 )= x 01 + x 02 2 X 1 (1) cos( φ 1 )= v 01 + v 02 2 ω 1 X 1 (2) sin( φ 2 )= x 01 x 02 2 X 1 (2) cos( φ 2 )= v 01 v 02 2 ω 2

Ejemplo

Supongamos que la constante de los muelles es k=10 y la constante del acoplamiento k2=0.5, la masa m=1 de ambas partículas. Se desvía la primera partícula x01=1 de la posición de equilibrio y se suelta. Vamos a determinar el movimiento de cada partícula.

X 1 (1) sin( φ 1 )= 1 2 X 1 (1) cos( φ 1 )=0 X 1 (2) sin( φ 2 )= 1 2 X 1 (2) cos( φ 2 )=0 x 1 = 1 2 sin( ω 1 t+ π 2 )+ 1 2 sin( ω 2 t+ π 2 )= 1 2 cos( ω 1 t )+ 1 2 cos( ω 2 t ) x 2 = 1 2 sin( ω 1 t+ π 2 ) 1 2 sin( ω 2 t+ π 2 )= 1 2 cos( ω 1 t ) 1 2 cos( ω 2 t )

% dos osciladores acoplados
k=10; k2=0.5; k=10;
m=1; 

%calcula las frecuencias de los modos normales de vibración
A=[(k+k2)/m,-k2/m;-k2/m,(k+k2)/m];
[V,D]=eig(A);
%frecuencias de los modos normales de vibración
w1=sqrt(D(1,1)); w2=sqrt(D(2,2));

%calcula las amplitudes X1, X2 y 
%fases fi1, fi2 a partir de las condiciones iniciales
x01=1; x02=0; 
v01=0; v02=0;
X_sin1=(x01+x02)/2;
X_sin2=(x01-x02)/2;
X_cos1=(v01+v02)/(2*w1);
X_cos2=(v01-v02)/(2*w2);
X1=sqrt(X_sin1^2+X_cos1^2);
X2=sqrt(X_sin2^2+X_cos2^2);
fi1=atan2(X_sin1,X_cos1);
fi2=atan2(X_sin2,X_cos2);

%representación gráfica
t=linspace(0,40,400);
x1=X1*sin(w1*t+fi1)+X2*sin(w2*t+fi2);
x2=X1*sin(w1*t+fi1)-X2*sin(w2*t+fi2);
hold on
plot(t,x1,'b');
plot(t,x2,'r');
title('Dos osciladores acoplados')
ylabel('x_1,x_2')
xlabel('t')
hold off

Estudio energético

La energía total del sistema es la suma de las energías cinética y potencial. Tenemos la energía cinética de cada una de las partículas, la energía potencial elástica del muelle izquierdo que se deforma x1, del muelle derecho que se deforma x2, y del muelle central que se deforma x2-x1.

E = E k + E p = 1 2 m v 1 2 + 1 2 m v 1 2 + 1 2 k x 1 2 + 1 2 k x 2 2 + 1 2 k 2 ( x 2 x 1 ) 2 E = ( 1 2 m v 1 2 + 1 2 ( k + k 2 ) x 1 2 ) + ( 1 2 m v 2 2 + 1 2 ( k + k 2 ) x 2 2 ) k 2 x 1 x 2

Una vez agrupados los términos, el primer paréntesis depende solamente de x1 y puede denominarse la energía del primer oscilador, el segundo término depende solamente de x2 y puede llamarse energía del segundo oscilador. El último término, que depende de x1 y x2 se denomina energía de acoplamiento o de interacción. Este término es el que describe el intercambio de energía entre los dos osciladores.

Actividades

Se introduce:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Modos normales de vibración