El oscilador forzado

La ecuación diferencial que describe las oscilaciones forzadas es

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\gamma \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^{2}x=\frac{F}{m}\cos ({\omega }_{f}t+\delta )}$

• donde ω₀ es la frecuencia natural o propia del oscilador
• ω_f es la frecuencia angular de la fuerza oscilante de amplitud F
• γ es la constante de amortiguamiento, γ<ω₀
• δ es el desfase de la fuerza oscilante, que se utilizará más adelante

La solución de la ecuación diferencial es la suma de dos términos:

La solución de la ecuación diferencial homogénea, que describe el estado transitorio y la solución particular que describe el estado estacionario

$$\begin{gathered} {\displaystyle x=\left(C\cos (\omega t)+D\sin (\omega t)\right)·\exp (-\gamma t)+A\cos ({\omega }_{f}t)+B\sin ({\omega }_{f}t) \\ \omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}} \end{gathered}$$

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial completa se obtienen los coeficientes A y B

${\displaystyle A=\frac{F}{m}\frac{({\omega }_0^2-{\omega }_f^2)\cos \delta +2\gamma {\omega }_f\sin \delta }{{({\omega }_0^2-{\omega }_f^2)}^2+4{\gamma }^2{\omega }_f^2}B=\frac{F}{m}\frac{2\gamma {\omega }_f\cos \delta -({\omega }_0^2-{\omega }_f^2)\sin \delta }{{({\omega }_0^2-{\omega }_f^2)}^2+4{\gamma }^2{\omega }_f^2}}$

Los coeficientes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales

La velocidad vale

$$\begin{gathered} {\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\{\begin{array}{l}-A{\omega }_f\sin ({\omega }_{f}t)+{\omega }_{f}B\cos ({\omega }_{f}t)\\ -\gamma \left(C\cos (\omega t)+D\sin (\omega t)\right)·\exp (-\gamma t)+ \\ \left(-C\omega \sin (\omega t)+D\omega \cos (\omega t)\right)·\exp (-\gamma t)\end{array}} \end{gathered}$$

Si las condiciones iniciales son t=0, x=x₀, v=v₀.

${\displaystyle \begin{array}{l}C=x_0-A\\ D=\frac{1}{\omega }\left(v_0+\gamma C-{\omega }_{f}B\right)\end{array}}$

En el estado estacionario

La exponencial exp(-γt) tiende a cero, por lo que

x=Acos(ω_f·t)+ Bcos(ω_f·t)=A₀sin(ω_f·t+φ)

A₀ es la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario

Utilizando la fórmula del seno de una suma, tenemos el sistema de ecuaciones

A₀·cos φ=A
A₀·sin φ=B

${\displaystyle A_0=\sqrt{A^2+B^2}=\frac{F}{m}\frac{1}{\sqrt{{({\omega }_0^2-{\omega }_f^2)}^2+4{\gamma }^2{\omega }_f^2}}}$

El oscilador forzado que rebota en el origen

El choque de la partícula con la barrera hace que su velocidad cambie bruscamente de signo. Para describir su movimiento tenemos que resolver la ecuación diferencial de las oscilaciones forzadas en los intervalos de tiempo entre dos choques consecutivos, tal como se describirá en este apartado.

Primer rebote

El móvil parte en reposo v₀=0, desde la posición x₀ en el instante t=0, la fase de la fuerza oscilante es δ=0. Conocidas las condiciones iniciales calculamos los coeficientes C y D que describen el estado transitorio

${\displaystyle \begin{array}{l}C=x_0-A\\ D=\frac{1}{\omega }\left(\gamma x_0-\gamma A-{\omega }_{f}B\right)\end{array}}$

La partícula tarda en llegar al origen x=0, un tiempo t₁, alcanzando una velocidad v₁.

Determinamos el instante t₁ resolviendo la ecuación trascendente

${\displaystyle \left(C\cos (\omega t)+D\sin (\omega t)\right)·\exp (-\gamma t)+A\cos ({\omega }_{f}t)+B\sin ({\omega }_{f}t)=\text{0}}$

Calculamos la velocidad del móvil cuando llega al origen

$$\begin{gathered} {\displaystyle v_1=\{\begin{array}{l}-A{\omega }_f\sin ({\omega }_f{t}_1)+{\omega }_{f}B\cos ({\omega }_f{t}_1)\\ -\gamma \left(C\cos (\omega t_1)+D\sin (\omega t_1)\right)·\exp (-\gamma t_1)+ \\ \left(-C\omega \sin (\omega t_1)+D\omega \cos (\omega t_1)\right)·\exp (-\gamma t_1)\end{array}} \end{gathered}$$

La partícula rebota elásticamente en la barrera cambiando el sentido de su velocidad de v₁<0 a –v₁>0. Hasta el próximo choque con la barrera describe una oscilación forzada. Tomamos como cero, el instante en el que rebota, de modo que las condiciones iniciales son:

t=0, x₀=0, v₀=-v₁,

La fase de la fuerza oscilante no es cero, sino δ=ω_f·t₁,

Se determinan los valores de las constantes A, B, C y D de la ecuación de la posición x en función del tiempo t para describir el movimiento de la partícula tras el primer rebote.

En la parte superior de la figura, se muestra la posición de la partícula en función del tiempo, hasta el primer rebote. En la parte inferior, la gráfica de la fuerza oscilante f=F·cos(ω_f·t+δ). En el instante t=t₁ en el que se produce el primer rebote, la fase de la fuerza oscilante, se muestra en color rojo.

Segundo rebote

La partícula rebota y tarda en volver al origen x=0, un tiempo t₂ alcanzando una velocidad v₂.

Determinamos el instante t₂ resolviendo la ecuación trascendente

${\displaystyle \left(C\cos (\omega t)+D\sin (\omega t)\right)·\exp (-\gamma t)+A\cos ({\omega }_{f}t)+B\sin ({\omega }_{f}t)=\text{0}}$

Calculamos la velocidad del móvil v₂ en el instante t₂

La partícula rebota elásticamente en la barrera cambiando el sentido de su velocidad de v₂<0 a –v₂>0.

Tomamos como cero, el instante t=t₁+t₂ del segundo rebote, de modo que las condiciones iniciales son:

t=0, x₀=0, v₀=-v₂,

La fase de la fuerza oscilante no es cero, sino δ=ω_f·(t₁+t₂), en color rojo en la figura inferior.

Se determinan los valores de las constantes A, B, C y D de la ecuación de la posición x en función del tiempo t para describir el movimiento de la partícula tras el segundo rebote.

En la parte superior de la figura, se muestra la posición de la partícula en función del tiempo, hasta el segundo rebote. En la parte inferior, la gráfica de la fuerza oscilante f=F·cos(ω_f·t+δ). En el instante t=t₁+t₂ en el que se produce el segundo rebote, la fase de la fuerza oscilante, se muestra en color rojo.

Tercer rebote

La partícula emplea un tiempo t₃ en llagar al origen x=0, alcanzando una velocidad v₃.

Determinamos el instante t₃ resolviendo la ecuación trascendente

${\displaystyle \left(C\cos (\omega t)+D\sin (\omega t)\right)·\exp (-\gamma t)+A\cos ({\omega }_{f}t)+B\sin ({\omega }_{f}t)=\text{0}}$

Calculamos la velocidad del móvil v₃ en el instante t₃

y así, sucesivamente.

Ejemplos:

Estudiamos un oscilador forzado

• La frecuencia natural de oscilación, ω₀=0.5 rad/s

• La amplitud de la fuerza oscilante, F/m=0.25 N/kg

• La constante de amortiguamiento, γ=0.125 s^-1

• La fase de la fuerza oscilante, δ=0

Soltamos la partícula desde una altura x₀=2.0 m con velocidad v₀=0 en el instante t=0.

gamma=0.125; %constante de amortiguamiento
w0=0.5;  %frecuencia natural de oscilación
wf=1.28;  %frecuencia de la fuerza oscilante
fuerza=0.25; %amplitud d ela fuerza oscilante
x0=2;  %altura inicial de la partícula
v0=0;  %velocidad inicial d ela partícula

w=sqrt(w0^2-gamma^2); %frecuencia del oscilador
dt=(2*pi/w0)/100;  %paso de tiempo
%valor inicial de los coeficientes
t=0;
tRebote=0;
delta=0;
A=fuerza*((w0^2-wf^2)*cos(delta)+2*gamma*wf*sin(delta))
/((w0^2-wf^2)^2+4*gamma^2*wf^2);
B=fuerza*(2*gamma*wf*cos(delta)-(w0^2-wf^2)*sin(delta))
/((w0^2-wf^2)^2+4*gamma^2*wf^2);
C=x0-A;
D=(v0+gamma*C-wf*B)/w;
x=zeros(0,floor(40*pi/dt)); %vector posición
i=1;
for tt=0:dt:40*pi  %tiempo total
    f=@(t) exp(-gamma*t)*(C*cos(w*t)+D*sin(w*t))+A*cos(wf*t)+B*sin(wf*t);
    g=@(t) -gamma*exp(-gamma*t)*(C*cos(w*t)+D*sin(w*t))
+w*exp(-gamma*t)*(-C*sin(w*t)+D*cos(w*t))+wf*(-A*sin(wf*t)+B*cos(wf*t));
    x(i)=f(t);
    if x(i)<0
       t0=fzero(f,[t-dt, t]);
       tRebote=tRebote+t0;
       v0=-g(t0);
       delta=wf*tRebote;
       x0=0;
       A=fuerza*((w0^2-wf^2)*cos(delta)+2*gamma*wf*sin(delta))
/((w0^2-wf^2)^2+4*gamma^2*wf^2);
       B=fuerza*(2*gamma*wf*cos(delta)-(w0^2-wf^2)*sin(delta))
/((w0^2-wf^2)^2+4*gamma^2*wf^2);
       C=x0-A;
       D=(v0+gamma*C-wf*B)/w;
       t=0.0;  %tiempo parcial
       x(i)=0.0;
    end
    i=i+1;
    t=t+dt;
end
t=0:dt:40*pi;
plot(t,x)
grid on
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Posición en función del tiempo')

Ejemplo 1:

En la figura, se muestra el comportamiento del oscilador cuando la frecuencia de la fuerza oscilante es ω_f=1.28 rad/s

Después de un estado transitorio que dura algunas oscilaciones, la partícula rebota hasta alcanzar una única altura máxima. El movimiento de la partícula se repite después de cada rebote

Ejemplo 2:

En la figura, se muestra el comportamiento del oscilador cuando la frecuencia de la fuerza oscilante es ω_f=1.33 rad/s

Después de un estado transitorio que dura varias oscilaciones, la partícula rebota hasta dos alturas diferentes. El sistema precisa de dos rebotes para completar un ciclo.

Aumentamos un poco la frecuencia ω_f, y observamos que en el estado estacionario se alcanzan cuatro alturas máximas distintas, el sistema precisa de cuatro rebotes para completar un ciclo, y así sucesivamente...

Ejemplo 3:

En la figura, se muestra el comportamiento del oscilador cuando la frecuencia de la fuerza oscilante es ω_f=1.41 rad/s

Observamos que la partícula rebota hasta múltiples alturas diferentes. El movimiento del sistema nunca se repite es caótico, el periodo es infinito.

Actividades

Se introduce

• La constante de amortiguamiento γ, en el control titulado Amortiguamiento

• La amplitud F de la fuerza oscilante, en el control titulado Amplitud

• La frecuencia ω_f (rad/s) de la fuerza oscilante, en el control titulado Frecuencia

• La frecuencia propia o natural del oscilador se ha fijado en ω₀=0.5 rad/s

• La posición inicial x₀, desde la que se suelta la partícula, con velocidad inicial v₀=0, en el control titulado Posición inicial

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa el movimiento de la partícula unida al muelle elástico y la representación gráfica de su posición en función del tiempo (en color rojo)

Una flecha de color rojo al lado de la partícula muestra el módulo, dirección y sentido de la fuerza oscilante en cada instante. Una flecha de color azul, representa el vector velocidad. Cuando la fuerza y la velocidad tienen el mismo sentido, el oscilador gana energía, cuando tienen sentidos contrarios pierde energía. Imaginemos un niño en un columpio, cuando le empujamos en la dirección y sentido de su movimiento, el columpio gana energía y aumenta su amplitud. Cuando lo empujamos cuando viene hacia nosotros el columpio pierde energía y disminuye su amplitud.

En la parte inferior, se representa la fuerza oscilante f=F·cos(ω_f·t)

Se sugiere al lector que, observe el comportamiento de la partícula para varios valores de la frecuencia ω_f de la fuerza oscilante.

Manteniendo fija, la frecuencia ω_f de la fuerza oscilante, se puede cambiar la posición inicial x₀ de la partícula y observar su efecto en su movimiento posterior.

Respuesta en amplitud

En el programa interactivo (más abajo), se dibuja en color azul la respuesta en amplitud del oscilador lineal forzado, es decir, la variación de la amplitud con la frecuencia ω_f de la fuerza oscilante y en color rojo, la respuesta en amplitud del oscilador forzado que rebota.

En el primer caso, vemos que la amplitud alcanza un máximo en las cercanías de de la frecuencia propia ω₀=0.5 rad/s.

En el segundo caso, definimos la amplitud como el máximo desplazamiento de la partícula entre dos rebotes consecutivos. La curva presenta un máximo para la frecuencia ω_f=1.0 rad/s, y también otros picos secundarios, pero el aspecto más sobresaliente, es la presencia de intervalos de frecuencia donde la amplitud no es única.

Para obtener esta curva se ha procedido del siguiente modo: se deja a la partícula rebotar 100 veces para asegurarnos, que se ha alcanzado el estado estacionario. Después, se representa la máxima altura que alcanza la partícula cuando rebota sucesivamente 200 veces con la barrera para cada una de las frecuencias ω_f.

Cuando se elige el intervalo 0<ω_f <5, se observan, de un vistazo, las regiones (intervalos de frecuencias) donde la partícula, rebota alcanzando una única altura máxima, de aquellas en las que alcanza múltiples alturas, donde los puntos están verticalmente dispersos. Por tanto, observamos que un sistema físico simple, el oscilador forzado que rebota, presenta un comportamiento complejo.

Actividades

Se introduce

• El intervalo de frecuencias de la fuerza oscilante, en los controles titulados ω_f Frecuencia inicial y Frecuencia final
• La constante de amortiguamiento γ, en el control titulado Amortiguamiento

Se ha fijado,

• La frecuencia propia o natural del oscilador en ω₀=0.5 rad/s
• La amplitud de la fuerza oscilante, F/m=0.25 N/kg

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se aconseja examinar en primer lugar, el intervalo (0.1, 5), después elegir un intervalo más pequeño, por ejemplo (1.3, 1.6), (2.3, 2.6), etc.

Referencias

Walker J. S., Soule T. Chaos in a simple impact oscillator: The Bender bouncer. Am. J. Phys. 64 (4) April 1996, pp. 397-409

Tipler. Física. Editorial Reverté (1994). Capítulo 12, págs. 397-402