El oscilador forzado

El estado transitorio y su evolución hacia el estado estacionario

Oscila_3.gif (2588 bytes)

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

La ecuación del movimiento de la partícula es

ma=-kx-λv+F0·cos(ωf t)

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial que describe las oscilaciones forzadas

d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x= F 0 m  cos( ω f t) ω 0 2 = k m 2γ= λ m

La solución general de la ecuación diferencial homogénea tiene la forma

x 1 =(Ccos(ωt)+Dsin(ωt))·exp(γt)ω= ω 0 2 γ 2

Donde los coeficientes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales

Supondremos inicialmente que ω0ωf

Una solución particular de la ecuación diferencial completa tiene la forma

x2=Acosf t)+Bsinf t)

Obtendremos los valores de A y B haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa

A= F( ω 0 2 ω f 2 ) m( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 ) B= 2γ ω f F m( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 )

La solución general de la ecuación diferencial completa es la suma de la solución general de la homogénea más la solución particular x=x1+x2.

x=( Ccos(ωt)+Dsin(ωt) )exp(γt)+Acos( ω f t)+Bsin( ω f t)

El primer término, describe el estado transitorio. El segundo término, describe el estado estacionario.

La velocidad vale

v= dx dt ={ A ω f sin( ω f t )+B ω f cos( ω f t ) γ( Ccos( ωt )+Dsin( ωt ) )exp( γt )+ ( ωCsin( ωt )+ωDcos( ωt ) )exp( γt )

No hay rozamiento γ=0

Cuando ω0ωf

La solución de la ecuación diferencial para las condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición es x0 y la velocidad v0, se escriben.

x=Ccos( ω 0 t)+Dsin( ω 0 t)+ F m( ω 0 2 ω f 2 ) cos( ω f t) v= dx dt = ω 0 ( Csin( ω 0 t)+Dcos( ω 0 t) ) F ω f m( ω 0 2 ω f 2 ) sin( ω f t) t=0{ x 0 =C+ F m( ω 0 2 ω f 2 ) v 0 = ω 0 D x= x 0 cos( ω 0 t)+ v 0 ω 0 sin( ω 0 t)+ F m( ω 0 2 ω f 2 ) ( cos( ω f t)cos( ω 0 t) ) .

Establecemos los siguientes valores:

>> syms t w0 wf F x0 v0;
>> x=dsolve('D2x+w0^2*x=F*cos(wf*t)','x(0)=x0','Dx(0)=v0');
>> x=simplify(x)
x =(w0*(F*cos(t*w0) - F*cos(t*wf)) - v0*w0^2*sin(t*w0) + 
v0*wf^2*sin(t*w0))/(w0*wf^2 - w0^3) + x0*cos(t*w0)
>> xx=subs(x,{w0 wf F x0 v0},{100 120 1 0 0});
>> ezplot(xx,[0 0.2*pi])
>> title('Sin rozamiento')
>> xlabel('t')
>> ylabel('x')
>> grid on

Obtenemos pulsaciones, suma de armónicos de dos frecuencias distintas

Cuando ω0=ωf

Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante ωf se hace igual a la frecuencia propia del oscilador ω0, en el tercer término de la ecuación que nos da la posición x tenemos una ideterminación del tipo 0/0.

lim ω f ω 0 ( cos( ω f t)cos( ω 0 t) ω 0 2 ω f 2 )= tsin( ω 0 t) 2 ω 0 x= x 0 cos( ω 0 t)+ v 0 ω 0 sin( ω 0 t)+ F m tsin( ω 0 t) 2 ω 0

>> syms w0 wf t;
>> limit((cos(wf*t)-cos(w0*t))/(w0^2-wf^2),wf,w0)
ans =(t*sin(t*w0))/(2*w0)

O bien, resolvemos de nuevo la ecuación diferencial con ωf=ω0. Establecemos los siguientes valores:

>>  syms w0 F x0 v0;
>> x=dsolve('D2x+w0^2*x=F*cos(w0*t)','x(0)=x0','Dx(0)=v0');
>> x=simplify(x)
x =x0*cos(t*w0) + (v0*sin(t*w0))/w0 + (F*t*sin(t*w0))/(2*w0)
>> xx=subs(x,{w0 F x0 v0},{100 1 0 0})
xx =(t*sin(100*t))/200
>> ezplot(xx,[0 0.3*pi])
>> title('Sin rozamiento')
>> xlabel('t')
>> ylabel('x')
>> grid on

La amplitud crece linealmente sin límite

Rozamiento γ<ω0

Si las condiciones iniciales son t=0, x=x0, v=v0.

C= x 0 A D= 1 ω ( v 0 +γC ω f B)

Las condiciones iniciales más sencillas son x=0, y dx/dt=0 en el instante t=0. La partícula de masa m parte del origen con velocidad inicial nula.

C= F( ω 0 2 ω f 2 ) m( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 ) D= Fγ( ω 0 2 + ω f 2 ) mω( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 )

La posición de la partícula x que experimenta una oscilación forzada en función del tiempo t es

x= F m( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 ) ( ( ω 0 2 ω f 2 )( cos( ω f t)exp(γt)cos(ωt) )+ 2γ ω f ( sin( ω f t) ω 0 2 + ω f 2 2ω ω f exp(γt)sin(ωt) ) )

Resolvemos la ecuación diferencial, llamando

y estableciendo el valor de la amplitud de la fuerza oscilante F/m=1.

Cuando ω0ωf

Establecemos los siguientes valores:

>> syms wf w0 g F x0 v0;
>> x=dsolve('D2x+2*g*Dx+w0^2*x=F*cos(wf*t)','x(0)=0','Dx(0)=0');
>> xx=subs(x,{g w0 wf F x0 v0},{7 100 120 1 0 0});
>> ezplot(xx,[0 0.3*pi])
>> xlabel('t')
>> ylabel('x')
>> title('Con rozamiento')

Al cabo de un cierto tiempo (teóricamente infinito) el estado transitorio desaparece y la amplitud de la oscilación forzada tiende hacia un valor constante.

Cuando ω0=ωf

Establecemos los siguientes valores:

>> syms w0 g F x0 v0;
>> x=dsolve('D2x+2*g*Dx+w0^2*x=F*cos(w0*t)','x(0)=0','Dx(0)=0');
>> xx=subs(x,{g w0 F x0 v0},{7 100 1 0 0});
>> ezplot(xx,[0 0.3*pi])
>> xlabel('t')
>> ylabel('x')
>> title('Con rozamiento')

La amplitud de la oscilación crece y tiende hacia un valor límite constante

Actividades

Se introduce

Se pulsa en el botón Nuevo.

Se observa la posición del móvil en función del tiempo

Ejemplos de oscilaciones forzadas

La amplitud F de la fuerza oscilante nos permite variar la escala vertical de la representación gráfica. Si la posición x(t) crece más allá de los límites de la ventana, se reduce el valor de la amplitud F en el control correspondiente.

La frecuencia propia del oscilador en ω0=100 rad/s, no se puede cambiar, pero se puede variar la frecuencia de la fuerza oscilante ωf alrededor de dicha frecuencia.

Observar y describir cada una de las representaciones

Dos opciones se presentan para el estudio completo de las oscilaciones forzadas.

  1. Condiciones iniciales fijadas de antemano en (x=0, v=0), el móvil se encuentra en el origen en el instante inicial.
  2. Condiciones iniciales que puede seleccionar el usuario del programa. Se trata de comprobar que el estado transitorio depende de las condiciones iniciales, pero no el estado estacionario (el que describe el comportamiento del oscilador, después de un cierto tiempo, teóricamente infinito. En la práctica, un intervalo de tiempo tanto más pequeño cuanto mayor sea la constante de amortiguamiento).

Condiciones iniciales fijadas de antemano en (x=0, v=0),

  1. Cerca de la resonancia ωf=110 y 90
  2. En la resonancia ωf=100
  3. Observar pulsos, para ωf=80 y γ=1.

Condiciones iniciales fijadas por el usuario



Solución numérica

Escribimos la ecuación diferencial de segundo orden que describe las oscilaciones forzadas en forma de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, para resolverlas utilizando la función ode45 de MATLAB

d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x= F 0 m cos( ω f t ) { dx dt =v dv dt =2γv ω 0 2 x+ F 0 m cos( ω f t )

Si a la frecuencia de la fuerza oscilante ωf le damos los valores wf=120 y wf=100 obtenemos las mismas figuras que resolviendo la ecuación diferencial de forma analítica.

w0=100; %frecuencia angular propia
g=7; %rozamiento, gamma,
wf=100; %frecuencia de la fuerza oscilante (cambiar este valor)
F=1; %F0/m amplitud de la fuerza oscilante
%condiciones iniciales
x0=[0,-0.08]; %posición inicial, x0, velocidad inicial, v0
tf=0.3*pi; %tiempo final
f=@(t,x) [x(2);-2*g*x(2)-w0*w0*x(1)+F*cos(wf*t)]; 
tspan=[0 tf];
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);
plot(t,x(:,1))
xlabel('t')
ylabel('x');
title('oscilador forzado')

En este ejemplo, ωf=100. Las condiciones iniciales son: x0=0, v0=-0.08. El estado transitorio cambia, pero no lo hace la amplitud constante de la oscilación que se establece al cabo de un cierto tiempo (teóricamente infinito)