Una bola que cae y rebota sobre un pistón que oscila verticalmente.
Ecuaciones del movimiento
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Movimiento del pistón
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Movimiento de la bola
El pistón describe un MAS de amplitud A y frecuencia angular ω. En el instante inicial t=0, el pistón parte del origen. Su posición y velocidad en función del tiempo t es
yp=A·sin(ωt)
vp= A·ω·cos(ωt)
La bola se deja caer desde una altura h, con velocidad inicial nula en el instante t0. Su posición y velocidad en el instante t son
yb=h-g(t-t0)2/2
vb= -g(t-t0)
Primer choque entre la bola y el pistón

El encuentro entre el pistón y la bola se produce en la posición y1 y en el instante t1 tal que yb=yp. Para determinar el instante t1, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente
h-g(t-t0)2/2= A·sin(ωt)
Inmediatamente antes del choque, la posición y velocidad de la bola son
y1=h-g(t1-t0)2/2
u1= -g(t1-t0)
La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que su velocidad antes y después del choque es
vp= A·ω·cos(ωt1)

De la definición de coeficiente de restitución e, determinamos la velocidad de la bola v1 inmediatamente después del choque
v1-vp=-e(u1-vp)
v1=(1+e)·A·ω·cos(ωt1)+eg(t1-t0)
Esta es la velocidad inicial de la bola en su movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo hasta el próximo choque con el pistón.
Después del choque
La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t1<t<t2 serán
yb=y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2
vb=v1-g(t-t1)
Segundo choque entre la bola y el pistón
El segundo choque se produce en la posición y2 y en el instante t2 tal que yb=yp. Para determinar el instante t2, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente
y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2=A·sin(ωt)
La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es
vp= A·ω·cos(ωt2)
La posición y velocidad de la bola inmediatamante antes del choque son
y2=y1+v1(t2-t1)-g(t2-t1)2/2
u2= v1-g(t2-t1)
La velocidad de la bola después del choque es
v2=(1+e)·A·ω·cos(ωt2)-e(v1-g(t2-t1))
Después del choque
La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t2<t<t3 serán
yb=y2+v2(t-t2)-g(t-t2)2/2
vb=v2-g(t-t2)
Choque n entre la bola y el pistón
El movimiento de la bola después del choque n
yb=yn+vn(t-tn)-g(t-tn)2/2
Choque
El instante tn+1 y la posición yn+1 en el momento del siguiente choque se determina resolviendo la ecuación trascendente por procedimientos numéricos
yn+vn(t-tn)-g(t-tn)2/2= A·sin(ωt)
La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es
vp= A·ω·cos(ωtn+1)
La posición y velocidad de la bola inmediatamente antes del choque son
yn+1=yn+vn(tn+1-tn)-g(tn+1-tn)2/2
un+1= vn-g(tn+1-tn)
La velocidad de la bola después del choque es
vn+1=(1+e)·A·ω·cos(ωtn+1)-e(vn-g(tn+1-tn))
Después del choque
El movimiento de la bola después del choque n+1 es
yb=yn+1+vn+1(t-tn+1)-g(t-tn+1)2/2
vb=vn+1-g(t-tn+1)
El proceso iterativo se detiene cuando el intervalo de tiempo tn+1-tn entre dos choques consecutivos es menor que el paso dt, utilizado para mover la partícula y el pistón. El programa interactivo es entonces, incapaz de determinar el tiempo del siguiente choque.
La bola puede continuar rebotando sobre el pistón o bien, puede quedar pegada al pistón. En la página titulada "Caída libre y sucesivos rebotes" hemos demostrado que una bola que rebota sobre un plano horizontal precisa un tiempo finito para llegar al reposo después de infinitos rebotes. Si la aceleración del pistón -Aω2·sin(ωt) es mayor que la aceleración de la gravedad, la partícula no se pega al pistón, aunque podría rebotar y volver de nuevo al reposo sobre el pistón en un tiempo finito menor que el periodo de oscilación.
Sincronización
La cuestión que se plantea ahora es la de determinar la altura y0=h, y el instante t0, en el que se deja caer la bola para que el periodo P=tn+1-tn de la bola, el tiempo entre dos choques consecutivos, coincida con el periodo P=2π/ω de la oscilación del pistón (en color azul en la figura).
Para ello, los choques tendrán lugar en la misma posición ye=yb=yp,

La velocidad ub de la bola antes y después del choque con el pistón debe de ser la misma, pero cambiada de signo.
En otras palabras, la energía que pierde la bola en el choque como consecuencia de su inelasticidad debe ser igual a la ganancia en energía cinética después del impacto.
ub-vp=-e(-ub-vp)
Como la bola sale y llega a la misma posición empleando un tiempo de vuelo P, su velocidad antes y después del choque valdrá
Para alcanzar esta velocidad, la bola tiene que partir de la altura h, de modo que llegue a la posición ye de choque con velocidad ub empleando un tiempo P/2
Como el pistón parte del origen en el instante inicial t=0, alcanzando una velocidad vp= A·ω·cos(ωte) en el instante te del choque
La posición de encuentro es ye=yb=yp=A·sin(ωte)
La bola se debe liberar con velocidad inicial cero, desde la altura
En el instante t0 tal que el tiempo de vuelo hasta que se encuentra con el pistón sea P/2, es decir, te-t0=P/2
Puesto que k<1 la amplitud A tiene que cumplir la siguiente condición
Actividades
Se introduce
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El coeficiente de restitución e, en el control de edición titulado Coef. restitución.
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El periodo P=2π/ω del M.A.S. que describe el pistón, en el control titulado Periodo.
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La amplitud de dicho MAS se ha fijado en A=0.1 m=10 cm
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La altura inicial h, en el control titulado Altura inicial.
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El instante t0 que se deja caer la bola, en el control titulado Tiempo inicial.
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se sitúa la bola en la altura inicial h, y el pistón empieza a moverse entre las posiciones –A y +A. Cuando trasncurre un tiempo t0, la bola se deja caer
Se observa el movimiento de caída de la bola y los sucesivos rebotes sobre el pistón. En la parte derecha, se representa la posición de la bola y del pistón en función del tiempo t.
Ejemplo:
Introducimos los siguientes datos
- El coeficiente de restitución e=0.9
- La altura inicial h=1.32 m
- El periodo P=1.0 s
- El tiempo de caída t0=0.69 s
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos el movimiento del pistón, la bola permanece en su posición inicial, después de un tiempo t0=0.69 s la bola cae sobre el pistón
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La bola cae y choca con el émbolo en el instante t1=1.19 s
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La posición del pistón y de la bola es y1=0.1·sin(2π·t1)=0.09 m, o bien, y1=1.32-4.9·(1.186-0.69)2=0.09 m
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La velocidad antes del choque es u1=-9.8·(1.19-0.69)=-4.9 m/s
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La velocidad del pistón antes y después del choque es vp=0.1·2π·cos(2π·t1)=0.23 m/s
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La velocidad de la bola después del choque se calcula a partir de la definición de coeficiente de restitución v1-vp=-e(u1-vp)
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La bola alcanza la altura máxima en el instante en el que su velocidad sea cero.
v1=(1+0.9)·0.23+0.9·4.9=4.85 m/s
0=4.85-9.8·(t-1.19) t=1.68 s
h=1.29 m
Se vuelve a repetir de nuevo proceso, para calcular el instante en el que se produce el segundo choque, y así sucesivamente.
Sincronización
Con los datos
- El coeficiente de restitución e=0.9
- El periodo P=1.0 s
Calculamos la altura h y el instante t0 en el que debe se soltar la bola
La frecuencia angular ω=2π/P=2π rad/s
el parámetro k vale
la bola se debe liberar con velocidad inicial cero, desde la altura
en el instante inicial t0
Se obtiene el mismo resultado si la bola se libera en el instante t0 que en el instante t0 más un número de periodos P, por ejemplo, en el instante t0=1-0.31=0.69, 1.69 s, etc.
Para observar la sincronización se introduce
- Coeficiente de restitución e=0.90
- Periodo P=1.0 s
- Altura inicial h=1.32 m
- El tiempo de caída t0=0.69 s
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos que el pistón se pone en movimiento oscilando entre las posiciones +10 y -10 cm, la bola cayendo a partir del instante t0=0.69 s
La ruta hacia el caos
Vamos a examinar el comportamiento de la bola, después de efectuar N choques con el pistón, para ello vamos a modificar las condiciones iniciales de partida de la bola y del pistón del siguiente modo:

En el apartado anterior, la bola chocaba con el pistón en el instante t1 y su velocidad antes del choque era u1. La posición del pistón era
yp=A·sin(ωt1).
En este apartado, establecemos la velocidad u1 y la fase φ=ωt1 como datos de partida, en el instante t=0
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Movimiento del pistón
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Movimiento de la bola
El pistón describe un MAS de amplitud A y frecuencia angular ω. Su posición y velocidad en función del tiempo t es
yp=A·sin(ωt+φ)
vp= A·ω·cos(ωt+φ)
siendo φ la fase inicial del movimiento

La bola choca con velocidad -v0 (hacia abajo) en el instante t1=0 con el pistón en la posición y1=A·sin(φ). La velocidad de la bola después del choque es
v1=(1+e)·A·ω·cos(φ)+e·v0
Después del choque
La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t1<t<t2 serán
yb=y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2
vb=v1-g(t-t1)
El resto del cálculo es el mismo que en el apartado "Ecuaciones del movimiento"
Elaboramos un script de MATLAB para realizar los cálculos y la representación gráfica
A=0.1; %amplitud w=2*pi; %frecuencia angular, phi=68*pi/180; v0=4.9; %velocidad inicial e=0.9; %coeficiente de restitución %primer choque v1=(1+e)*A*w*cos(phi)+e*v0; y1=A*sin(phi); v0=v1; y0=y1; t0=0; hold on for i=1:5 y=@(t) y0+v0*(t-t0)-4.9*(t-t0).^2; x=@(t) A*sin(w*t+phi); T1=t0+v0/9.8; %tiempo que tarda en alcanza la altura máxima T2=t0+(v0+sqrt(v0^2-4*4.9*(-A-y0)))/9.8; % en llegar a y=-A z=@(t) y(t)-x(t); t1=fzero(z,[T1,T2]); %tiempo de choque fplot(x,[t0,t1],'color','r'); fplot(y,[t0,t1],'color','b'); v1=(1+e)*A*w*cos(w*t1+phi)-e*(v0-9.8*(t1-t0)); t0=t1; v0=v1; y0=y(t1); end hold off grid on xlabel('t') ylabel('x') title('Rebotes')
Actividades
Se introduce
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El coeficiente de restitución e, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. restitución.
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La frecuencia angular ω del M.A.S. que describe el pistón en rad/s, en el control de edición titulado Frecuencia.
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La fase inicial φ, en grados, en el control de edición titulado Fase
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La amplitud de dicho MAS se ha fijado en A=0.1 m=10 cm
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La velocidad inicial v0 (hacia abajo) en m/s, en el control de edición titulado Velocidad
Se pulsa el botón Nuevo.
Se observa el movimiento de caída de la bola y los sucesivos rebotes sobre el pistón. En la parte derecha, se representa la posición de la bola y del pistón en función del tiempo t.
Se sugiere al lector que experimente con el programa interactivo, cambiando la fase para valores fijos de la velocidad inicial, de la frecuencia y del coeficiente de restitución. Se cambia ligeramente el coeficiente de restitución, manteniendo fijos los otros parámetros y así, sucesivamente.
Referencias
Alvarez, Luis W., Senecal G. Mechanical analog of the synchrotron, illustrating phase stability and two-dimensional focusing. Am. J. Phys. 43 (4) April 1972, pp. 293-296
Tufillaro N. B., Mello T. M., Choi Y. M. Albano A. M. Period doubling of a bouncing ball, J. Physique 47 Septembre (1986) pp. 1477-1482