Zinematika

Higidura kurboa

Magnitude zinematikoak

Tiro parabolikoa

Higidura konposatuak

Kanioi bat apuntatzea
itu finko bati jotzeko

Hegazkin batetik itu
mugikorra bonbardatzea

Saskibaloiko 
jaurtiketak

Irismen maximoa
plano horizontalean

Irismen maximoa
plano inklinatuan

Bestelako maximo
batzuk

Jaurtigai batekin
itu mugikor bat jotzea

Gurpil batetik askatzen
den buztin-zatia

Tiro parabolikoa eta
higidura zirkularra

Torpedo bat itsasontzi
baten atzetik

Tiro parabolikoaren ekuazioak

Jaurtitzeko angelu minimoa

Hasierako abiadura minimoa

Saiakuntza

Errore-tartea

Erreferentziak

Orri honetan saskibaloiko jaurtiketak aztertuko dira, jolas eta kirol ezaguna, baina oinarrizko ezaugarri fisikoen ikuspegitik.

Aurrez aurreko tiroak baino ez ditugu aztertuko, ikuspegi fisikotik deskribatzeko errazenak, tiro parabolikoaren ekuazioak soilik erabili behar direlako, izan ere, airearen marruskadura eta baloiaren errotazioaren efektuak ere arbuiatuko dira.

Saskibaloiaren neurriak

Ondorengo irudian saskibaloi zelaiaren erdia erakusten da, eta dagozkion arauzko neurriak.

Neurri guzti horietatik, saskiratzeak lortzeko, honako hauek soilik dira interesgarriak:

• Saskiaren uztaiak lurretik 3.05 m-ko altuera du.

• Uztaiaren diametroa 45 cm-koa da.

• Baloiaren diametroa 25 cm-koa da.

Tiro parabolikoaren ekuazioak

Irudiak erakusten duen bezala, koordenatu sistemaren jatorria baloiaren jaurtiketa-posizioan bertan kokatuko da. Uztaiaren zentroa h altueran dago eta baloiaren hasierako posiziotik L distantziara.

Lehenengo, baloia partikulatzat kontsideratuko dugu, koordenatuen jatorritik jaurtitzen dena hasierako v₀ abiaduraz eta θ₀ angeluaz horizontalarekiko.

Baloiaren mugimendua bi higiduren konposaketa da: bata, higidura uniformea X ardatz horizontalean eta bestea uniformeki azeleratua Y ardatz bertikalean. Dagokion ekuazio-multzoa honakoa da:

Posizioaren ekuazio parametrikoetatik, x(t) y(t),  t denbora eliminatuz ibilbidearen ekuazio esplizitua lortzen da:

Jaurtiketaren abiadura eta angelua

Jaurtiketa uztaiaren zentrotik pasatzea nahi bada:  x=L,  y=h.

• Jaurtiketaren θ₀ angelua ezaguna bada abiadura kalkula daiteke:

• Eta jaurtiketaren v₀ abiadura ezaguna bada angelua kalkula daiteke, baina emaitza ezberdin bi ematen ditu, bigarren graduko ekuazio bat geratzen delako, tanθ₀-ren menpekoa. Horretarako honako erlazio trigonometrikoa ordezkatu behar da: 1+tan²θ₀=1/cos²θ₀ . Eta honako ekuazioa gelditzen da:

edota bestela idatzita,

Abiadura-bektorearen angelua

Pilotaren abiadura-bektoreak uneoro horizontalarekiko osatzen duen angelua θ da, eta bere balioa honakoa:

Baina,

Orduan v abiadura-bektoreak osatzen duen θ angelua horizontalarekiko, t denboraren menpe adierazi beharrean pilotaren x eta y posizioen menpe berridatz daiteke:

Jaurtitzeko angelu minimoa

Alboko grafikoan hasierako v0 abiadura adierazten da jaurtiketaren θ0 angeluaren menpe, izan ere: Funtzio horrek asintota bertikal bi ditu, hain zuzen ere infinitu ematen duenean edo, bestela esanda, izendatzailea zero bilakatzen denean: tanθ0=h/L cosθ0=0

Beraz, v²₀ halabeharrez positiboa denez, jaurtiketaren θ₀ angeluak tarte honetan egon behar du:

alegia, ezin du edozein angeluk balio.

Bestalde, baloia uztaitik pasa dadin, ibilbidearen alde beherakorrean gertatu behar du, goitik behera, irudiak erakusten duen bezala:

Hau da, pilota uztaiaren zentrotik pasatzean, x=L, y=h , v abiadura-bektoreak horizontalarekiko θ_e angelua osatzen du:

Baina θ_e angelu negatiboa izan behar da (horizontala baino beherago) eta bere tangentea ere negatiboa da, hortaz:

Beraz, jaurtiketaren θ₀ angeluak honako tartean egon behar du:

Kontsidera ditzagun orain, baloiaren eta uztaiaren tamainak. Alboko irudiak erakusten duen egoeran baloia uztaitik justu pasatzen da; angelu txikiagoekin ez da sartzen eta handiagoekin bai. Egoera horretan θe angelua eta B erpineko angelua berdinak dira (balio absolutuan) eta ABC hirukian arrazoituz: sin|θe|=2R/Da

Hemen R pilotaren erradioa da eta D_a uztaiaren diametroa.

Beraz, 2R=25 cm eta D_a=45 cm direnez, pilota uztaian zehar pasa dadin, pilotaren v abiadura-bektoreak horizontalarekiko osatzen duen θ_e angelua gutxienez 33.7º-koa izan behar da, balio absolutuan. Horrek jaurtiketaren θ₀ angelua gehiago murrizten du, eta angelu bien arteko erlazioa hau da:

Hemen θ_0L da, jaurtitzaileak baloiari eman behar dion θ₀ angelu minimoa, baloia gero uztaian zehar, eta uztaia ukitu gabe, pasatzeko. Beraz, jaurtitzaileak θ_0L angelu horrekin edo handiagoarekin jaurti behar du baloia saskiratu ahal izateko.

Hasierako abiadura minimoa

Berriz ere aztertuko dugu hasierako v₀  abiaduraren adierazpen grafikoa jaurtiketaren θ₀ angeluaren menpe:

Kurba horrek minimo bat duela ikusten da. Minimo horretan, jaurtiketaren θ_0m  angelu baterako v_0m abiadura lortzen da.

Kalkula dezagun zein θ_0m angelurako den minimoa jaurtiketaren v₀ abiadura:

Eta hemen θ₀ angelua bakan daiteke:

-2sin²θ₀+2(h/L)sinθ₀·cos θ₀+1=0

θ_0m angelua beste modu batean adieraz daiteke, honako erlazioak erabiliz:

Azken adierazpen horretan, tanα ezaguna bada bigarren graduko ekuazioa ebatz daiteke tan(α/2)-ren menpe eta emaitza positiboa aukeratu:

Hemendik tan(α/2) ezagutuz, lehenengo adierazpenean tan(45º+α/2) kalkula daiteke, eta zenbait sinplifikazio egin ondoren, honako emaitza hau lortzen da:

Orduan, θ_0m ezagututa, hasierako abiaduraren balio minimoa kalkula daiteke, v_0m , eta horretarako honako erlazioa ordezkatu behar da: 1+tan²θ=1/cos²θ

Beraz, jaurtiketaren angelua edozein izanik ere, baloia uztaitik sartzeko, hasierako v₀ abiadura v_0m balio minimoa baino handiagoa izan behar da.

Adibidea:

Baloia honako posiziotik jaurtitzen da: L=3 m uztaiaren zentrotik eta 2.05 m lurretik, edo h=3.05-2.05=1 m uztaiaren azpitik.

Lehenik, jaurtitzeko angelu minimoa kalkulatzen da:

• Angelu minimo hori baino handiagoarekin jaurti behar da baloia saskiratzeko. Demagun θ₀=70º>53.2º. Kalkula dezagun angelu horretarako jaurtiketaren abiadura:

Abiadura hori abiadura minimoa baino handiagoa da. Kalkula dezagun abiadura minimoari dagokion angelua:

Eta abiadura minimoa:

• Jaurtiketaren v₀ abiadura ezagututa, angelua kalkulatzea pixka bat konplikatuagoa da:

Jaurtiketaren v₀ abiadura balio minimoa baino handiagoa izan behar da: v₀>v_0m=6.39 m/s

Esate baterako, v₀=8.0 m/s, baldin bada, kalkula bedi θ₀.

Bigarren graduko ekuazio hori tanθ₀-ren menpekoa da, eta soluzioak hauek dira:

θ₁=74.8º,  θ₂=33.6º

Lehenengo angeluarekin lortutako ibilbidea beherakorra da uztaiaren zentrotik pasatzean, baina bigarrena uztaiaren azpialdetik gorantz sartzen da.

Saiakuntza

Baloiaren zentroaren hasierako posizioa  idatzi:

• Baloitik uztaiaren zentroraino dagoen x₀ distantzia horizontala, distantzia laukian idatziz edo desplazamendu-barran eragiten.

• Baloiaren y₀ altuera lurrarekiko, altuera laukian idatziz edo desplazamendu-barran eragiten.

Irudiko ardatz koordenatuak: Y ardatza uztaiaren zentrotik pasatzen eta X ardatza lurra da. Baloiaren zentroaren posizioa (x₀, y₀) ardatz horiekiko adierazten dira.

Baloiaren hasierako posizioa finkatuta, uztairainoko distantzia deduzitzen da: L=x₀ da eta altuera h=3.05 - y₀.  Applet-aren eskumako aldean grafikoki adierazten da hasierako v₀ abiadura, jaurtiketaren θ₀ angeluaren menpe. Marra gorriak adierazten du θ₀ angelu posibleetarako zehazki zein v₀ abiaduraz jaurti behar den baloia, uztaiaren zentrotik pasatzeko.

Grafikoaren gainean zirkulu txiki eta urdina dago; saguarekin mugiarazi behar da:

• gora eta behera, hasierako abiadura aukeratzeko v₀.

• ezker-eskumara, jaurtiketaren angelua aukeratzeko θ₀.

Gero hasi botoia sakatu.

Applet-aren ezkerraldean, baloiaren ibilbidea erakusten da gorriz eta uztaiaren sekzioa bi puntu beltzez.

Egiazta bedi baloia uztaiaren zentrotik pasatzen dela, baloiaren hasierako baldintzak (v₀, θ₀) kurba gorriaren gainean daudenean, eta bestela ez dela uztaian sartzen. 

Errore-tartea

Aurreko atalean suposatu da baloia jaurtitzen den tokitik uztaiaren zentrora L distantzia eta h altuera dagoela, eta ibilbide posiblea bakarra dela. Honakoan ikusiko da, baloia uztaiaren diametroa baino txikiagoa denez, jaurtitzerakoan v₀ abiaduran eta θ₀ angeluan tolerantzia dagoela, alegia badagoela θ₀ angeluaren tarte bat edo v₀ abiaduraren tarte bat, saskiratzea lortzen duena, baina tarte horiek baloiaren hasierako posizioaren menpe aldatzen dira.

Hasiera batean, pentsa liteke baloiaren posiziorako errore-tartea dela, hain zuzen, baloiaren diametroaren eta uztaiaren diametroaren arteko diferentzia, baina baloia ez da uztaian bertikalki sartzen θ_e angelua osatuz baizik.

Alboko irudian AB uztaia da eta baloiaren ibilbideak θe  angelua osatzen du horizontalarekin. Irudiko bi hirukiak hartuta, ABC eta EDF: AC=Da·sin|θe| EF=AC-2·R= Da·sin|θe|-2R ED=2ΔL=EF/sin|θe|

ΔL (gorriz marraztuta) errore tartea da, baloia jaurtitzen den tokitik uztaiaren zentrora dagoen L distantzia horizontalean. Errore tartea nulua da ΔL=0 denean, hau da,

Lehen azaldu den bezala, baloiaren v abiadurak horizontalarekin osatzen duen θ_e angelua 33.7º baino handiagoa izan behar da, bestela baloiak uztaian joko du nahitaez.

• Jaurtiketaren angelua finkatzen bada, θ₀> θ_0L ,  baloiaren hasierako v₀ abiadura ere ez da bakarra, izan ere, tarte baten barruan egongo da: v₀+Δv₊ eta v₀-Δv_-.  Tarte hori kalkulatzeko, har dezagun abiaduraren adierazpena angeluaren menpe:

h eta L datuak ezagututa eta jaurtiketaren θ₀ angelua finkatzen bada, v₀ kalkula daiteke angelu horretarako.

1. Ordezkatu L-ren ordez, L+ΔL eta jaurtiketaren abiadura kalkulatu: v₊= v₀+Δv₊

2. Ordezkatu L-ren ordez, L-ΔL eta jaurtiketaren abiadura kalkulatu: v_-= v₀-Δv_-

Irudiak hiru ibilbideak erakusten ditu.

• Gorriz, justu uztaiaren zentrotik pasatzen dena.

• Urdinez, irismen maximoa eta minimoa lortzen dutenak: L+ΔL eta L-ΔL

• Angelua finkatu beharrean v₀ abiadura finkatzen bada, angelu posiblea ere ez da bakarra, izan ere, tarte baten barruan egongo da: θ₀+Δ θ ₊ y θ ₀-Δ θ _-.  Tarte hori kalkulatzeko, har dezagun tanθ₀-ren menpeko bigarren graduko ekuazioa:

h eta L datuak ezagututa eta jaurtiketaren v₀ abiadura finkoa bada, bigarren graduko ekuazio horretatik θ₀ kalkula daiteke abiadura horretarako.

1. Ordezkatu L-ren ordez, L+ΔL eta jaurtiketaren angelua kalkulatu: θ ₊= θ₀+Δθ₊

2. Ordezkatu L-ren ordez, L-ΔL eta jaurtiketaren angelua kalkulatu: θ _-= θ₀-Δθ _-

Irudiak hiru ibilbideak erakusten ditu.

• Gorriz, justu uztaiaren zentrotik pasatzen dena.

• Urdinez, irismen maximoa eta minimoa lortzen dutenak: L+ΔL eta L-ΔL 

Errore-tarte bi horiek ibilbide egokiena aukeratzeko lagungarriak dira: jaurtiketa konkretu batean, baloia zentrotik pasarazten duten θ₀ angelua eta v₀ abiadura zehatzekin jaurti beharrean, errore-tartea handia bada, jaurtitzaileak askatasun-tarte handia izango du, eta  angelu eta abiadura zehatzekin jaurti ez arren, horien antzekoekin jaurtita ere saskiratzea lor dezake.

Adibidea:

Demagun aurreko ataleko adibidean bezala: h=1 m eta L=3 m.

• Lehenik, jaurtiketaren angelua finkatuko dugu: θ₀=70º,  kalkuluek ematen dute hasierako abiadura: v₀=7.21 m/s.

Baloia uztaira iristean honako angeluaz sartzen da:

Eta hortik L distantzia horizontaleko errore-tartea, ΔL , kalkulatzen da:

Goazen abiaduraren formulara,

1. L-ren ordez ordezkatuz L+ΔL=3.086 eta hasierako abiadura kalkulatzen da: v₊=7.30 m/s, eta tolerantzia Δv₊=0.09 m/s

2. L-ren ordez ordezkatuz L-ΔL=2.914 eta hasierako abiadura kalkulatzen da v_-= 7.12 m/s, eta tolerantzia Δv_-=0.09 m/s

• Bigarrenik, jaurtiketaren abiadura finkatzen dugu: v₀=8.0 m/s, eta angelua kalkulatzen da θ₀=74.83º

tanθ₀-ren menpeko bigarren graduko ekuazioaz:

• Ekuazio horretan bertan L-ren ordez  ipintzen bada L+ΔL=3.086, angelua kalkulatzen da: θ_-=74.34º, eta tolerantzia Δθ _-=0.49º

• L-ren ordez ipintzen bada L-ΔL=2.914, eta angelua kalkulatzen da: θ₊ =75.32º, eta tolerantzia Δθ₊=0.49º

Saiakuntza

Baloiaren hasierako posizioa aukeratzen da:

• Baloitik uztaiaren zentroraino dagoen x₀ distantzia horizontala, distantzia laukian idatziz edo desplazamendu-barran eragiten.

• Baloiaren y₀ altuera lurrarekiko, altuera laukian idatziz edo desplazamendu-barran eragiten.

Irudiko ardatz koordenatuak: Y ardatza uztaiaren zentrotik pasatzen eta X ardatza lurra da. Baloiaren zentroaren posizioa (x₀, y₀) ardatz horiekiko adierazten dira.

Baloiaren hasierako posizioa finkatuta, uztairainoko distantzia deduzitzen da: L=x₀ da eta altuera h=3.05 - y₀.  Applet-aren eskumako aldean grafikoki adierazten da marra gorri batez hasierako v₀ abiadura, jaurtiketaren θ₀ angeluaren menpe, baloia uztaiaren zentrotik pasatzeko, eta alboan urdin argiz v₊(θ₀) eta v_-(θ₀) errore-tartearen eskualdea.

Grafikoaren gainean, saguarekin zirkulu txiki eta urdina mugiarazten da:

• gora eta behera, hasierako abiadura aukeratzeko v₀.

• ezker-eskumara, jaurtiketaren angelua aukeratzeko θ₀.

Gero hasi botoia sakatu.

Applet-aren ezkerraldean, baloiaren ibilbidea erakusten da gorriz eta uztaiaren sekzioa bi puntu beltzez.

Hasierako baldintzen arabera (v₀, θ₀), alegia zirkulu urdinaren posizioaren arabera, egiazta bedi baloia uztaiaren zentrotik pasatzen dela, zirkulu urdina justu kurba gorriaren gainean dagoenean, uztaia ukitu gabe saskiratzen dela eskualde urdin argian dagoenean eta bestela uztaian jotzen duela edo ez dela sartzen.